Một số bài toán hình học tổ hợp ôn thi VMO năm 2022 - Lê Phúc Lữ

1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC TỔ HỢP Lê Phúc Lữ Thành phố Hồ Chí Minh I Kiến thức cần nhớ 1 Các khái niệm cơ bản về hình học tổ hợp Khoảng cách từ điểm M đến hình ( )H là { }min | ( )MN N H∈ Chẳng hạn nếu ( )H là một điểm thì khoảng cách từ M đến hình ( )H chính là độ dài đoạn thẳng, nếu ( )H là đường tròn ( )O thì đó chính là khoảng cách từ M đến giao điểm gần nhất của MO với đường tròn, h N OM Lân cận bán kính d của hình ( )H là tập hợp các điểm M có khoảng cách đến ( )H không vượt quá d Chẳng hạ[.]

- Kho ảng cách: từ điểm M đến hình (H) là min{MN N| ∈(H)}

Chẳng hạn nếu (H) là một điểm thì khoảng cách từ M đến hình (H) chính là độ dài đoạn

thẳng, nếu (H) là đường tròn ( )O thì đó chính là khoảng cách từ M đến giao điểm gần nhất

của MO với đường tròn,

C

D

- Bao l ồi: của một hệ điểm là đa giác lồi có đỉnh thuộc hệ điểm đã cho, có chu vi nhỏ nhất và

chứa toàn bộ hệ điểm đó Bao lồi là một công cụ mạnh, không chỉ để giải quyết các bài toán mang tính lý thuyết mà còn cả những bài mang tính thực tiễn cao

- Một đa giác có khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm M N, bất kì nằm trong nó không vượt quá

d có thể nội tiếp được trong một hình tròn có đường kính là d

- Một đa giác có số cạnh chẵn thì tồn tại một đường chéo không song song với bất cứ cạnh nào

của đa giác

- Định lí Pick: một đa giác lồi không tự cắt có a điểm nguyên trên cạnh (có tính cả đỉnh) và b

điểm nguyên nằm phía trong thì có diện tích là 1

Gi ải

Xét một điểm ,1A i ≤ ≤i nnào đó, có tất cả: 2

1

( 1)( 2)2

n n− n− đường thẳng trong mặt phẳng và có n−2 đường

thẳng cùng song song với nhau

Ta sẽ tìm số giao điểm tối đa của một đường thẳng d đi qua điểm ,1A i ≤ ≤i nnào đó với các

đường thẳng khác còn lại Ngoài đường thẳng d ra, ta còn ( 1)( 2) 1

N = − − − đường cùng đi qua A i như đường thẳng d

Do đường thẳng d song song với P= −n 3 đường thẳng khác nên số giao điểm nhiều nhất trên đường thẳng d là:

n n− n− đường thẳng và mỗi giao điểm như trên được tính 2 lần nên số giao

điểm tối đa có thể có là: ( 1)( 2)( 3 4 2 3 4)

Bài 2 Trong m ặt phẳng cho n điểm phân biệt A A1, 2, ,A n sao cho không có ba điểm nào

th ẳng hàng và bốn điểm nào tạo thành hình bình hành Gọi M i i, =1,m là trung điểm của các đoạn thẳng A A i i j, ≠ j nào đó Gọi N là tổng độ dài các đoạn A A i i j, ≠ j và M là t ổng độ dài các đoạn M M i i j, ≠ j Ch ứng minh rằng: 2 3 1

n

= tứ giác Cộng từng vế các hệ thức đó, ta được:

5

Bài 3 Trong m ặt phẳng cho 3n điểm phân biệt A A1, 2, A 3n sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa 2 điểm bất kì không vượt quá 1 Chứng minh rằng:

1 Tồn tại đường thẳng d không đi qua bất cứ điểm nào trong các điểm A A1, 2, A và 3n

không song song với bất cứ đường thẳng chứa 2 điểm A A i i, j, ≠ j nào

2 Gi ả sử khoảng cách từ các điểm A A1, 2, A 3n đến đường thẳng d tăng dần

Ch ứng minh rằng các tam giác: A3 1i+ A3i+2A3i+3,i=1,n đôi một rời nhau

3 Ch ứng minh rằng tổng diện tích của n tam giác trên nhỏ hơn 1

2

Gi ải

1 Gọi Ω là đa giác lồi chứa tất cả các điểmA A1, 2, A K3n ẻ một đường thẳng trong mặt phẳng không cắt bất cứ cạnh nào của Ω thì đường thẳng này không đi qua điểm nào trong các điểm nói trên Do số điểm đã cho hữu hạn nên số đường thẳng qua 2 điểm bất kì cũng hữu hạn, vì vậy tồn

tại một đường thẳng không song song với bất cứ đường thẳng chứa 2 điểm nào trong 3n điểmtrên

