HAI Bổ đề trong bài toán phương trình hàm trên tập các số thực dương HAI BỔ ĐỀ TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP CÁC SỐ THỰC DƯƠNG Đoàn Quang Đăng – 12 Toán – THPT Chuyên Bến Tre OCTOBER 24, 2021 1 | Bổ đề trong bài toán phương trình hàm I Hai số bổ đề trong bài toán phương trình hàm trên tập số dương Bổ đề 1 Cho các hàm số , , f g h thỏa mãn ( ) ( ) ( )f g x y h x f y với mọi , 0 x y Khi đó hàm ( ) ( ) g x h x là hàm hằng Chứng minh Ký hiệu ( , )P x y chỉ khẳng định ( )[.]
Trang 1HAI BỔ ĐỀ TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP CÁC SỐ THỰC DƯƠNG
Đoàn Quang Đăng – 12 Toán – THPT Chuyên Bến Tre
OCTOBER 24, 2021
Trang 2I Hai số bổ đề trong bài toán phương trình hàm trên
tập số dương.
Bổ đề 1. Cho các hàm số f g h, , : thỏa mãn
f g x y h x f y
với mọi ,x y0 Khi đó hàm ( )
( )
g x
h x là hàm hằng
Chứng minh Ký hiệu ( , )P x y chỉ khẳng định f g x ( )yh x( ) f y( ),x y, 0
Từ P x y , g x( ) ta suy ra
f yg x f y h x x yg x
Với ,x y0 và p q, sao cho pg x qg y 0 Từ các đẳng thức trên ta dễ dàng chứng minh được
f z pg x qg y f z ph x qh y
với z0 đủ lớn Nếu ph x qh y 0, khi đó ta thay p q, bởi kp kq, với k
nguyên dương đủ lớn thì
f z ph x qh y vố lý
Như vậy p g x q g y ph x( )qh y( ),x y, 0 Hay
, , 0
x y
Giả sử ( ) ( ),
( ) ( )
g y h y khi đó ta có thể chọn p q, sao cho
,
g y p h y
điều này mâu thuẫn với chứng minh trên Vậy ( ) ( ), , 0,
( ) ( )
x y
h y g y hay ( ) ( )
, , 0
( ) ( )
x y
Trang 3Thay đổi vai trò ,x y trong đánh giá trên ta thu được ( ) ( ) , , 0.
( ) ( )
Vậy hàm ( )
( )
g x
h x là hàm hằng Chứng minh hoàn tất
Bổ đề 2. Cho hàm f : đơn ánh thỏa mãn
( ( )) 2 , 0,
f x f x x x
khi đó f x( ) x, x 0
Chứng minh. Giả sử tồn tại hàm thỏa mãn yêu cầu.Thay x bởi ( )
2
f y ta được
( ) ( )
Ta chứng minh mệnh đề sau: Với số thực không âm a, nếu f x( )ax, x 0, thì
2
1
a
Tương tự, nếu f x( )ax, x 0, thì
2
1
a
Chứng minh: Với mọi y0, ta có
a
Tương tự ta suy ra điều phải chứng minh
Áp dụng mệnh đề trên với a0, ta có f x( )0 ,x x 0, suy ra
n x f x n x x
với n là số tự nhiên Cho n ta được
f x x x
Bổ đề đã được chứng minh
Trang 4II Một số bài toán minh họa cho bổ đề
Ta đến với một số bài toán minh họa cho bổ đề 1
Bài toán 1 (Gặp gỡ Toán học 2019). Tìm tất cả hàm số :
f thỏa mãn
f x f y y f x
với mọi ,x y0
Lời giải 1. Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Áp dụng bổ đề 1 ta suy ra ( ) 2 ,f y ay y 0 với a0 là hằng số
Thay vào phương trình ban đầu ta suy ra 2 1
2
Vậy f x( ) 2 ,x x 0 Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu
Lời giải 2. Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ký hiệu P x y , chỉ khẳng định f x f y( )2y f x( ),x y, 0
Giả sử ,a b0 sao cho ( )f a f b( ), từ P x a P x b , , , ta suy ra
2a f x( ) f x f a( ) f x f b( ) 2b f x( ) a b
Vậy f là đơn ánh Từ P x y , z ta suy ra
f x f yz y z f x
2y f x( ) 2z f x f y( ) f z( ) , x y z, , 0
Mà f là đơn ánh nên ta suy ra
f zy f z f y y z Suy ra ( )f x ax, x 0 Thay vào phương trình ban đầu ta tìm được a 2 Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( ) 2 , 0
f x x x
Trang 5Bài toán 2 (BMO 2021) Tìm tất cả hàm số f : thỏa mãn
f x f x f y f x y
với mọi ,x y0
Lời giải 1. Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ký hiệu ( , )P x y chỉ khẳng định f x f x f y 2f x y, x y, 0
