Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa năm 2022 có lời giải

https //thuvientoan net/ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức    3 32 1 10 6 3 2 1 10 6 3 2 2 2 3 2 2 2 3 T           b) Với mọi số nguyên dương ,n chứng minh     2 22 2 1 1A n n n n     là số nguyên nhưng không thể là số chính phương Câu 2 (2,0 điểm) Cho các phương trình (ẩn  2) 0 1x a[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

NĂM HỌC: 2021 – 2022

MÔN: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức:  3   3 

T

b) Với mọi số nguyên dương n, chứng minh 2 2 2  2

A n n n  n là số nguyên nhưng không thể là

số chính phương

0 2

cx bx a với a b c, , là các

số thực dương thỏa mãn a b 4c0

a) Chứng minh các phương trình  1 và  2 đều có hai nghiệm dương phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình  1 và x3, x4 là hai nghiệm của phương trình  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T

Câu 3 (1,5 điểm)

a) Phân tích đa thức   3 2 3

P x y  x  xy y thành nhân tử Từ đó chứng minh 4x3y33xy2 với mọi số thực x y, thỏa mãn x y 0

b) Cho các số thực x x1, 2, , x thỏa mãn 21 x x1, 2, , x   và 21 2 x13x23x23  x213 12

Chứng minh rằng: x1x2  x2118

AC cắt nhau tại điểm thứ hai H H A.Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn  O tại M và cắt đường tròn  I tại N A nằm giữa  M và N 

a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn    O , I tại D E, Chứng minh OI là đường trung trực của đoanh

thẳng AH và ABACBC2DE

b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyên trên một đường tròn cố định khi đường

thẳng  d quay quanh A

c) Giả sử đường thẳng MH cắt đường tròn  I tại điểm thứ hai là T T H Chứng minh ba điểm N I T, ,

thẳng hàng và ba đường thẳng MS AT NH, , đồng quy

Câu 5 (1,5 điểm)

a) Hai số tự nhiên khác nhau được gọi là “thân thiết” nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho 3 Hỏi tập hợp X 1; 2; 3; ; 2021 có bao nhiêu cặp số “thân thiết” không phân biệt thứ tự?

b) Trong kỳ thi chọn đội tuyể năng khiếu của trường T có n môn n,n5 , mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia thì đôi một khác nhau;

- Với 2 môn thi bất kỳ, luôn tìm được 2 môn khác có tổng số lượng thí sinh tham gia bằng với tổng số lượng thí sinh của 2 môn đó

Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu môn được tổ chức?

-HẾT -

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức:  3   3 

T

b) Với mọi số nguyên dương n, chứng minh 2 2 2  2

A n n n  n là số nguyên nhưng không thể là

số chính phương

Lời giải

a) Ta có:  3

31 3 3 9 3 3 1 106 3 và  3

1 3  1 3 3 9 3 3106 3

Suy ra:

   

 

     

2

3

T

Vậy T 2

b) Ta có: 2 2 2  2  2 2 2  2 2  2   2 2

Suy ra: An2 n 1

n  A n   n n   n nên A không thể là số chính phương

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho các phương trình (ẩn 2  

0 2

cx bx a với a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b 4c0

a) Chứng minh các phương trình  1 và  2 đều có hai nghiệm dương phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình  1 và x3, x4 là hai nghiệm của phương trình  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T

Lời giải

a) Phương trình  1 và  2 đều có: 2  2 2 2

          với a b c , , 0

Gọi S1, P1 lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm của phương trình  1 Gọi S2, P2 lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm của phương trình  1

Theo định lý Viete, ta có:







Do đó phương trình  1 và  2 đều có hai nghiệm dương phân biệt

T

Theo định lý Viete, ta có:

,

,







Ta có:

4

2

b b

a c

a





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2

4 0

a c

a b c

a b c

 

   



Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 9 đạt được khi a b 2 c

Câu 3 (1,5 điểm)

a) Phân tích đa thức   3 2 3

P x y  x  xy y thành nhân tử Từ đó chứng minh 3 3 2

4x y 3xy với mọi số thực x y, thỏa mãn x y 0

b) Cho các số thực x x1, 2, , x thỏa mãn 21 x x1, 2, , x   và 21 2 x13x23x23  x213 12

Chứng minh rằng: x1x2  x2118

Lời giải

a) Ta có:

2

x x y xy x y y x y x y x xy y

x y x y

Vì x  y 0 4x33xy2y3 0 4x3y33xy2.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y

b) Với mọi x   i 2, ta có:   2 3 3 2

3

i

x

Từ đây suy ra:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có một số 2 và 20 số còn lại bằng 1