Từ đó suy ra đường thẳng d tồn tại và ta có đpcm

2 Qua các điểm A3 1i+ , kẻ các đường thẳng ∆ song song vi ới d Do khoảng cách từ các điểm

1, 2, 3n

A A A đến d tăng dần nên các đường thẳng ∆ nói trên chia mi ặt phẳng thành các dãy mà

mỗi tam giác A3 1i+ A3i+2A3i+3,i=1,n được phân cách với các tam giác khác bởi các đường thẳng

Bài 4 Trong m ặt phẳng, cho tập hợp A gồm 2

2014 điểm phân biệt được đánh số từ 1 đến

2

2014 sao cho ba điểm bất kì nào trong chúng cũng không thẳng hàng Một tứ giác (lồi hoặc lõm) được gọi là “đẹp” nếu các đỉnh của nó thuộc A và được đánh số bằng 4 số thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

- Đó là 4 số tự nhiên cách nhau 2014 đơn vị

- Đó là 4 số tự nhiên liên tiếp và nếu trong đó có chứa số chia hết cho 2014 thì s ố đó phải là lớn nhất hoặc nhỏ nhất

N ối tất cả các điểm thuộc tập hợp A lại với nhau sao cho điểm nào thuộc A cũng thuộc đúng

m ột tứ giác

Tìm s ố lớn nhất tứ giác “đẹp” được tạo thành

Gi ải Xét một bảng ô vuông gồm 2014 2014× ô vuông con được điền các số theo thứ tự từ trên xuống và trái sang như sau:

2014 điểm đã cho thành các tứ giác

“đẹp” được Rõ ràng 4 số trên các đỉnh của các tứ giác “đẹp” tương ứng với 4 số bị che đi trên

bảng ô vuông khi đặt một mảnh bìa hình chữ nhật kích thước 1 4× vào đó Ta sẽ chứng minh

rằng không thể che hết toàn bộ bảng ô vuông này bằng các hình chữ nhật 1 4×

Thật vậy, ta tô màu các ô vuông nằm ở cột chẵn và hàng chẵn Do bảng có 2

2014 ô vuông nên số

ô vuông bị tô màu là: 20142 1014049

4 = là số lẻ

7

Giả sử ngược lại rằng ta có thể lấp kín được cả bảng ô vuông bằng các mảnh bìa

Khi đó, mỗi mảnh bìa sẽ che đi hoặc hai ô vuông hoặc không có ô vuông nào của bảng ô vuông, tức là luôn có một số chẵn ô vuông bị che đi; do đó, số ô vuông bị che đi trên bảng là một số chẵn Từ đó ta thấy có mâu thuẫn

Vậy không thể che hết bảng ô vuông này bằng các hình chữ nhật 1 4× được

- Phần 2 gồm 2 cột cuối, ta xếp nối tiếp các mảnh bìa từ trên xuống dưới thì cuối cùng sẽ còn lại

một ô vuông 2 2× ở góc dưới cùng của bảng

Như vậy, ta dùng k =1014048mảnh bìa che được tối đa 2

Giả sử sau n lần cắt, ta thu được 30 đa giác có 70 cạnh Cần tìm giá trị nhỏ nhất của n

Ta thấy sau một lần cắt một mảnh giấy thành 2 mảnh, số đỉnh của các đa giác tăng lên đúng 4 đỉnh (vì các đường cắt không đi qua đỉnh nào của mảnh giấy); do đó, sau n lần cắt, số đỉnh tăng lên tổng cộng là 4n + 4

Mặt khác, sau mỗi lần cắt như vậy, ta có thêm đúng 1 đa giác nên sau n lần cắt có tất cả n + 1 đa giác; ta đã có 30 đa giác có 70 cạnh nên số đa giác còn lại là (n+ −1) 30= −n 29 Mà mỗi đa giác có ít nhất 3 đỉnh (trường hợp mảnh giấy hình tam giác) nên tổng số đỉnh của các đa giác còn

lại là 3(n−29)

Từ đó, ta được: 4n+ ≥4 30.70 3(+ n−29)⇔ ≥n 2009

Ta sẽ chứng minh n=2009 chính là giá trị nhỏ nhất cần tìm bằng cách chỉ ra một cách cắt thỏa mãn đề bài

