MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CHỌN LỌC QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CÁC TỈNH NĂM 2020 Nguyễn Duy Khương − CLB Toán Lim − Hà Nội Lời nói đầu Hàng năm vào tháng 9 tháng 10 là thời điểm mà các tỉnh thành trong cả nước tiến hành tổ chức kì thi chọn đội tuyển để chọn ra các học sinh giỏi nhất thi VMO Bài viết đề cập tới một số bài toán hình học hay mà tác giả chọn lọc từ các đề thi chọn đội tuyển nằm nay Bài toán 1 (Chọn đội tuyển Hưng Yên 2020) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) (I) tiếp xúc BC,[.]
Trang 1CÁC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CÁC TỈNH NĂM 2020
Nguyễn Duy Khương − CLB Toán Lim − Hà Nội
Lời nói đầu Hàng năm vào tháng 9 - tháng 10 là thời điểm mà các tỉnh thành trong cả nước tiến hành tổ chức kì thi chọn đội tuyển để chọn ra các học sinh giỏi nhất thi VMO Bài viết đề cập tới một số bài toán hình học hay mà tác giả chọn lọc từ các
đề thi chọn đội tuyển nằm nay
Bài toán 1 (Chọn đội tuyển Hưng Yên 2020)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) (I) tiếp xúc BC, CA, AB tại lần lượt
X, Y, Z Các đường phân giác trong và ngoài góc A của tam giác ABC cắt BC tại
E, F lần lượt Các tiếp tuyến kẻ từ E, F đến (I) cắt nhau tại D khác E, F Trên BI lấy K sao cho: DK ⊥ AI Gọi M, N là tiếp điểm của (I) với DE, DF
a) Giả sử BC cố định và A di động Chứng minh rằng K thuộc 1 đường tròn cố định
b) Đường thẳng qua D song song AB cắt AC, M N lần lượt tại P, Q Đường thẳng
QZ cắt (I) tại T Chứng minh rằng P T tiếp xúc (I)
Lời giải
A
D
I
E
N
X
Y
Z
K
P
Q T
L
Trang 21.1 Một số bài toán hình học chọn lọc qua các đề thi chọn đội tuyển các tỉnh năm 2020
a) Ta đã biết kết quả quen thuộc rằng BI cắt Y Z trên đường tròn đường kính BC
Do đó ta cần chỉ rằng Y, Z, D thẳng hàng là ta có điều phải chứng minh
Ta có: M, N đối xứng nhau qua AI dẫn đến AX, AM đẳng giác ứng với góc BAC
Ta có: ∠IAF = ∠INF = ∠IXF = 90◦ dẫn đến: A, N, I, X, F đồng viên suy ra:
∠NAI = ∠IF X = ∠IAX hay là AN, AX cũng đẳng giác ứng với góc BAC Do đó
A, M, N thẳng hàng tức là theo tính chất tứ giác điều hòa thì Y, Z, D thẳng hàng hay
là ta có điều phải chứng minh
b) Gọi M N ∩ Y Z = L Ta chứng minh rằng P là trung điểm của DQ
Sử dụng định lí M enelaus cho tam giác DLQ ta cần chứng minh rằng: AQ
QL =
Y D
Y L kết hợp định lí T hales ta cần: ZD
ZL =
Y D
Y L hay là (DL, Y Z) = −1 (đúng câu a))
Do P D ∥ AB dẫn đến: P D = P Y Vậy ta thu được ∠DY Q = 90◦ Ta có:∠ZT Y =
∠AZY = ∠Y DQ do đó: Y T QD là tứ giác nội tiếp dẫn đến: ∠DT Q = 90◦ dẫn đến:
Nhận xét: Đây là 1 bài toán hay mà sử dụng rất khéo léo các giả thiết để dẫn tới các tính chất về tứ giác điều hòa, hàng điều hòa và biến đổi tỉ số
