https //www facebook com/thuvientoan net KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 2022 MÔN THI TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Bài 1 a) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 10 xy yz zx Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 y z z x x y A x y z x y z b) ) Giải hệ phương trình 3 22 2 0 2 1 5 9 5 2 x xy x y x y x y x x x [.]
Trang 1KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 2022
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1
a) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx10 Tính giá trị của biểu thức:
b) ) Giải hệ phương trình:
5 9 5 2
x
Bài 2
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y thỏa mãn: , xy3x 1 x y 1
b) Cho n là số nguyên dương sao cho 2n và 33 n là các số chính phương 4
Chứng minh rằng 2019n 21 chia hết cho 40
Bài 3
Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a Chứng minh rằng: b c 1
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 4
Cho ABC vuông tại A có I r là đường tròn nội tiếp tam giác Gọi ; D E F, , lần lượt là tiếp điểm cùa đường tròn I r với các cạnh ; BC AB AC, , Gọi K là giao điểm của AI và FD
a) Chứng minh rằng hai tam giác IAB và FAK đồng dạng
b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P Gọi M là trung điểm AB, MI cắt AC tại Q
Chứng minh rằng tam giác APQ là tam giác cân
Bài 5
Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời đưa du khách tham quan hết 18 danh lam thắng cảnh trong tỉnh K, Công
ty Du lịch lữ hành KH đã thiết lập các tuyến một chiều như sau: nếu có tuyến đi từ A đến B và từ B đến C thì sẽ không có tuyến đi từ A đến C Hỏi có bao nhiêu cách thiết lập để đi hết 18 địa điểm trên?
-HẾT -
ĐỀ SỐ 7
Trang 2Bài 1
a) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx10 Tính giá trị của biểu thức:
b) ) Giải hệ phương trình:
5 9 5 2
x
Lời giải
x x xyyzzx xy xz
Tương tự 2
10
y yx y và z 2
z z x zy
2 2
10
Tương tự: 2 2
2
10
y
2
10
z
Từ đó: A2xyyzzx20
b) Điều kiện: x1,x2,y Ta có:
2
2
y x
Do x nên 1 yx2
Thay yx2 vào phương trình 2 1
5 9 5, 2
x
2
2
2
3 2
5 9 5 2
5 9 5 1 2
x
x
Với điều kiện bài toán
Trang 3
2
2
2
Ta có:
2 2
x
2
5 13
2
5 3 0
5 13 2
x
x
x
Giá trị này thỏa mãn
Với 5 13
2
ta có 19 5 13
2
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm 1;1 ; 5 13 19; 5 13
Bài 2
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y thỏa mãn: , xy3x 1 x y 1
b) Cho n là số nguyên dương sao cho 2n và 33 n là các số chính phương 4
Chứng minh rằng 2019n 21 chia hết cho 40
Lời giải
a) Phương trình đã cho tương đương: 2
Do 2
3x x 1 0 với mọi x nên phương trình tương đương: 2 1
x y
x y
Suy ra: 3x2 x 1 1; 1; 5;5 Khi đó, ta có:
Trang 4 3 x2 x 1 1 3 x2 x 2 0, phương trình vô nghiệm
3 x2 x 1 1 3 x2 x 0 x 0 y 1.
3 x2 x 1 5 3 x2 x 4 0 x 1 y 0.
3 x2 x 1 5 3 x2 x 6 0, phương trình vô nghiệm
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x y ; 0; 1 , 1; 0
b) Giả sử 2n 3 a2, 3n4b2 với ,a b
Suy ra a lẻ và 2
2 n1 a 1 a1 a nên 1 4 n suy ra n lẻ 1 2
Do n lẻ nên 3n lẻ dẫn đến b lẻ Ta có: 4 2
3n 4 b 3 n1 b1 b 1 8
Mà gcd 3;8 nên 1 n 1 8.
Với các số chính phương 2
k ta chỉ có 2
0; 1; 4 mod 5
5 7 2 mod 5
a b n sẽ dẫn đến 2
1 mod 5
a
2n 3 1 mod 5 2 n 1 0 mod 5
Mà gcd 2;5 nên 1 n 1 5.
Mặt khác gcd 8;5 nên 1 n 1 40.
Suy ra 2019n212000n19n140 chia hết cho 40
Bài 3
Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a Chứng minh rằng: b c 1
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải
Ta chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
3
Trang 5Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.
Ta chứng minh
Đặt
với x y z , , 0 và xyz 1.
Do a0, b1 nên
2 2
a x
b
Mặt khác a0,b1 nên
2 2
2
a x
b
Do đó 1; 2
2
Tương tự ta cũng có:
1 , ; 2 2
Ta cần chứng minh:
7 2
x y z
Thật vậy, ta có:
Mặt khác:
2 1 2 1 2 1 0
Lấy 2 1 2 , ta được:
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
7 2
1
2
1
xyz
và các hoán vị
Hay a b c là hoán vị của ; ; 1; 0; 0
Suy ra điều phải chứng minh
Trang 6Bài 4
Cho ABC vuông tại A có I r là đường tròn nội tiếp tam giác Gọi ; D E F, , lần lượt là tiếp điểm cùa đường tròn I r với các cạnh ; BC AB AC, , Gọi K là giao điểm của AI và FD
a) Chứng minh rằng hai tam giác IAB và FAK đồng dạng
b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P Gọi M là trung điểm AB, MI cắt AC tại Q
Chứng minh rằng tam giác APQ là tam giác cân
Lời giải
a) Vì I chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên:
0
Tứ giác FIDC nội tiếp nên
2
ACB
2
ACB
Do đó AIB AFK Mà BAI KAF 45 0
Nên hai tam giác IAB và FAK đồng dạng với nhau
b) Vì hai tam giác IAB và FAK đồng dạng với nhau, nên IA FA IA EA
T
Q M
P
K
E
F
D
I
B
A
C
Trang 7Kết hợp với IAE chung ta có hai tam giác AKB và AEI đồng dạng với nhau
Tam giác AEI vuông cân tại E nên tam giác AKB vuông cân tại K
Suy ra trung tuyến KM AB
Vì AB cùng vuông góc với KM IE AC, , nên KM IE AC
Vì BC cùng vuông góc với ID AP, nên ID AP
Áp dụng định lý Thales kết hợp với IDIE, ta có:
AP KA MA AQ tam giác APQ cân tại A .
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 5
Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời đưa du khách tham quan hết 18 danh lam thắng cảnh trong tỉnh K, Công
ty Du lịch lữ hành KH đã thiết lập các tuyến một chiều như sau: nếu có tuyến đi từ A đến B và từ B đến C thì sẽ không có tuyến đi từ A đến C Hỏi có bao nhiêu cách thiết lập để đi hết 18 địa điểm trên?
Lời giải
Gọi A là địa điểm có nhiều tuyến đường nhất (gồm cả đường xuất phát từ A và đường đi đến A) Ta chia các địa
điểm còn lại thành 3 loại:
Loại 1: các tuyến đường xuất phát từ A có m tuyến đường
Loại 2: các tuyến đường đi đến A có n tuyến đường
Loại 3: không có tuyến đi và đến từ A có p tuyến đường
Khi đó: m n p17
Số tuyến đường liên quan đến A có m n tuyến
Số tuyến đường không liên quan đến A không vượt quá p m n
Số tuyến đường liên quan đến loại 1 và 2 không vượt quá mn
Gọi S là số cách thiết lập đi hết 18 địa điểm, ta có:
3 1
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 18 6 6, 5
3
Vậy có thể thiết lập tối đa 108 tuyến đường