Trước hết, ta cắt các mảnh giấy 29 lần để được 30 hình chữ nhật Sau đó, ở mỗi hình chữ nhật, ta

cắt 66 lần (mỗi lần như vậy số đỉnh của đa giác tăng lên 1) để thu được đa giác 70 cạnh Số lần cắt tổng cộng là: 29 30.66+ =2009 Vậy số lần cắt ít nhất cần tìm là 2009 lần

8

Bài 6 Trên m ặt phẳng cho n điểm A A A1, 2, 3, ,A sao cho kho n ảng cách giữa các điểm đôi một khác nhau Trong các đoạn thẳng xuất phát từ ,1 A i ≤ ≤ , ta g i n ọi A j j, ≠i là điểm mà khoảng cách A A i j ng ắn nhất và tô màu đoạn đó; tiếp tục chọn trong các đoạn thẳng xuất phát từ

A A+ A A Khi đó, theo cách lựa chọn các điểm, ta có:A A i i+1>A A i+1 i+2 > > A A m i Từ đây suy

ra có điểmA mà m A A m i <A A i i+1, mâu thuẫn với cách chọn A i+1 Từ đây ta có đpcm

Bài 7 Trong hình vuông c ạnh 200 cm có 2010 đa giác lồi mà mỗi đa giác có diện tích không quá 2 (π cm2)và chu vi không quá 3 (π cm) Ch ứng minh trong hình vuông luôn tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 cmkhông cắt bất cứ đa giác nào

0

360 Thật vậy, với mỗi đa giác như vậy, ta chia thành n – 2 tam giác có chung đỉnh và đôi một

rời nhau Tổng các góc của mỗi tam giác như vậy là 0

180 nên tổng các góc trong của đa giác lồi

(n−2)180 Do đó, tổng các góc ngoài của đa giác lồi là : 0 0 0

.180 ( 2).180 360

2010.6π <2010.6.3, 2=38592 (cm )<39204 (cm )

Vậy tồn tại một điểm A thuộc hình vuông cạnh 198 cm mà không thuộc bất cứ đa giác và lân cận

1 cm nào của chúng Khi đó đường tròn (A,1 cm) không cắt bất cứ đa giác nào và rõ ràng nó thỏa mãn đề bài Ta có đpcm

Bài 8 Trong m ột hình vuông có cạnh là 1 cho k điểm phân biệt bất kì (có thể thẳng hàng)

N ối các điểm đó lại với nhau bởi các đoạn thẳng sao cho hai đoạn bất kì không cắt nhau tạo thành các tam giác chia hình vuông thành các ph ần nhỏ hình tam giác rời nhau Tìm số k

nh ỏ nhất sao cho trong các tam giác được chia ra, luôn tồn tại một tam giác có diện tích không quá 1

100

Gi ải

+ nên tất cả các giá trị k≥49đều thỏa mãn đề bài

Ta sẽ chứng minh rằng k =48(hoặc nhỏ hơn) không thỏa mãn đề bài bằng cách chỉ ra một cách sắp xếp các điểm này phía trong hình vuông và cách nối chúng lại thành các tam giác mà diện tích của tam giác bất kì đều lớn hơn 1

100

Thật vậy, ta đặt 48 điểm này chia đều một đường chéo đi qua hai đỉnh nào đó của hình vuông và nối các điểm này với hai đỉnh còn lại của hình vuông Rõ ràng hình vuông đã được chia thành 98 tam giác nhỏ bằng nhau và diện tích mỗi tam giác này cùng bằng 1 1

98>100, không thỏa mãn đề bài Vậy giá trị nhỏ nhất của k cần tìm là 49

11

Bài 9 Trong không gian cho 7 điểm phân biệt sao cho không có bốn điểm nào đồng phẳng

T ất cả các điểm đó được nối với nhau bởi các đoạn thẳng Mỗi đoạn thẳng được tô bởi hai màu xanh, đỏ hoặc không được tô màu Tìm số k nhỏ nhất sao cho với mọi cách tô màu k đoạn thẳng bất kì trong các đoạn thẳng đó, luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu

Gi ải

Trước hết, ta có kết quả quen thuộc sau : Cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào

th ẳng hàng Nếu ta tô màu tất cả các đoạn thẳng nối các điểm này bởi hai màu xanh hoặc đỏ thì luôn t ồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu

