Xác suất thống kê: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Slide 1 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES Ví dụ 1 Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện hàng là 20, 15, 10 Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng (giả sử 3 kiện có cùng khả năng bị rút) rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm Biết rằng 3 kiện hàng đó đều có 20 sản phẩm a) Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ 2 Vấn đề khó khăn khi tính xác suất bằng công thức toàn phần và côn[.]

CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

Ví dụ 1

Giả sử có 3 kiện hàng với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện hàng là 20,

15, 10 Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng (giả sử 3 kiện có cùng khả năng bị rút) rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm Biết rằng 3 kiện hàng đó đều có 20 sản phẩm

a) Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt

b) Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ 2

Vấn đề khó khăn khi tính xác suất bằng công thức toàn phần và công thức Bayes là phải nhận

ra được mô hình của bài toán và phải chỉ ra được hệ đầy đủ các biến cố

Trước hết ta thấy rằng hệ đầy đủ là không duy nhất Vấn đề ta phải chọn hệ đầy đủ nào có quan hệ với biến cố A phù hợp với mô hình

Biến cố A cần tìm xác suất quan hệ với hệ đầy đủ các biến cố như sau: Biến cố A xảy ra thì suy ra xảy ra biến cố nào đó, còn ngược lại nếu xảy ra biến cố nào đó thì chưa khẳng định biến cố A xảy ra

i

Nếu bài toán đề cập đến hai phần, biến cố A liên quan trực tiếp đến phần sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp xảy ra ở phần đầu

Nếu phép thử gồm hai bước hay hai giai đoạn; biến cố A liên quan trực tiếp đến bước sau hay giai đoạn sau thì nhóm đầy đủ cần tìm chính là các trường hợp có thể của bước 1 hay giai đoạn 1

• Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là những công thức rất quan trọng, được ứng dụng nhiều trong các bài toán thực tế, xuất hiện trong một số bài toán thuộc các lĩnh vực kinh tế, y học, sinh học, giáo dục học và đời sống xã hội

• Chúng ta thử xem xét những ví dụ từ những tình huống thực tế sau:

Ví dụ 2: Một bệnh nhân uống nhầm một trong hai loại thuốc

A hoặc B Các lọ thuốc bề ngoài trông thật giống nhau, lại để chung trong một ngăn kéo Cả hai loại đều có hại đối với bệnh nhân này.

a) Có 2 lọ loại A và 3 lọ loại B để trong một ngăn kéo Bệnh nhân vô tình lấy một lọ ra dùng Dùng phải A hay

B đều có khả năng bị hạ huyết áp nghiêm trọng Khả năng đó là 75% nếu dùng A, 20% nếu dùng B Tính khả năng người này bị hạ huyết áp?

b) Quả thật người này bị hạ huyết áp nghiêm trọng sau khi dùng thuốc Tùy theo bệnh nhân uống nhầm A hay B

mà cách xử trí là hoàn toàn khác nhau Nếu không xử trí thích hợp thì khả năng bị di chứng là 10% nếu dùng A, 20% nếu dùng B.

Phải xử trí bệnh nhân này theo hướng nào? (Hướng nhầm A hay nhầm B).

Ví dụ 3: (Đánh giá thị trường tiềm năng):

Một doanh nghiệp quyết định phỏng vấn khách hàng về sản phẩm mới trước khi đưa sản phẩm ra thị trường Trong số những khách hàng được phỏng vấn ngẫu nhiên thì có 18% trả lời “sẽ mua”, 48% trả lời “có thể sẽ mua” và 34% trả lời “không mua” Theo kinh nghiệm của doanh nghiệp này, tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời như trên lần lượt là: 45%, 25% và 1%

Vậy doanh nghiệp đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó là bao

nhiêu?

Ví dụ 4: Một lô hạt giống gồm 3 loại, do không cẩn thận đã bị để lẫn lộn Loại 1 chiếm 2/3 số

hạt, loại 2 chiếm 1/4 số hạt, còn lại là loại 3 Tỉ lệ nảy mầm của loại 1, loại 2 và loại 3 theo thứ

tự là 80%, 70% và 50% Lấy ngẫu nhiên một hạt từ lô hạt giống

a) Tính xác suất để hạt giống lấy ra là nảy mầm được Ý nghĩa của xác suất này đối với lô hạt giống là gì?

b) Giả sử hạt giống lấy ra là nảy mầm được Tính xác suất để hạt giống đó thuộc loại 2

c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nảy mầm được Nhiều khả năng nhất là hạt giống đó thuộc loại nào?

Ví dụ 5:

Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 2 học sinh trung bình Học sinh giỏi chỉ đạt điểm giỏi; học sinh khá có thể đạt điểm giỏi hoặc khá đồng khả năng; học sinh trung bình có thể đạt điểm khá, trung bình, kém đồng khả năng

Gọi ngẫu nhiên một học sinh và thấy rằng học sinh đó đạt điểm giỏi Vậy khả năng học sinh đó là học sinh khá là bao nhiêu?

Ví dụ 6:

Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất ra một loại sản phẩm Sản phẩm của phân xưởng I chiếm 50% sản lượng của nhà máy, sản phẩm của phân xưởng II chiếm 30% sản lượng của nhà máy và sản lượng của phân xưởng III chiếm 20% sản lượng của nhà máy Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 1%, 3% và 2%

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng của nhà máy để kiểm tra ta bắt gặp phế phẩm Hãy đoán xem phế phẩm đó là do phân xưởng nào làm ra?