Đề thi Olympic 30 - 4 môn Toán lớp 10 lần XXVI năm 2021 có lời giải chi tiết

Microsoft Word DEDA 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 LẦN THỨ XXVI NĂM 2021 Ngày thi 03/4/2021 MÔN THI TOÁN KHỐI 10 THỜI GIAN 180 phút Hình thức làm bài Tự luận Đề thi có 01 trang Lưu ý Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Câu 1 (3,0 điểm) Cho , ,a b c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu v[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN - KHỐI: 10 THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Câu 1 (3,0 điểm) Cho a b c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng , , 2

Chứng minh

3

6

  

Câu 2 (4,0 điểm) Cho các số thực x y z thỏa mãn , ,

2 2 2

   



  



   

 Chứng minh x y z  là số nguyên

Câu 3 (4,0 điểm) Với số nguyên dương n2, xét bảng vuông gồm có 2n 1 2n1 ô vuông, người

ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc 1 sao cho trong mỗi bảng con 2 2 luôn tìm được

3 ô có tổng bằng 0 Gọi S là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng Chứng minh n

a S2  5

b Sn n2  n 1

Câu 4 (4,0 điểm)

a Chứng minh tồn tại 2 cặp số ( , )a b với a , b là các số nguyên dương thỏa mãn

b Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình

x y xy

có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7

Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC AB  AC nội tiếp đường tròn ( ) O Tia AO cắt đoạn thẳng

BC tại L Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC Giả sử tiếp tuyến qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC cắt các tia AB AC, lần lượt tại các điểm D E,

a Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác A B D,A C E,A A L cùng đi qua một điểm khác A

b Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với ( ) O

HẾT

Họ tên thí sinh: SBD: Trường: Tỉnh/TP:

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐÁP ÁN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN 10 - THỜI GIAN: 180 phút

Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

1

Cho a b c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh , ,

3

6

a b c abc

  

Do a b c là độ dài ba cạnh tam giác nên , ,

0    c a b 0 2c a b c       2 0 c 1 Chứng minh tương tự, ta được 0 a 1, 0  b 1

Đặt A a2b2  b2c2  c2a2

Ta có A 6(a2b2c2) 6(a b c  ) 2 3 (1)

2,0

Nhận xét: Từ 0a b c, ,  suy ra 1 2a2 b2   a b 4

Ta có

4

Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có

 

2 4

4

2

A

 

Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh

1,0

Bài 2 Cho các số thực x y z thỏa mãn , ,

2 2 2

   



  



   

 Chứng minh rằng x y z  là số nguyên

4,0

Nhân theo vế các phương trình đã cho, ta được

(x1)(y1)(z1)[(x1)(y1)(z   1) 1] 0

1 1 1

x y z

 



  







Nếu x  thì 1 y z   suy ra 1, x y z    3 

Nếu y  hoặc 1 z  làm tương tự 1

1,0

Xét trường hợp x1y1z   (*) 1 1 0

Đặt p x y z q xy yz zx r xyz   ,    ,  ta có

 *         r p q 2 r q p 2 (1) Cộng ba phương trình ban đầu theo vế ta được

0,5

Ta có

Nhân các phương trình trên theo vế, ta được

0,5

Thay (1) và (2) vào (3) ta được

q p  q p  p p  p 

q 3q 2p 0

1,5

(x-1)(y-1)(z-1) = 1.

Trang 5

Bài 3

Với số nguyên dương n xét bảng vuông gồm có (2n − 1)×(2n − 1) ô vuông, 2, người ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc −1 sao cho trong mỗi bảng con 2×2 luôn tìm được 3 ô có tổng bằng 0 Gọi S là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các n

số trong bảng Chứng minh

4,0

Nhận xét: Ta thấy tổng các số trong bảng con 2 2 thì luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1 0,5

a)

Đặt T là tổng các số trong bảng vuông n 2n 1 2n 1

Xét cấu hình gồm 7 ô như sau

Ta có a b c d   1 và d e f    Từ đó suy ra g 1

a b c d e f      g a b c d    d e f  g     d d Xét bảng vuông 3 3 , ta có

1,0

Ta chỉ ra một cách điền số để dấu bằng xảy ra như sau

Vậy S2  5

0,5

b)

Ta chứng minh “Sn n2  với mọi n 1, n,n2” bằng phương pháp quy nạp

theo n

 Với n2 thì 2

S     (đúng theo câu a)