Bài toán 2 (Chọn đội tuyển PTNK ngày 2 năm 2020)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) với A di động trên cung BC lớn cố định của (O) Dựng hình bình hành ABDC AD∩ (BCD) = K, D Gọi R1, R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKB, AKC
a) Chứng minh rằng R1.R2 cố định
b) Đường tròn qua K tiếp xúc DB tại B cắt đường tròn qua K tiếp xúc CD tại C tại điểm thứ hai là L Chứng minh rằng AL đi qua 1 điểm cố định
Lời giải
A
B
C
D
E
F H
Trang 3sin AKB 1 sin B sin C 2 Suy ra: R1.R2= AB.AC
sin B.sinC = 2R.2R = 4R
2 b) Ta có: ∠KLB = 180◦ − ∠DBK = ∠KCD = 180◦
− ∠KLC do đó: B, L, C thẳng hàng Áp dụng định lí hàm số sin ta có: LB
sin LKB =
KL sin KBC. Tương tự thì: LC
sin LKC =
KL sin KCB do đó:
LB
LC =
AB2
AC2 điều này dẫn đến: AL là đường đối trung của tam giác ABC hay là: AL đi qua P là giao hai tiếp tuyến tại B, C
Nhận xét: Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC và K0 là hình chiếu của H lên AM , BE, CF là các đường cao của tam giác ABC Ta có kết quả quen thuộc rằng: M E, M F tiếp xúc đường tròn đường kính AH chú ý rằng K0 ∈ (AH)
do đó: M K0.M A = M K0.M D = M B2 như vậy dẫn đến: (AK0B) và (AK0C) tiếp xúc BC
Chú ý rằng D đối xứng A qua trung điểm BC dẫn đến: D ∈ (BHC) Suy ra K trùng K0 Điểm K trong bài toán còn được gọi là điểm A− Humpty
Bài toán 3 (Chọn đội tuyển Hà Nội 2020 ngày 2)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có AB < AC
Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC
cắt nhau tại H EF∩ BC = S, từ S kẻ các tiếp
tuyến SX, SY đến (O) với X, Y là các tiếp điểm
a) Chứng minh rằng X, Y, D thẳng hàng
b) XY ∩ EF = I
Chứng minh rằng IH chia đôi BC
A
O
S
X
Y
D
E
K
I
M
L
R
P
Lời giải
a) Kẻ đường kính AK của (O) Ta dễ thấy rằng H, M, K thẳng hàng do BHCK là hình bình hành Gọi đường tròn (AEF ) cắt (ABC) tại điểm thứ hai là L, theo tính
Trang 41.1 Một số bài toán hình học chọn lọc qua các đề thi chọn đội tuyển các tỉnh năm 2020
chất trục đẳng phương cho ba đường tròn (AEF ), (BF EC), (O) ta có: AL, EF, BC đồng quy tại S
Do đó: HM ⊥ AS Do đó: DH.DA = DM.DS = DB.DC hay là theo hệ thức
M aclaurin đảo thì: (SD, BC) = −1 dẫn đến: D thuộc đối cực của S(chính là XY ) ứng với (O) dẫn đến: X, Y, D thẳng hàng
b) Theo tính chất tứ giác điều hòa thì: XY đi qua giao hai tiếp tuyến tại B, C của (O)
là P Gọi tia M H cắt EF tại I0
Ta chứng minh rằng I0 ∈ XY AO ∩ EF = T và P D cắt SO tại R
Ta có: M O.M P = M B2 = M D.M S (theo hệ thức N ewton cho hàng điểm điều hòa (SD, BC) = −1) điều này dẫn đến: D là trực tâm tam giác OSP hay là: P R ⊥ SO
Ta có: LI0T A là tứ giác nội tiếp dẫn đến:
SI0.ST = SL.SA = SB.SC = SD.SM = SR.SO
do đó: ∠I0RO = ∠IT O = 90◦ tức là: I0, R, P, D thẳng hàng
Nhận xét: Đây là 1 bài toán đã cũ Hoàn toàn có thể giải quyết bằng kiến thức THCS nhưng bản chất của bài toán nằm ở kiến thức về cực và đối cực