Từ (1, )P y ta suy ra
1 1 2 1 , 0
Mặt khác từ P x ,1 f 1 f y ta suy ra
Áp dụng bổ đề 1 ta suy ra ngay
2 ( ) 1 (1)
( ) 2 (1)
(với c0 là hằng số) (c 2) ( )f x cx f(1) 2cf(1) 1, x 0
Nếu c2 thì ta thấy ngay điều vô lý, do đó c2 Suy ra ( )f x ax b , x 0
Thay vào phương trình ban đầu ta tìm được a1 và b0
Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( ) , 0
f x x x
Lời giải 2. Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn Dễ dàng chứng minh được f là đơn ánh
Từ P x x , ta suy ra
Ta thêm biến z0 Từ P x f x( ) f z y( ), ta suy ra
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) 2 , , , 0
f x f x f z f x z f y f x x y x y z (2)
Từ P x , 2 ( )f y ta suy ra
Trang 6
Thay đổi vai trò của ,x y trong đẳng thức trên và đối chiếu với chính nó ta tu được
Do f là đơn ánh nên ta suy ra
2 2 , , 0
x f x f f y y f y f f x x y
Từ (2) ta thay z bởi ( )f y và y bởi 2 ( ) f y thì được
Sử dụng tính đơn ánh và (3) ta suy ra
, , 0
Thay y bởi y2 ( )f y vào đẳng thức trên và chú ý (1), ta thu được
y f y f x f f x y f y x y
Suy ra
f f x f x x
Do f là đơn ánh nên ta suy ra ( ) f x x, x 0
Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( ) , 0
f x x x
Trang 7Bài toán 3 Tìm tất cả hàm số f : thỏa mãn
f f x f x y x f y
với mọi ,x y0
Lời giải Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Áp dụng bổ đề 1 ta suy ra
f x f x cx x (c0 là hằng số) Thay vào phương trình ban đầu ta thu được
f cxy x f y x y
Ta thay x bởi
2
x
c vào đẳng thức trên thì được
c
Thay đổi vai trò ,x y trong phương trình trên và đối chiếu với chính nó ta thu được
hay
c
Thay vào phương trình ban đầu ta dễ dàng suy ra ( )f x x, x 0
Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
( ) , 0
f x x x
Trang 8Bài toán 4 Tìm tất cả hàm số f : thỏa mãn
( ) 2 ( ) ( )
f x f x y f x f y
với mọi ,x y0
Lời giải 1 Áp dụng bổ đề 1 ta suy ra ngay
2 ( )f x c x f x( ) , x 0 f x c( ) 2 cx, x 0 với c0 là hằng số Nếu c2 thì 2 x 0, x 0, vô lý Do đó c2, suy ra
f x ax x
Thay vào ta tìm được a1 Vậy ( )f x x, x 0 Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu bài toán
Lời giải 2 Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ký hiệu ( , )P x y chỉ khẳng định f x f x( )y2 ( )f x f y( ),x y, 0
Bước 1 f x f x( )2 ( ),f x x 0
Chứng minh: Từ P x ,1 f(1) ta suy ra
( ) 1 (1) 2 ( ) 1 (1) , 0
f x f x f f x f f x
Mặt khác, từ P1,x f x( ) ta suy ra
1 (1) ( ) 2 (1) ( ) , 0
f f x f x f f x f x x
Từ hai đẳng thức trên ta suy ra
( ) 2 ( ) , 0
f x f x f x c x
với c f 1 f 1 2f 1 Ta chứng minh c0 Với , ,x y z0 và y c 0 từ
P x f x z yc ta suy ra
f z f z x f x y c f y c f z f x
Từ P z x , 3f x y c ta suy ra
f z f z x f x y c f x f x y c f z
Trang 9Kết hợp hai đẳng thức trên ta suy ra
f x f x y c f y c f x
Mặt khác từ P x f x y( ), ta thu được
f x f x y c f y f x c
Do đó f x c f x( ) 2 , c x 0 thỏa x c 0 Từ P x c y , ta suy ra
( ) 6 2 ( ) ( ) 4 0
f x f x y c f x f y c c
Bước 2 f là đơn ánh
Chứng minh: Giả sử tồn tại a b 0 sao cho ( )f a f b( )d
Từ P a x , và P b x a b , ta suy ra f x a b f x , x 0 Từ đây bằng quy nạp ta chứng minh được f x f x n a b ( ) , x 0 với n
Với x0 và n thỏa mãn (n a b ) f x( ), từ P x n a b , f x ta suy ra
f xn a b f n a b f x f x hay
f n a b f x f x vô lý
Vậy f là đơn ánh
Bước 3 f x( ) x, x 0
