Đề thi thử vào chuyên Toán năm học 2022 lần 11 do thuvientoan.net biên soạn có lời giải chi tiết

https //www facebook com/thuvientoan net KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 2022 MÔN THI TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (1,5 điểm) a) Đặt 32, 2 a b  Chứng minh rằng 1 1 1 a b a b a b b b a        b) Giải hệ phương trình  2 1 2 3 3 2 12 2 x y x y x x y y xy              Câu 2 (2,0 điểm) Một cặp số nguyên có thứ tự  ;m n với 1 m n  được gọi là “cặp diệu kỳ” nếu thỏa mãn hai điều kiện sau i m có[.]

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (1,5 điểm)

a b Chứng minh rằng: 1 1 a b a b 1

a b     b b a



b) Giải hệ phương trình:

2





Câu 2 (2,0 điểm)

Một cặp số nguyên có thứ tự m n với 1;    được gọi là “cặp diệu kỳ” nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: m n

i m có cùng ước nguyên tố với n

ii m  có cùng ước nguyên tố với 1 n 1

a) Với m 14, hãy tìm thêm hai cặp diệu kỳ khác cặp diệu kỳ m n ;   2;8

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp diệu kỳ

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a   Chứng minh rằng: b c 1

3 a b c a ab b bc c ca  1

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tứ giácABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho IO là

phân giác ngoài của góc .CID Gọi K là giao điểm của AC và BD

a) Chứng minh tứ giác OICD nội tiếp từ đó chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp ICD

c) Tiếp tuyến với đường tròn  O tại D cắt AB tại , E tiếp tuyến với  O tại C cắt AB tại F Chứng minh các

đường thẳng EC DF và IK đồng quy ,

Câu 5 (1,5 điểm)

Khối lớp 9 của một trường THCS có 9 lớp Để nâng cao chất lượng đào tạo, trường đó chia lại các học sinh khối

9 thành 10 lớp Chứng minh rằng với mọi cách chia:

a) Tồn tại một bạn học sinh được chuyển sang lớp mới có sĩ số ít hơn sĩ số của lớp mà bạn học sinh đó được xếp ban đầu

b) Có ít nhất hai bạn học sinh trong đó mỗi bạn đều được chuyển sang lớp mới có sĩ số ít hơn sĩ số của lớp mà bạn đó được xếp ban đầu

-HẾT -

ĐỀ SỐ 11

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1

a b Chứng minh rằng: 1 1 a b a b 1

a b     b b a



b) Giải hệ phương trình:

2





Lời giải

a) Ta có: a2b32 và 1 1 ,

1

a

a

 

 do đó:

2

1 1

1

1

Từ đó suy ra: 1 1 a b a b 1

a b     b b a



b) Điều kiện

2

3 0

x y

 











Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có y 2 3 y  2 x 2 x   3 3 0

Đặt t  y20 Khi đó ta có t23t x 3 x  3 3 0

Để tồn tại nghiệm của hệ phương trình thì:

4

Mặt khác từ phương trình thứ hai, ta có:

2

2

2

12

0 12

12

0

12





Do

2

12

12





Thay x y vào phương trình thứ hai, ta có

   



    nên phương trình tương đương x  7 y 7.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là x y ;  7; 7 

Câu 2

Một cặp số nguyên có thứ tự m n với 1;    được gọi là “cặp diệu kỳ” nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: m n

i m có cùng ước nguyên tố với n

ii m  có cùng ước nguyên tố với 1 n 1

a) Với m 14, hãy tìm thêm hai cặp kỳ diệu khác cặp diệu kỳ m n ;   2;8

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp kỳ diệu

Lời giải

a) Ta thấy các cặp 6; 48 , 14; 224 thỏa mãn yêu cầu bài toán   

b) Ta chứng minh cặp m n với ;  m2k2,k2, k  và nm m  thỏa mãn yêu cầu bài toán 2

2 2k 1

2k 2 2k 2k 2k 1

n       nên có cùng thừa số nguyên tố

n m m   m do đó n  và 1 m  có cùng ước nguyên tố 1

Từ đây suy ra có vô số cặp kỳ diệu

Câu 3

a) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a   Chứng minh rằng: b c 1

3 a b c a ab b bc c ca  1

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

Lời giải

a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

3 2

Vì a b c , , 0 và a   nên b c 1 0a b c, , 1 Do đó bất đẳng thức cuối đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

a  b c

Suy ra điều phải chứng minh

b) Phương trình đã cho tương đương với:

Nếu xx2   suy ra: m x,  2 2021  2   2021  

xx m  xx m  x  x vô nghiệm

Nếu 2

,

xx   suy ra: m x  2 2021  2   2021  

xx m  xx m  x  x vô nghiệm

Do đó phương trình tương đương:

xx    m x x  x m

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi         m 1 0 m 1

Vậy m   là giá trị cần tìm 1

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tứ giácABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho IO là

phân giác ngoài của góc .CID Gọi K là giao điểm của AC và BD

a) Chứng minh tứ giác OICD nội tiếp từ đó chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp ICD

c) Tiếp tuyến với đường tròn  O tại D cắt AB tại , E tiếp tuyến với  O tại C cắt AB tại F Chứng minh các

đường thẳng EC DF và IK đồng quy ,

Lời giải

a) Gọi O là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ICD với OI

Vì OI là phân giác ngoài của góc  CID nên O là điểm chính giữa của cung  DIC , do đó O D O C mà

ODOC nên O   Suy ra tứ giác OICD nội tiếp O

b) Tứ giác OICD nội tiếp suy ra  IOC.IDC

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O suy ra  BOC2BDC.

Từ đó có BOCIOCIDC2BDC nên BD là phân giác của góc .IDC

Chứng minh tương tự có AC là phân giác của góc  ICD

Suy ra K là tâm đường tròn nội tiếp ICD

c) Gọi J là giao điểm của tiếp tuyến với  O tại D và C

Tứ giác ODCJ nội tiếp đường tròn đường kính OJ

Lại có tứ giác ODCI nội tiếp nên năm điểm O I D C J, , , , thuộc đường tròn đường kính OJ .

Suy ra OIJ 90 0

OI là phân giác ngoài của góc  CID nên IJ là phân giác của , DIC hay KIJ

Xét JEF, có:





sin sin

IEJ IFJ

S







Mặt khác:



sin

sin

Xét IDC, có





sin

sin

Thay tất cả vào (1) ta được













sin

sin

Ta có CIF EID do OI là phân giác ngoài của góc  CID và JDJC.

Suy ra IE ED

IE FC JD

IF CJ DE  

Theo định lý Ceva đảo thì ba EC DF và IK đồng quy ,

Câu 5 (1,5 điểm)

Khối lớp 9 của một trường THCS có 9 lớp Để nâng cao chất lượng đào tạo, trường đó chia lại các học sinh khối

9 thành 10 lớp Chứng minh rằng với mọi cách chia:

a) Tồn tại một bạn học sinh được chuyển sang lớp mới có sĩ số ít hơn sĩ số của lớp mà bạn học sinh đó được xếp ban đầu

b) Có ít nhất hai bạn học sinh trong đó mỗi bạn đều được chuyển sang lớp mới có sĩ số ít hơn sĩ số của lớp mà bạn đó được xếp ban đầu

Lời giải

a) Gọi 9 lớp ban đầu là A A1, 2, , A với sĩ số lần lượt là 9 a a1, 2, ,a9 * 

, 1; ;9

i

a   i và 10 lớp sau khi chuyển là B B1, 2, , B với sĩ số lần lượt là 10 b b1, 2, ,b10 * 

, 1; ;10

i

b     i

Không mất tính tổng quát, giả sử a1a2a3  a9 vàb1b2 b3  b9 b10

Vì a1a2 a3 a9 b1b2b3 b9b10 nên a1a2a3 a9 b1b2 b3 b9

Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a a  a b b  b (*)

Suy ra a k b k (vì nếu ak  bk thì a1a2 a k1 b1b2 b k1, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của k )

Khi đó, a1a2 a k học sinh ở các lớp A A1, 2, , A không thể chuyển hết sang các lớp k B B1, 2, , B có k

tổng cộng b1b2 b k học sinh Nên tồn tại một bạn học sinh chuyển từ một trong các lớp A A1, 2, , A k

sang lớp mới là một trong các lớp B k1, , B10

Mà a1a2  a k b k b k1 b10 nên bạn học sinh này đã được chuyển sang lớp mới có sĩ số ít hơn sĩ số của lớp mà bạn đó được xếp ban đầu

b) Vì b  nên từ (*) ta có k 1 a1a2 a k b1b2 b k1 suy ra: 1,

a1a2 a k  b1b2 b k12

Khi đó, a1a2 a k học sinh ở các lớp A A1, 2, , A không thể chuyển hết sang các lớp k B B1, 2, , B k1 có tổng cộng b1b2 b k1 học sinh, và phải có ít nhất hai bạn chuyển từ các lớp A A1, 2, , A sang một trong k

các lớp B k, B k1, , B10

Mà a1a2  a k b k b k1 b10 nên hai bạn học sinh này đều được chuyển sang lớp mới có sĩ số ít hơn

sĩ số của lớp mà bạn đó được xếp ban đầu

Vậy bài toán được chứng minh