Bài toán 4 (Chọn đội tuyển Lâm Đồng 2020)
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp (O) H là hình chiếu của A lên BC
D, E, M lần lượt là trung điểm của HB, HC, BC (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và (J ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác (ACD)
a) Chứng minh rằng BC = 4IJ
b) (I) cắt AC tại S khác A và (J ) cắt AB tại R khác A Đường trung tuyến ứng với
H của tam giác AHM cắt RS tại T Chứng minh rằng AT, BS, CR đồng quy
Lời giải
a) Gọi X, Y lần lượt là trung điểm DC, EB Ta có: IJ = XY Ta có: BC = BE +
CD− DE = 2Y E + 2DX − DE = 2(XY − XE) + 2(XY + DY ) − DE = 4XY + 2DY − 2XE − DE = 4XY
Trang 5B C
O
R
H
S
T W
Q
G
b)(Dựa trên lời giải của Đoàn Phương Khang - lớp 10 Toán THPT chuyên KHTN
Hà Nội)
Ta có: CS.CA = CD.CE = CM.CH nên ta có: S thuộc đường tròn đường kính
AM Chứng minh tương tự ta có: R thuộc đường tròn đường kính AM Ta gọi RS cắt BC tại W Gọi AM, HR, HS cắt P N tại Q, V, U Theo hàng điều hòa cơ bản thì: A(W G, BC) =−1 ta cần chỉ ra rằng: A(T W, BC) = −1 = H(T X, RS) = H(QM, V U) hay là cần có: Q là trung điểm U V
Ta có: ∠MAC = ∠MHS = ∠QUS = ∠AUV (do A, H đối xứng nhau qua NP )
Do đó: QA2 = QN.QU Tương tự QA2 = QN.QV do đó: QU = QV hay điều phải
Bài toán 5 (Thi HSG Vĩnh Phúc lớp 12)
Cho BC là dây cung cố định của (O; R) Xét A thay đổi trên cung BC lớn của (O) sao cho tam giác ABC nhọn, không cân BE, CF là đường cao Trung trực của BE, CF cắt EF tại S, R Giả sử BR∩ CS = L
a) Chứng minh rằng AL đi qua 1 điểm cố định
b) Dựng các hình bình hành AXLY, BV LT, CU LZ với F, V thuộc AB và T, Z thuộc BC và X, U thuộc CA XY, U Z, V T đôi một cắt nhau tạo thành tam giác
A1B1C1 Chứng minh rằng bán kính nội tiếp tam giác A1B1C1 không đổi
Lời giải
Trang 61.1 Một số bài toán hình học chọn lọc qua các đề thi chọn đội tuyển các tỉnh năm 2020
B 1
A 1
C 1
A
O R
S L E
F
X
Y
Z T
U V
W
J
M
a) Theo bổ đề quen thuộc từ bài toán 6 VMO 2019 thì ta có: BR, CS lần lượt
là các đường đối trung của tam giác ABC dẫn đến L là điểm Lemoine của tam giác này Do đó: AL đi qua giao hai tiếp tuyến tại B, C cố định của (O)
b) Ta có tính chất quen thuộc rằng BY XC nội tiếp do đó: XY ∥ EF dẫn đến: XY vuông AO Gọi J là trung điểm OL.Ta gọi W, G, H lần lượt là trung điểm XY, V T, U Z
Ta có: J W vuông XY và là đường trung bình của tam giác ALO dẫn đến: J W = AO
2 . Tương tự thì suy ra: J là tâm của (W GH) Để ý rằng (J ) chính là đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1 dẫn đến bán kính đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1 là R
2
Nhận xét: Bài toán có hình vẽ xây dựng cực kì phức tạp nhưng thực chất được ghép nối khá nhiều từ các bài toán cũ nhưng thú vị
Bài toán 6 (Trải nghiệm VMO 2020 đợt 2)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) AB∩ DC = E và BC ∩ AD = F AC ∩ EF = G Giả sử (AEG) cắt (O) tại K khác A