 Giả sử mệnh đề đúng với n k ,k2, tức là Sk k2  k 1

k

Ta chia bảng vuông 2k 1 2k thành 4 vùng như sau 1

1,0

 Tổng các số trong vùng (I) không vượt quá Sk k2  k 1

 Ta chia vùng (II) thành k1 hình vuông 2 2 riêng biệt, khi đó tổng các số trong vùng (II) không vượt quá k1 1   k 1

 Ta chia vùng (III) thành k1 hình vuông 2 2 riêng biệt, khi đó tổng các số trong vùng (III) không vượt quá k1 1   k 1

 Xét riêng vùng (IV)

1 1 1 1 4

a b c d e f       g h a b d e      c d f g  d h

    

k

T  k   k k  k  k  k (*)

0,5

Xét cách điền số vào bảng 2k 1 2k như sau: 1

 Điền số 1 vào tất cả ô trên các dòng 1, 3, 5, , 2k  1

 Điền số 1 vào các ô 2 , 2i j với  i1; 2; ;k và j1;2; ;k

 Các ô còn lại điền số 0

Minh họa cách điền số với n = 4

k

S  k  k

0,5

Trang 7

Bài 4

a) Chứng minh tồn tại 2 cặp số ( , )a b với ,a b là các số nguyên dương thỏa mãn

2 3 2 7 9

b) Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình

x y xy

có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7

4,0

b)

Ta biến đổi phương trình đã cho thành

Ta chứng minh phương trình a23b2  (*) có nghiệm ( , )7n a b mà

a b (mod 7) (1) bằng phương pháp quy nạp theo n

+ Với n , phương trình 1  * có nghiệm a b1, 1   2,1 thỏa (1)

0,5

+ Giả sử với n k  , phương trình (*) có nghiệm * a b thỏa (1), tức là k, k

và

a  b  (mod 7)

Ta có

1,0

Ta thấy 2ak 3bk  2ak 3bk4ak  (mod 7) , nên phải tồn tại một trong 0

hai số không chia hết cho 7, giả sử 2ak 3bk  (mod 7) 0

Do 2 2 ak 3bk 3 ak 2bk7ak  (mod 7) nên 0 ak 2bk  (mod 7) 0

Do đó với n k  thì 1 ak1,bk1  2ak 3 ,b ak k 2bk là một nghiệm của

phương trình (*) và thỏa điều kiện (1)

0,5

Ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm với mọi n nguyên dương

Với mỗi số nguyên dương n, gọi a b là một nghiệm thỏa điều kiện (1) của n, n

phương trình a2 3b2  7n

Chọn xn an  , bn yn 2bn thì

x  y  y  a  b  a  b  Suy ra x yn, n  an bn, 2bn là nghiệm của phương trình x2 xy y2 7n

Hiển nhiên yn 2bn  (mod 7) do 0 bn  (mod 7) 0

Giả sử xn  (mod 7) 0 an  (mod 7) bn

Khi đó 7n 2 3 2 4 2

   (mod 7) bn  (mod 7) (vô lí) 0

Do đó xn  (mod 7) 0

Vậy với mọi n nguyên dương thì phương trình x2  y2 xy7n có nghiệm trong

tập hợp các số nguyên không chia hết cho 7

0,5

(6290, 513), 118.7^2, 31.7^2 và 254.7, 504.7

4(xn^2+xn.yn+yn^2) =

Bài 5

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , nội tiếp đường tròn ( ) O Tia AO cắt đoạn

thẳng BC tại L Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC Tiếp tuyến

qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC cắt các tia AB AC lần lượt tại ,

các điểm , D E Chứng minh

a) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác A B D,ACE,AAL cùng đi qua một điểm

khác A

b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Chứng minh đường tròn

ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với ( ) O

5,0

a)

Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự.

a) Gọi T là giao điểm khác A của A BD  và A CE 

Ta có BTC360oBTA CTA   180oBTA180oCTA

  o 

Suy ra T O

1,0

ATA ATB BTA C  D C  1A1 B1

 

1

2

2

ALB ALA







 Suy ra ALTA là tứ giác nội tiếp

Vậy A B D , ACE , AAL cùng đi qua T

1,0

có th ể nói đ ây là tính đ i ể m đ i ể m Miquel: 3 đ i ể m thu ộ c 3 c ạ nh > 3 đườ ng tròn đồ ng quy