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Các đường tròn  O đường kính AB và  I đường kính AC cắt nhau tại điểm

thứ hai H H A.Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn  O tại M và cắt đường tròn  I tại N A  nằm giữa M và N 

a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn    O , I tại D E, Chứng minh OI là đường trung trực của đoanh

thẳng AH và ABACBC2DE

b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyên trên một đường tròn cố định khi đường

thẳng  d quay quanh A

c) Giả sử đường thẳng MH cắt đường tròn  I tại điểm thứ hai là T T H Chứng minh ba điểm N I T, ,

thẳng hàng và ba đường thẳng MS AT NH, , đồng quy

Lời giải

D E

R

S

T

N

H

I O

A

M

a) Ta có: AHBAHC9009001800 B H C, , thẳng hàng hay AH BC.

Do OAOH IA, IH nên OI là đường trung trực của AH

Ta có: OI là đường trung bình của tam giác

2

BC

Do đó:

2DEODOEIEIDODIE OIIE  OIOD 2OD2OE2OI ABACBC

Vậy ABACBC2DE

b) Ta có: OSI 1800OMANIA

Mặt khác tam giác OMA cân tại O nên OMA OAM

Tương tự ta cũng có: INA NAI

Suy ra S nằm trên đường tròn đường kính OI

Vậy khi  d quay quanh A thì S di chuyên trên đường tròn đường kính OI

c) Ta có:

MAO IAN OAI

Do đó tam giác MNH vuông tại H hay NH MT

Suy ra H nằm trên đường tròn đường kính NT hay N T I, , thẳng hàng

Gọi R là giao điểm của MS và NH suy ra R là trực tâm tam giác MTNRTMN

Mặt khác TAN900 do A nằm trên đường tròn đường kính NT TAMN

Từ đó ta có A T R, , thẳng hàng hay ba đường thẳng MS AT NH, , đồng quy

Câu 5 (1,5 điểm)

a) Hai số tự nhiên khác nhau được gọi là “thân thiết” nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho 3 Hỏi tập hợp X 1; 2; 3; ; 2021 có bao nhiêu cặp số “thân thiết” không phân biệt thứ tự?

b) Trong kỳ thi chọn đội tuyển năng khiếu của trường T có n môn n,n5 , mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia thì đôi một khác nhau;

- Với 2 môn thi bất kỳ, luôn tìm được 2 môn khác có tổng số lượng thí sinh tham gia bằng với tổng số lượng thí sinh của 2 môn đó

Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu môn được tổ chức?

Lời giải

a) Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1, do đó a2b2 chia 3 dư 0, 1 hoặc 2

Do đó a2b2 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a và b cùng chia hết cho 3

Tập hợp X có 2021 673

3

  

  số chia hết cho 3

Do đó số cặp thân thiết trong tập hợp X là 673 672 226128

2





Vậy có 226128 cặp thân thiết trong tập hợp X

b) Không mất tính tổng quát, giả sử hai môn có số lượng thí sinh tham gia nhiều nhất lần lượt là a và b với

*

ab a b  Nếu ab thì không tồn tại hai môn nào có tổng số lượng thí sinh bằng ab do hai môn này

có số lượng thí sinh đều nhỏ hơn hoặc bằng b Do đó ab Vì hai môn khác có tổng số thí sinh bằng 2a nên hai môn này đều có số thí sinh là a

Xét một môn có số thí sinh khác a lớn nhất Gọi  *

c c   là số lượng thí sinh của môn này, ta có c Ta a

thấy tổng số thí sinh của môn này với một môn có a thí sinh sẽ có hai môn khác có tổng số thí sinh bằng như

vậy Do đó tồn tại một môn nữa có số thí sinh là c

Như vậy có 4 môn có số thí sinh tham gia nhiều nhất là a và 2 môn có số thí sinh tham gia nhiều kế tiếp là c

Tương tự cách lập luận trên ta có 4 môn có số thí sinh tham gia ít nhất là d và hai môn có số thí sinh khác d nhỏ nhất là e, với *

d e   Nếu c thì chỉ có 4 môn có số thí sinh đôi một khác nhau là e a c;  , c d;  , d e;   , a e ;

do đó phải có ít nhất 13 môn

Ta xây dựng một cấu hình với 13 môn có số thí sinh thỏa mãn

1; 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5

Vậy có ít nhất 13 môn được tổ chức trong kỳ thi

-Chúc các bạn học tốt! -