Đề vào 10 chuyên toán Phú Yên năm 2019-2020

Website tailieumontoan com SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH Năm học 2019 2020 Môn Toán (Chuyên) Thời gian 150' (Không kể giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để đạt giá trị lớn nhất Câu 2 (3,0 điểm) a) Giải PT b) Giải hệ PT Câu 3 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD Đường thẳng qua B và song song với AD cắt MN tại E a) Chứng mi[.]

SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH

Năm học: 2019-2020 Môn: Toán (Chuyên) Thời gian: 150' (Không kể giao đề)

ĐỀ BÀI:

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức:

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để

1 2

x

đạt giá trị lớn nhất

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Giải PT: x2 6x 8 3 x 2

b) Giải hệ PT:

2 2

1



     



Câu 3 (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD Đường thẳng qua

B và song song với AD cắt MN tại E

a) Chứng minh tứ giác NAEB là hình chữ nhật

b) Chứng minh góc ACE = DCN

Câu 4 (1,5 điểm)

a) Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn 2 2 2

1 2019

b  ca c  ab a  bc

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

2 2 85

13

x y







Câu 5 (1,0 điểm)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại M, N Kẻ dây MA của đường tròn (O) tiếp xúc với (O') và dây MB của đường tròn (O') tiếp xúc với (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN tại P (P khác M) CMR: PN = MN

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca = 1 CMR:

a b  b c  c a  

Dấu "=" xảy ra khi nào?

SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TS 10 THPT LƯƠNG VĂN CHÁNH

Năm học: 2019-2020 Môn: Toán (Chuyên) Thời gian: 150' (Không kể giao đề)

ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm)

ĐKXĐ: x0,x4,x9.

a)

:

A

3 :

A

x

b) Ta có:

2

                

=>

2 1

x

       

=>

ax

1

M

x

     

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Giải PT: x2 6x 8 3 x 2

ĐKXĐ: x 2

x  x  x  x  x  x  x

x 1 x 2 3 x 2 x 2 1 0

2 1

x

x

 

 

 

3

2 1

3

2 1 2

( )

1

x

x x

TM x

 

 





  



b) Giải hệ PT:

2 2

1



     

 ĐKXĐ: x2,y2

2 2

1

1

1







Đặt:

2 2

x a

y

y b

x









 



   

1

1 1



     



 2  2

0 ( )

1

( ) 0

a TM

a

TM b

 





 



 



 



Với

( )

TM



Với

( )

TM



Câu 3 (1,5 điểm)

C

B D

M N

A

a) Ta thấy rằng M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD nên MN là đường TB của tam giác ACD => MN // CD hay ANE ADB  

Vì : BA = BD => ABD cân tại B => BN AB;BDA = BAD 

Vì: BE // AD => BNA NBE 90;ANE NEB      

Từ đây => BAN ADB ANE NEB     

=> BEAN nội tiếp => NEA 180 90 90   

Vì: NAE BNA NBE 90   

=> đpcm

b) Dễ thấy MAE DAB  (cùng phụ với BAE ) => MAE MNA

Lại có: AME là góc chung nên MAE   MNA (g.g)=>

MA MN

ME MA Mà: MA = MC =>

MC MN

ME MC Do: EMC là góc chung => MEC MCN(c.g.c)   => ECM MNC 

Lại có: MN // CD (Đường TB) => MNC DCN 

=> ACE DCN  (đpcm)

Câu 4 (1,5 điểm)

a) Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn 2 2 2

1 2019

b  ca c  ab a  bc

Giả sử tồn tại bộ số thực (a, b, c) thỏa mãn yêu cầu đề bài

rõ ràng ĐK a, b, c là:

2 , 2 , 2

a bc b ca c ab

Nếu a = b = c thì

a  bc a  a  a bc

(vô lý) Vậy nên trong 3 số a, b, c phải có ít nhất 2 số khác nhau Khi đó:

a b 2b c 2 c a 20

AD t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1

2

 

=> a+b+c > 0 Khi đó nếu tồn tại 2 số bằng nhau, giả sử a = b thì:

b ca c ab

b ca c ab

=> a=b=c (Vô lý)

Từ dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1 2019

1 2019

Đặt:

2

2

 





 



x y 2y z 2z x 2 0 x y z 





Kết quả cho thấy vô lý Vậy không tồn tại bộ 3 số thỏa mãn theo yêu cầu

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

2 2 85

13

x y







Vì x y,   x y x , 2y2

=>

2 2

2 2 85

85( ) 13( ) 0 13

x y





=> x + y > 0

Áp dụng BĐT:

 2

2

x y

(Luôn đúng)

x y  x y  x y  x y   x y 

Mà:

2 2 0

13

x y

x y

 



     





=>

 2

6 ( )

13

( ) 6

x

TM

x y

TM y

 





 

 

 



 

 Vậy nghiệm của PT là: (x; y) = (6; 7) ; (7; 6)

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại M, N Kẻ dây MA của đường tròn (O) tiếp xúc với (O') và dây MB của đường tròn (O') tiếp xúc với (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB cắt đường thẳng MN tại P (P khác M) CMR: PN = MN

K H

I

P

B

A

N

M

O'

O

Gọi I là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Gọi H, K theo thứ tự là giao điểm của OO' với MN và MI Rõ ràng OO' MN



và HM = HN

Ta thấy: IM = IP nên NP = NM nên OI là đường trung trực của đoạn MA

=> MA OI => OI // MO' (Vì: MA MO ')

Tương tự: O'I // MO => OIMO' là HBH Khi đó K là trung điểm của MI

=> HK là đường TB của MNI => NI // HK hay NI // OO'

Mà: MN MO ' => MN IN hay IN MP => đpcm

Câu 6 (1,0 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca = 1 CMR:

a b  b c  c a   Dấu "=" xảy ra khi nào?

Cách 1:

Áp dụng Bunhiakopxky ta có:

   

2

Tương tự ta có:

ab bc ca

VT     a b c    a b c 

Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy ta được:

a b c  2 3(ab bc ca  ) 3 a b c   3

Khi đó:

3 2

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi

a b c

a b c

ab bc ca

  



   



  



Cách 2:

Bình phương 2 vế ta cần cm tương đương:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

a2 1 b2 1 a b2 2 a2 b2  1 a b2 2 2ab 1 ab1

Gọi vế trái của (*) là S Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 ( 1)

S a b b c c a a b c ab bc

bc ca ca ab

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi

0

3

3 1

a b c

ab bc ca

  