Từ giả thiết không có bốn điểm nào đồng phẳng, ta suy ra rằng không có ba điểm nào thẳng hàng

và hai đoạn thẳng bất kì chỉ cắt nhau tại đầu mút chung (nếu có) của chúng

Gọi 7 điểm đã cho là A A1, 2, ,A Ta th7 ấy với 7 điểm này, có tất cả 2

7 21

C = đoạn thẳng

Do đó : k≤21 Nếu tô màu tất cả 21 đoạn thẳng này thì chỉ cần chọn ra 6 điểm trong đó cũng sẽ

thỏa mãn điều kiện theo kết quả ở trên Ta thử tìm giá trị k nhỏ hơn

- Với k = 20, ta tô màu 20 đoạn và không tô màu 1 cạnh, giả sử là A A1 7, khi đó tất cả các đoạn thẳng trong bộ 6 điểm A A A A A A (ho1, 2, 3, 4, 5, 6 ặc A A A A A A2, 3, 4, 5, 6, 7) đều được tô màu, lại theo

kết quả trên, điều kiện được thỏa mãn, tức là k = 20 vẫn thỏa mãn đề bài

5

4 3

Do đó, k =19 không thỏa mãn đề bài Rõ ràng nếu k=19 không thỏa thì tất cả số nhỏ hơn nó cũng không thỏa mãn

Vậy giá trị nhỏ nhất của k cần tìm là 20

12

Bài 10 M ột đa giác đều 9 cạnh có các đỉnh được tô bởi một trong hai màu : xanh hoặc đỏ

Ch ứng minh rằng tồn tại hai tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho và thỏa mãn hai điều kiện sau:

Số tam giác tạo thành từ 5 đỉnh đó là số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 5 đỉnh và có 3

5 10

C  tam giác Ta xét các phép quay đa giác quanh tâm đường tròn ngoại tiếp O của đa giác với các góc có

Từ đó, ta có đpcm

Bài 11 (VN TST 1999) Cho m ột đa giác lồi (H) Chứng minh rằng với mỗi số thực a∈(0,1),

t ồn tại 6 điểm phân biệt nằm trên các cạnh của (H), kí hiệu là A A1, 2, ,A theo chi6 ều kim đồng hồ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

1  A A1 2 = A A5 4 = ⋅a A A6 3

2 Các đường thẳng A A A A 1 2, 5 4 cách đều đường thẳng A A 6 3

14

Ta lại tiếp tục có ba trường hợp:

(1.1) Nếu có một cặp đỉnh nào đó trong chúng thuộc cùng một cạnh, giả sử là M và M’ và hai đỉnh còn lại là N, N’ thì không; khi đó rõ ràng các đỉnh nằm giữa N, N’ sẽ không nằm trong cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đi qua đầu mút của đoạn thẳng chứa hai đỉnh N, N’, điều này mâu thuẫn với giả thiết (H) là đa giác lồi

(1.2) Nếu cả hai cặp đỉnh của hai đoạn MN M N, ' ' cùng nằm trên các cạnh của (H) thì hai cạnh

đó phải song song với nhau, ta thấy điều này cũng mâu thuẫn

(1.3) Nếu không có cặp đỉnh nào cùng thuộc một đoạn thì những cũng tương tự trường hợp trên, các đỉnh nằm giữa hai đỉnh M, M’ và N, N’ sẽ không thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng đi qua đầu mút của đoạn thẳng chứa hai đỉnh M, M’ và N, N’; mâu thuẫn

(2) Nếu giao điểm của đường thẳng đi qua hai cạnh chứa A A song song thì khi t6, 3 ịnh tiến vector

6 3

A A



trên đường thẳng đó, ta luôn nhận được các vector có bằng với A A6 3

Do đa giác đã cho là

lồi nên các đỉnh còn lại thuộc miền (P) của (H) sẽ chỉ nằm trong phần giữa hai đường thẳng song song nêu trên Từ đó, ta cũng đưa về trường hợp đầu tiên và cũng dẫn đến điều mâu thuẫn

(3) Nếu giao điểm của hai đường thẳng đi qua hai cạnh chứa A A c6, 3 ắt nhau tại một điểm không

nằm trong miền (P) Khi đó, độ dài của các đoạn thẳng song song với A A s6 3 ẽ tăng lên đến một giá trị nào đó rồi giảm xuống đến 0; khi nó giảm đến độ dài đúng bằng A A thì ta l6 3 ại quay về trường hợp đầu tiên và cũng có điều vô lí

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng tồn tại một cách dựng đường thẳng (d) mà các cả 6 điểm này đều thỏa mãn đề bài

- Nếu như khoảng cách từ A A và t1 2 ừ A A 5 4 đến A A b6 3 ằng nhau thì bài toán kết thúc

15

-Nếu như khoảng cách từ A A và t1 2 ừ A A 5 4 đến A A không b6 3 ằng nhau và giả sử đoạn A A g1 2 ần

