Câu 1 (2,0 điểm) 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 1 4 P x = − 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 3y x m= + − cắt parabol 2y x= tại hai điểm phân biệt 3) Cho tam giác ABC đều, cạnh 3AB = Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 4) Cho hìnhnón có thể tích 4V π= cm3, biết bán kính đáy 2R = cm Tính chiều cao của hình nón đó Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức 2 4 11 1 x x x P x xx x − − = − − −+ + (với 0; 1; 4x x x≥ ≠ ≠ ) 1) Rút gọn biểu thức P 2)[.]
Trang 1Câu 1.(2,0 điểm)
1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 1
4
P x
=
− 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y= + −x 3 m cắt parabol 2
y=x tại hai điểm phân biệt
3) Cho tam giác ABC đều, cạnh AB= 3 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
4) Cho hìnhnón có thể tích V =4π cm3, biết bán kính đáy R= cm Tính chiều cao của hình nón đó.2
1
x
= − + + − − (với x≥0;x≠1;x≠4)
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìmx đểP=2
Câu 3.(2,5 điểm)
1) Cho phương trình 2 ( ) 2
x − m+ x+m − m − = (với m là tham số)
a) Tìm giá trị của tham số m biết x= là một nghiệm của phương trình 2
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1; 2
x +x − −x x =
2) Giải hệphương trình
2 4
1 1 3
1 1
x
y x
x
y x
Câu 4.(3,0 điểm)TừđiểmA nằm ngoài đường tròn( )O kẻ các tiếp tuyến AB AC , đến đường tròn ( ,B C là
cáctiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt BC và đường tròn ( )O lần lượt tạiM và I
1) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
2) GọiD làđiểm thuộc cung lớn BC của đường tròn( )O (v ới DB DC< ) vàKlà giao điểm thứ hai củatia
DM với đường tròn( )O Chứng minh rằngMD MK =MA MO
3) GọiE F, lần lượt là hình chiếu vuông góc củaA trên các đường thẳngDB DC, Chứng minh AF
song song vớiME
Câu 5.(1,0 điểm)
1) Giảiphương trình( 2 ) 3 2
x +x x+ = x + x + −x
2) Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn 2a+2b+2c ab bc ca+ + + =24 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
P=a + +b c
-HẾT -
Họ và tên thí sinh: Họ tên, chữ ký GT 1:
Số báo danh: Họ tên, chữ ký GT 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
N ĂM HỌC2020-2021
Môn thi: Toán (chung) – Đề 2 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên xã hội
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm: 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Năm học: 2020 - 2021
Môn thi: Toán (chung) – Đề 2 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên xã hội
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu 1
1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 1
4
P x
=
− 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y= + −x 3 m cắt parabol 2
y=x
tại hai điểm phân biệt
3) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC , biết độ dài cạnh của tam giác
là 3 cm
4) Cho hình nón có thể tích V =4π cm3, biết bán kính đáy R=2cm Tính chiều cao
củahình nón đó
(2,0 đ)
1)
4
x
⇔ > Vậy ĐK xác định của biểu thức làx> 4 0,25
2)
Đường thẳng y= + −x 3 m cắt parabol 2
y=x tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2
3
x = + −x m có hai nghiệm phân biệt
2
⇔ − − + = có hai nghiệm phân biệt
0,25
13
0 13 4 0
4
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <
Vậy với 13
4
m< thì đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt 0,25
3)
Gọi M, G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm của tam giác ABC
Ta có sin 60 3
2
o
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : 2 1
3
4)
Gọi h là chiều cao của hình nón ta cóthể tích 1 2
3
2
1
3πR h π h