a) Chứng minh rằng KD chia đôi EF tại điểm I
b) Gọi (IAC) cắt EF tại điểm J khác I và BD cắt EF tại H Chứng minh rằng
OH = OJ
Trang 7A B
C D
E
F
G
K
I
J
R M N S
T
a) Lấy AC ∩ BD = R Gọi BD ∩ EF = H Rõ ràng điều phải chứng minh tương đương: PI/(O) = IE2 Xét phép chiếu xuyên tâm F ta có: F (GR, AC) = −1 dẫn đến theo hệ thức M aclaurin thì: RM.RG = RA.RC Tương tự thì: RB.RD = RN.RH
Do đó: GHM N nội tiếp Gọi IR cắt (O) tại S, T
Từ chứng minh định lí Brocard ta có: (IR, ST ) = −1 Chiếu xuyên tâm R ta có: R(EF, GH) = R(EF, CD) =−1 dẫn đến: IE2 = IF2 = IG.IH = IS.IT = PI/(O) hay
là điều phải chứng minh
b) Áp dụng định lí Brocard ta có: OR⊥ EF Do đó ta cần chỉ ra rằng: RH = RJ là được Từ câu a) ta có: ∠GHR = ∠GMN
Ta có: (GR, AC) = −1 dẫn đến: GA.GC = GR.GM = GI.GJ do đó: JIRM nội tiếp tức là:∠GJR = ∠NM G = ∠GHR do đó: RJ = RH Vậy tóm lại ta có điều phải
Bài toán 7 (Chọn đội tuyển Phú Thọ 2020-China TST 2012)
Giả sử O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC với bản kính
R, r tương ứng Gọi P là điểm chính giữa cung BAC, QP là đường kính của (O), D
là giao điểm của P I và BC, F là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AID với đường thẳng P A khác A Lấy E trên tia DP sao cho DE = DQ
a) Chứng minh rằng ∠IDF = 90◦
b) Giả sử ∠AEF = ∠AP E, chứng minh rằng sin2BAC = 2r
R.
Trang 81.1 Một số bài toán hình học chọn lọc qua các đề thi chọn đội tuyển các tỉnh năm 2020
Lời giải
Xin bỏ qua ý a) khá hiển nhiên để giải
quyết ý b)
*) Theo định lí hàm số sin thì:
a sin A = 2R dẫn đến: sin2A = a
2 4R2 = 2r
R tức là tương đương a2 = 8R.r = 4PI/(O)
(hệ thức Euler)
O A
Q
F
D I
P
E
M H
Suy ra: a
2
4 = PI/(O)= PM/(O) điều này tương đương OI = OM
*) Ta có từ giả thiết: ∠AEF = ∠AP E ⇔ 4F EA 4F P E ⇔ ∠F ED = ∠EAP
Kẻ EH vuông AP (tạo tương ứng đồng dạng)
Ta có: ∠DHF = ∠DEF = ∠EAP dẫn đến: DH chia đôi AE
Dùng định lí M enelaus cho tam giác AEP ta có: DP
DE · 1 · HA
HP = 1 suy ra:
DP
DE =
HP
HA =
EP
EI =
DP − EP
DE− EI =
DE
DI (vai trò của F đã hết).
Suy ra: DQ2 = DI.DP và chú ý QI2 = QM.QP (= QC2) dẫn đến: IM ∥ DQ
*) Ta có: ∠QDM = ∠IMB = ∠IP A tức là 4IAP 4QMD ⇒ IA
QM =
AP
M D. Điều phải chứng minh tương đương: IA.IQ = M Q.M P = IA.QC ⇔ M P
QC =
AP
M D
⇔ MP.MD = AP.QC
⇔ M QQC = M P
AP .
M D
M Q =
M P
AP .
AP
AI =
M P AI
⇔ IA.IQ = MQ.MP
Nhận xét: Đây là một bài toán hay và khó Việc tìm hiểu giả thiết lạ của nó có thể khiến thí sinh choáng ngợp Cần đổi lại về dạng tỉ số hợp lí hơn bằng cách suy ngược lại từ kết luận
Nhìn chung đề chọn đội tuyển các đội năm nay có nhiều bài toán hay, đáng để nghiền ngẫm So với năm 2019, có lẽ độ đa dạng đã tăng lên đáng kể Qua các bài toán tác giả bài viết chọn, có thể thấy đầy đủ các màu sắc và dạng toán đã xuất hiện