6 3

A A hơn đoạn A A 5 4

Quay (d) quanh X nửa vòng tròn, độ dài của A A 6 3 thay đổi liên tục như khi quay (d) quanh X cả

một vòng tròn Độ dài của các đoạn A A và 1 2 A A 5 4 cũng thay đổi theo nhưng tỉ lệ giữa chúng thì

vẫn giữ nguyên Đến khi quay xong thì các đoạn A A và 1 2 A A 5 4 đã đổi chỗ cho nhau, tức là khoảng cách từ đoạn đoạn A A 5 4 đến A A g6 3 ần hơn đoạn A A 1 2

Do phép biến đổi này thực hiện liên tục nên tồn tại một thời điểm mà khoảng cách giữa A A và 1 2

5 4

A A đến A A b6 3 ằng nhau Ngay lúc đó, bộ 6 điểm A A1, 2, ,A này th6 ỏa mãn tất cả các điều

kiện của đề bài Ta có đpcm

Bài 12 (VN TST 2007) Cho đa giác 9 cạnh đều (H) Xét ba tam giác với các đỉnh là các đỉnh

c ủa đa giác (H) đã cho sao cho không có hai tam giác nào có chung đỉnh Chứng minh rằng

có thể chọn được từ mỗi tam giác 1 cạnh sao cho 3 cạnh này bằng nhau

L ời giải

Kí hiệu hình (H) đã cho là đa giác A A A1 2 3 A A 8 9 như hình vẽ Trước hết, ta thấy rằng độ dài các

cạnh và các đường chéo của hình (H) chỉ thuộc 4 giá trị khác nhau (nếu gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của (H) thì ta dễ dàng tính được các giá trị đó là

R π ) ta đặt chúng là a a a a theo th1, 2, 3, 4 ứ tự tăng dần của

độ dài Rõ ràng các tam giác có đỉnh thuộc các đỉnh của (H) sẽ có cạnh có độ dài thuộc 1 trong 6

R π , tức là hai đỉnh có chỉ số có cùng số dư khi chia cho 3 Giả sử

ngược lại, trong hai tam giác cần lập, không có tam giác nào có cạnh là 2 sin3

9

R π , khi đó đỉnh

A2 phải nối với A4 và A4 phải nối với A8, nhưng khi đó A8 được nối với A2 là hai đỉnh có chỉ số chia cho 3 cùng dư là 2, mâu thuẫn Do đó, trong hai tam giác lập được, luôn có một cạnh có độ dài là 2 sin3

9

R π Suy ra trường hợp này luôn có tam giác thỏa mãn đề bài

- Nếu trong các tam giác đó, không có tam giác nào đều Khi đó các tam giác được xét không có

ba đỉnh cùng thuộc một trong ba tập hợp sau: α =1 { ,A A A1 4, 7}, α =2 {A A A2, 5, 8},

3 {A A A3, 6, 9}

α = Ta thấy một đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc hai tập khác nhau sẽ nhận 1 trong 3 giá trị là a a a1, 2, 4 Hơn nữa, không có tam giác nào có độ dài 3 cạnh là( ,a a a1 2, 4)nên ta

có hai nhận xét:

(1) Một tam giác có các đỉnh thuộc cả ba tập α α α nói trên thì sẽ có hai cạnh nào đó có độ 1, 2, 3

dài bằng nhau (các cạnh của nó có thể là ( ,a a a1 1, 2), (a a a2, 2, 4), (a a a ) t4, 4, 1) ức là nó phải cân (2) Một tam giác có hai trong ba đỉnh thuộc cùng một tập thì tam giác đó các cạnh có độ dài

là(a a a2, 3, 4)hoặc là ( ,a a a , t1 3, 4) ức là tam giác đó không cân

* Ta xét tiếp các trường hợp (các tam giác xét dưới đây là cân nhưng không đều):

+ Có hai tam giác cân và m ột tam giác không cân: khi đó theo nhận xét (1), hai tam giác cân đó

phải có đỉnh thuộc các tập hợp khác nhau trong ba tập α α α ; khi đó, rõ ràng tam giác còn lại 1, 2, 3cũng phải có đỉnh thuộc các tập hợp khác nhau, tức là nó phải cân, mâu thuẫn

Vậy trường hợp này không tồn tại

+ Có m ột tam giác cân và hai tam giác không cân: khi đó theo nhận xét (2), hai tam giác không

cân đó phải có hai đỉnh thuộc cùng một tập hợp và đỉnh còn lại thuộc tập hợp khác, giả sử một tam giác có hai đỉnh thuộc α và một đỉnh thuộc 1 α ; rõ ràng tam giác không cân còn lại phải có 2