PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2014 2015 MÔN THI TOÁN Ngày thi 18/03/2015 Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau a A = b B = 3 {5 [(52 + 23) 11] 16} + 2015 c Bài 2 (4,0 điểm) a Tìm số tự nhiên x biết 8 6 + 288 (x 3)2 = 50 b Tìm các chữ số x; y để A = chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1 c Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 1 chia hết c[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18/03/2015
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)
Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a A = 2 5: 5 1 ( 3)2
3 6 18
b B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015
c C 1 1 1 1 1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 2014.2016
Bài 2 (4,0 điểm)
a Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1
c Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3
Bài 3 (4,5 điểm)
a Cho biểu thức : 5
3
B n
(n Z n , 3)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y 2
c Số 2 100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho góc ·xBy = 550 Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C
( A B; C B) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ·ABD = 300
a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm
b Tính số đo của ·DBC
c Từ B vẽ tia Bz sao cho ·DBz= 900 Tính số đo ·ABz
Bài 5 (2,0 điểm)
a Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc ab ac 7
b Cho 1 20122015 9294
2
Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5
Hết
Họ và tên thí sinh: SBD Giám thị 1: Giám thị 2:
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 - MÔN : TOÁN
NĂM HỌC 2014 - 2015
1
(4,5 đ)
a A=2 5: 5 1 ( 3)2
3 6 18 = 2 1 1 2.2 1 1.3 2 1
b B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015
=3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012
0,5 đ 1,0 đ
c C= 1 1 1 1 1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 2014.2016
2 3 4 2015
1.3 2.4 3.5 2014.2016
(2.3.4 2015).(2.3.4 2015)
(1.2.3 2014).(3.4.5 2016)
2015.2
2016
1008
0,5đ
0,5 đ 0,5 đ
2
(4,0 đ)
a Biến đổi được: (x-3)2=144 12 2 ( 12) 2 3 12 15
Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại) Vậy x = 15
1.0 đ
0.5 đ
b Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1 Ta có A = x1831
Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1 x1831 - 1 M 9 x1830M 9
x + 1 + 8 + 3 + 0 M 9 x + 3 M 9, mà x là chữ số nên x = 6
Vậy x = 6; y = 1
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
c Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( kN*)
Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3
Nếu p=3k+2 thì p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
3
(4,5 đ)
a Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5
=> n - 3 {-1;1;-5;5} => n{ -2 ; 2; 4; 8}
Đối chiếu đ/k ta được n{ -2 ; 2; 4; 8}
0,5 đ 0,75 đ 0,25 đ
b Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 y2 = 121 y = 11 (là số nguyên tố)
* Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại)
Vậy x = 2; y = 11
0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
Trang 3c Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410 Suy ra : 1030 < 2100 (1)
Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125
Nờn : 2100< 1031 (2) Từ (1) và(2) suy ra sụ́ 2100 viờ́t trong hợ̀ thọ̃p phõn có
31 chữ sụ́
0,5đ 0,5đ 0,5đ
4
(5,0 đ)
A x
z
D
B C
y
z,
a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nờn D nằm giữa A và C
=> AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
ta có đẳng thức: ãABCãABD DBCã
=> DBCã ãABC ABDã = 550 – 300 = 250
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phớa nửa mặt phẳng có bờ là
AB nờn tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD
Tớnh được ãABz 90 0 ãABD= 90 0 30 0 60 0
- Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cựng nửa mặt phẳng có bờ là AB
nờn tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA
Tớnh được ãABz, = 900 + ãABD = 90 0 30 0 120 0
0,5 đ
0,5 đ 0,5đ 0,5đ
5
(2,0 đ)
a Ta có: abbc ab ac 7 (1)
100.ab + bc = 7 ab ac ab (7 ac - 100) = bc
7 ac - 100 = bc
ab Vì 0 <
bc
ab < 10 nờn 0 < 7 ac - 100 < 10
100 < 7 ac < 110 14 100 ac 110 16
Vọ̃y ac = 15 thay vào (1) được 1bb5 1b 15 7 1005 + 110b = 1050 + 105.b
5b = 45 b =9
Vọ̃y a = 1; b = 9; c = 5
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) Vì 2012 ; 92 đều là bội của 4 nên 2012 2015 và 92 94 cũng là
bội của 4 2012 2015 4.m m N *;92 96 4.n n N *
Khi đó 7 2012 2015 3 92 94 7 4m 3 4n 7 4 m 3 4 n 1 1 0
tức là 2012 2015 92 94
7 3 có tận cùng bằng 0 hay 2012 2015 92 94
Dễ thấy 2012 2015 92 94
7 3 > 0 mà 2012 2015 92 94
7 3 M 10 suy ra
2012 92
1
2
Suy ra A là sụ́ tự nhiờn chia hờ́t cho 5
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