Đề toán vào lớp 10 Chuyên toán Bình Thuận năm 2019-2020

Website tailieumontoan com Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên THPT Chuyên Trần Hưng Đạo Môn thi Toán ( hệ số 2 Chuyên toán ) Thời gian 150 phút Bài 1 (2,0 điểm ) Giải hệ phương trình Bài 2 (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng số chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số nguyên dương b) Tìm tất cả các số tự nhiên để phương trình (ẩn số ) có các nghiệm là số nguyên Bài 3 (2 0 điểm ) Cho các số dương thỏa Chứng minh Bài 4 (3,0 điểm ) Cho tam giác cân tại nộ[.]

Sở giáo dục và đào tạo Bình Thuận

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên THPT Chuyên Trần Hưng Đạo Môn thi : Toán ( hệ số 2-Chuyên toán )

Thời gian : 150 phút Bài 1 (2,0 điểm ):

Giải hệ phương trình :

185 (1)

65 (2)







Bài 2 (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng số  4 4

M  n 1 n 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n

nguyên dương

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phương trình x2n x n 1 02    (ẩn số x) có các nghiệm là số nguyên

Bài 3 (2.0 điểm ): Cho các số dương x y z; ; thỏa :

1 2

xyz

Chứng minh : 2  2  2(

xy yz xz

Bài 4 (3,0 điểm ): Cho tam giác ABC cân tại AµA 90 

nội tiếp đường tròn  O

Gọi D là một điểm

trên cung ABkhông chứa C(Dkhác A B; ).Hai dây cung ADvà BCkéo dài tại E.Đường thẳng qua E

song song với CD cắt AB tại F Vẽ tiếp tuyến FGvới đường tròn  O ( G là tiếp điểm )

a)Chứng minh : FG FE

b)Từ trung điểm I của BCvẽ IJ AC J( AC).Gọi H là trung điểm của IJ.Chứng minh : AH BJ

Bài 5 (1,0 điểm ): Trong một buổi tổ chức lễ tuyên dương các học sinh có thành tích học tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An , hai ngươi bất kì đều bắt bắt tay nhau An chỉ bắt tay với những người mình quen Biết rằng một cặp ( hai người ) chỉ bắt tay không quá 1 lần và có tổng cộng 420 bắt tay.Hỏi bạn An có bao nhiêu người quen trong buổi lễ tuyên dương đó ?

Bài giải : Bài 1: Cộng các pt vế theo vế ta có :

3

25

Thay vaò (1) ta có :

 

Như vậy hệ đã cho

2

25 12

144

12

xy

x

y

x









 



 



Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là     x y;  3; 4 ; 3; 4 , 4;3      4; 3

Bài 2 :

a) Ta có:

2

2 2

Vì n * nên  2 2

n  n 1

là số chính phương khác 1

Do đó, từ (*) suy ra  4 4

M  n 1 n 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với mọi số n

nguyên dương (đpcm)

b) Xét phương trình: x2n x n 1 02    (ẩn số x) (1)

Để phương trình (1) có nghiệm thì   0 n44n 4 0   n   0;1 do n 

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

2

1 2





2

x 1 1 x1   2 n 2 n 1  

x 1 x1   2 1 2 n n 1  

Với n  ,n  0;1 thì

2

1 2

4

1 3



Do đó x11;x2 1 x 1 x1   2  1 0 2 n n 1     0

Mà n N,n  0;1  n 2 Khi đó, phương trình (1) trở thành:

2

x 1 t / m x

x 1 0

 



Vậy với n , để phương trình đã cho có các nghiệm là số nguyên thì n 2.

Bài 3:

Ta có

2

1

VT

y z

Đặt 1 a; 1 b; 1 c a b c ; , 0 abc 2

Theo bất đăng thức Cô si ta có :

Cộng các vế lại với nhau ta có:

2

2

(DPCM) (

a b c

b c a c a b

xy yz xz

xy yz xz

 

Bài 4:

a) Chứng minh : FG FE

Ta có :

/ /

FG CDFEB DCB ( cặp góc so le trong )

Và DCB DAB·  · ( cùng chắn cung »AD) vậy nên

Do FG là tiếp tuyến tại G của đường tròn  O ·FGB FAG· ( cùng chắn cung »GB)

Thế nên dễ dàng có :

2

Do đó : FG2 FE2 FG FB

b) Chứng minh : AH BJ

Ta gọi Q là trung điểm CJ thì IQlà đườn g trung bình tam giác BJC IQ BJ/ /

Ta sẽ chứng minh : AH IQ

Do HQ IC/ / ( HQ là đường trung bình tam giác JIC) và AI BC AI IC ( do tam giác ABC

cân tại Acó AIlà đường trung tuyến )HQ IA/ /

Kết hợp với IH AQ khi đó H là trực tâm tam giác AIQ  AH IQ AH BJ

Bài 5

Giả sử ngoài bạn An còn có n bạn và An quen m bạn, điều kiện m n m n ; ,  ¥*.

Số cái bắt tay là

2

n n

m

 

Theo bài ra ta có phương trình

2

n n

Mặt khác 2m2n, kết hợp với (1) ta suy ra n n  1 2n840 n2 n 840 n 29.

Và 2m2, kết hợp với (1) ta suy ra n2  n 838 0  n 29, từ đó suy ra n29.

Thay n29 vào (1) ta có 2m29.28 840 2m28 m 14.

Vậy An quen 14 người