Chứng minh: Ký hiệu ( ) Q x chỉ khẳng định f x f x( )2 ( ),f x x 0
Từ P x x , f x( ) ta suy ra
2 2 4 , 0
Từ Q x f x( ) ta thu được f x 3f x 4f x , x 0
Do đó f x 3f x f 2x2f x , x 0. Kết hợp với f là đơn ánh ta suy ra
( ) , 0
f x x x
Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )f x x, x 0
Trang 10Bài toán 5. Tìm tất cả hàm số f : thỏa mãn
f f x f f x y xf x f y
với mọi ,x y0
Lời giải Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ký hiệu ( , )P x y chỉ khẳng định f f x f f x yxf x f y ,x y, 0
Bước 1 f f x ( ) x, x 0
Sử dụng bổ đề 1 trên ta suy ra
f f( ) , 0
f x f f x cx f x x cx x (vớic0 là hằng số)
Từ đó ta suy ra f là song ánh và
, 0
cf x f f f x f c x x
Từ phương trình ban đầu, ta lấy f hai vế ta thu được
2
f xf x f y f f f x f f x y c xf x cy x y
Do f là toàn ánh nên từ đẳng thức trên ta thay y f z
c
với z0 nào đó thì được
f xf x z cxf cx f z f c xf x z
Từ đây, do f là đơn ánh nên ta suy ra c1 hay f f x ( ) x, x 0
Khi đó ( , )P x y viết lại thành f xf x y xf x f y ,x,y0
Bước 2 f y( ) y xf x( ),x y, 0
Từ ( , )P x y bằng quy nạp ta chứng minh được
Q x y n f ynxf x f y nxf x x y n
Giả sử tồn tại ,x y0 sao cho 1
( ) (
) )
(
f x
Khi đó tồn tại *
n sao cho
Trang 11( )
( ) 0
xf x xf x và ( )f y nxf x( )
Khi đó, từ Q x y nxf x n , ( ), ta suy ra
f y f y nxf x nxf x nxf x mâu thuẫn
( ) ( )
x y
xf x xf x hay ( )f y y xf x( ),x y, 0
Bước 3 f x( ) x, x 0
Từ đánh giá ở bước 2, ta thay y bởi ( ) f y thì được
( ) ( ), , 0
y f y xf x x y
Do đó
yxf x f y y xf x x y
Chú ý rằng ta có
2
0 yf y( ) y xyf x( ),x y, 0
Từ đây ta suy ra
0
lim ( ) 0
y yf y
Từ yxf x( ) f y( ) y xf x( )cho x0 , suy ra
f y y y
Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là ( )f x x, x 0
Trang 12Tiếp theo ta đến với hai số bài toán minh họa cho bổ đề 2
Bài toán 6 Tìm tất cả hàm số f : thỏa mãn
f f x f f x y xf x f y
với mọi ,x y0
Lời giải Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trước hết ta chứng minh f là đơn ánh
Chứng minh: Với a b, 0 giả sử f a( ) f b( ), khi đó lấy P x a( , )P x b( , ) ta được
f f x a f f x b a b x
Đặt d a b , khi đó với mọi x đủ lớn ta có f x( d) f x( )2 d
Với x đủ lớn, từ P x( d y, ) ta thu được
f x f y d f y f x d xy d
Kết hợp với P x y( , ) ta suy ra d 0 hay ab. Hay f là đơn ánh
Từ P x x( , ) ta suy ra f x( f x( ))2 ,x x 0
Áp dụng bổ đề vừa chứng minh ta suy ra f x( ) x, x 0
Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn
Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
f x x x
Trang 13Bài toán 7. Tìm tất cả hàm số f : thỏa mãn
f x f xy f y f xy xy
với mọi ,x y0
Lời giải Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trước hết ta chứng minh f là đơn ánh
Chứng minh: Giả sử tồn tại , a b0 sao cho ( )f a f b( )c Không giảm tính tổng
quát, ta giả sử a b
Đặt k a 1
b
x
ta suy ra
2
2
Từ P b,kx
x
ta suy ra
2
2 2
Trừ hai đẳng thức trên vế theo vế ta thu được
f x c f k x c ba k x ba x
Từ đây bằng quy nạp ta chứng minh được
f x c n b a f k x c n ba x
Với mọi n nguyên dương Cố định x0 và cho n ta thấy ngay điều vô lý
Do đó f là đơn ánh
Từ phương trình ban đầu ta ta thay x y, x thì được
f f x x x x
Áp dụng bổ đề trên ta suy ra ( )f x x, x 0 Thử lại ta thấy hàm số này thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy tất cả hàm số thỏa mãn yêu cầu là ( )f x x, x 0