Câu 2
1
x
= − + + − − (với x≥0;x≠1;x≠4)
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tìm x để P=2
1,5
1) Với điều kiện x≥0;x≠1;x≠4 ta có: ( 1) 2 ( 1) 4
:
1
P
x
+
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 32
:
1 1
2
4 1
x x
x
x x
=
− +
+
=
− +
0,25
2
x x
−
1 2
x
x
−
=
2
x
x
−
Câu 3
1) Cho phương trình 2 ( ) 2
x − m+ x+m − m − = (với m là tham số)
a) Tìm giá trị của tham số m biết x= là một nghiệm của phương trình 2
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x sao 1, 2
cho 2 2
x +x − −x x =
2) Giải hệ phương trình
2 4
1 1 3
1 1
x
y x
x
y x
+ +
+ +
2,5
1.a)
Ta có x= là một nghiệm của phương trình khi và chỉ khi 2
Giải phương trình ta được 3 2 3
3 2 3
m m
= +
= −
3 2 3
3 2 3
m m
= +
= −
thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25
1.b)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x khi và ch1, 2 ỉ khi ' 0∆ > ⇔4m+ > ⇔ > − (1) 4 0 m 1 0,25
Áp dụng định lý Vi ét ta có 1 2 ( )
2
1 2
2 3
x +x − −x x = ⇔ x +x − x x − x +x =
0 5
m
m
=
⇔ = −
Kết hợp với điều kiện (1) ta được m= Vậy 0 m= thỏa mãn yêu cầu bài toán 0 0,25
2) Điều kiện 1 0 1
⇔
2
1 (1)
1 1
1 1 3
1 1
x
x y
x
x x
x
+ +
0,5
Trang 4Giải phương trình ( )1 1 1 2 1
x
x x
≥
1
3( )
0 3
x
x tm x
x
≥
⇔ = ⇔ =
=
0,25
Giải phương trình (2): y− = ⇔ − = ⇔ = (thỏa mãn) 2 3 y 2 9 y 11
Câu 4
TừđiểmA nằm ngoài đường tròn( )O kẻ các tiếp tuyến AB AC , đến đường tròn ( ,B C là
cáctiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt BC và đường tròn ( )O lần lượt tại M và I
1) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
2) GọiD làđiểm thuộc cung lớn BC của đường tròn( )O (v ới DB DC< ) vàKlà giao điểm thứ hai của tia DM với đường tròn( )O Chứng minh rằngMD MK =MA MO
3) GọiE F, lần lượt là hình chiếu vuông góc củaA trên các đường thẳngDB DC,
Chứng minh AFsong song vớiME
3,0
1)
Ta có AB và AC là tiếp tuyến của ( )O nên o
90
180
Ta có ACI =CBI (Mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có AO là trung trực của BC, suy ra tam giác IBC cân tại
I, suy ra ICB=IBC
Suy ra ACI =BCI , suy ra CI là phân giác c ủa góc ACB
0,25
Chứng minh tương tự ta có BI là phân giác của góc ABC, suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp
2)
Xét tam giác MKC và MBD có MKC=MBD (hai góc nội tiếp cùng chắn 1cung)
Và KMC=BMD, suy ra hai tam giác MKC và MBD đồng dạng 0,25 Suy ra MK MC
F
E
K
M I
C B
O A
D
Trang 54
Suy ra MK MD =MA MO , ta có điều phải chứng minh 0,25
3)
180
AEB+AMB= , suy ra tứ giác AEBM nội tiếp, suy ra BEM =BAM 0,25
Trong đường tròn ( )O ta có BDC=EBC (mối liên hệ giữa góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp
Tam giác AMB vuông t ại M nên o
90
ABM +BAM = , suy ra o
90
DEM +EDC=
Mà AF vuông góc v ới DC nên EM / /AF.Ta có điều phải chứng minh 0,25
Câu 5
1) Giải phương trình ( 2 ) 3 2
x +x x+ = x + x + −x 2) Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn 2a+2b+2c+ab bc ca+ + =24 Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức 2 2 2
P=a + +b c
1,0
1
2
x+ ≥ ⇔ ≥x −
( 2 ) ( ) ( ) (2 )
2
x + x+ + x+ = x+ + x+ > ∀ ≥x −
)
0,25
1
2 ( / ) 2
2
x
x x
≥ −
=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= 2
0,25
2
Ta có các bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2
a +b ≥ ab b +c ≥ bc c +a ≥ ca
3 a +b +c +12≥2 2a+2b+2c+ab+bc+ca =48 Suy ra P≥12
Vớia= = =b c 2 thìP=12
Suy ra giá trị nhỏ nhất củaP là 12
0,25
Lưu ý:
+ Các cách giải khác đáp án nếu đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống nhất cho điểm thành phần tương ứng
+ Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu không làm tròn
HẾT
