Câu 1 (2,0 điểm) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn thi Toán lớp 9 NĂM HỌC 2014 2015 Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm để Câu 2 (1,5 điểm) Cho hệ phương trình (với là tham số) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi b) Tìm để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn Câu 3 (3,0 điểm) a) Cho ba số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn Câu 4 (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng có độ dài bằng Trên đoạn lấy điểm sao cho Tia vuôn[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ 5
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn thi: Toán lớp 9 NĂM HỌC 2014-2015 Câu 1 (1,5 điểm):
A
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x để A= −6
Câu 2 (1,5 điểm):
Cho hệ phương trình 2mx x my−2y=52
+ =
(với m là tham số).
a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m=10;
b) Tìm mđể hệ phương trình đã cho có nghiệm (x y; ) thỏa mãn
2 2
2015 14 8056
4
x y
m
+
Câu 3 (3,0 điểm):
a) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn a b c+ + =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
b) Tìm các cặp số nguyên (x y; ) thỏa mãn: x(1+ +x x2) =4y y( −1 )
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC=4.AB Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C, gọi D là điểm bất kì thuộc tia Cx(D không trùng vớiC
) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD ở K E,
a) Tính DC CE. theo a;
b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất;
c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn
có một dây cung cố định
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 1 1; ; ; ; ; 1 ; 1
1 2 3 4 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u v, bất kì trong dãy và viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng u v uv+ + vào vị trí của u hoặc v Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng không phụ thuộc vào việc chọn các số u v, để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó
- HẾT
-Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh ………
Chữ kí giám thị 1 ……… Chữ kí giám thị 2 ………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ 5
HDC THI HỌC SINH GIỎI Môn thi: Toán lớp 9 NĂM HỌC 2014-2015
Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm
Câu1
2,0
điểm
a)
1,0điểm
Điều kiện:
0
1 0
1
x
x x x
≥
+ − ≠
− ≠
0,25
Biến đổi
2
x
+
0,25
−
0,25
Từ đó suy ra 9: 2 9
A
0,25
b)
0,5điểm
Biến đổi
9
2
x
x
−
− Vậy x=9thìA= −6
0,5
Câu 2
1,5
điểm
a)
0,5 điểm
Khi m=10 hệ phương trình có dạng
15
52
x
y
=
Vậy khi m=10thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) 15 23;
52 52
= ÷
0,5
Trang 31,0
®iÓm
2 2
2
2
mx
−
( )
2
2
2 10 2
4 2
2
2
m
mx
+
−
−
Vậy hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất 2
2 10 4 2 2
m x m mx y
+
=
=
Thay vào hệ thức
2 2
2015 14 8056
4
x y
m
+
2014 7 8050 2015 14 8056
7 6 0
6
m
m
=
⇔ − − = ⇔ = Đối chiếu với điều kiện đề bài ta được m=1;m=6
1,0
Câu 3
2,0
điểm
a)
1.0 điểm Chứng minh ( 2 2 2) ( 2 2 2) ( )2 ( )
, , , , , 1
a + +b c x +y +z ≥ ax by cz+ + ∀a b c x y z
Dấu “=” xảy ra ⇔ = =a x b y c z
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: ( 3 2 ) 1 1 ( )2
9 3
a
+ + + + ÷≥ + + =
9 3
a
c a
+ +
;
a b c
a b c
Vậy MaxP= ⇔ = = = 1 a b c 1
1,0
Trang 41,0
®iÓm
Ta có x(1+ +x x2) =4y y( − ⇔1) (x3 +x2)+ + =x 1 4y2−4y+1
x y∈ ⇒¢ y− > nên từ (1) suy ra x≥0 và x chẵn
Giả dử (x+1;x2+ = ⇒1) d d lẻ và
2 2
1
1
d d
−
+
M
M M
Vì (x+1) (x2+1) là số chính phương mà (x+1;x2+ =1) 1 nên (x+1) và
(x2+1) cũng là hai số chính phương
⇒ < + ≤ + ⇒ + = + ⇒ =
1
y
y
=
= ⇒ − = ⇒ = Vậy hai cặp số nguyên(x y; ) ( ) ( )= 0;0 ; 0;1
1,0
Câu 4
3,0
điểm
a)
1,0
®iÓm
Ta có ·EBC=·ADC (cùng bù với ·KBC); · · 0
90
ACD ECB= =
ACD
⇒ ∆ ECB g g( ) DC AC
BC EC
Do
2
AB= BC= ⇒DC EC= AC BC=
1,0
b)
1,0
®iÓm
1 2
S = BC DE⇒S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất.
4
a
DE DC EC= + ≥ DC EC = =a (theo a)
Dấu “=” xảy ra 3
2
a
DC EC
2
BDE
1,0
Trang 51,0
®iÓm
Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M N (,
M nằm giữa A và B ) ⇒M N, đối xứng qua DE
Ta có AKB∆ ACD g g( ) AK AB AK AD AC AB ( )1
AC AD
AKM
∆ AND g g( ) AK AM AK AD AM AN ( )2
AN AD
Từ (1) và (2) suy ra
2
4
a
AM AN= AC AB=
2
4
a
AC MC AC NC AC MC MC NC
2
Suy ra M N là hai điểm cố định, Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định
1,0
Câu 5
1,0
điểm
Với hai số thực ,u v ta luôn có (u+1) (v+ = + + + = + +1) u v uv 1 (u v uv)+1 ( )* Xét dãy số thực bất kì a a a1; ; ; ;2 3 a2015 và ta xét “tích thêmT ”
( 1 1) ( 2 1) ( 3 1 ) ( 2015 1)
T = a + a + a + a +
Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận
thấy “tích thêmT ” không thay đổi với mọi dãy thu được.
Với dãy ban đầu của bài toán ta xét “tích thêmT ”
2 3 4 5 2015 2016 2016
1 2 3 4 2014 2015
T = + + + + + +
Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy còn lại một số là
x thì “tích thêmT ” đối với dãy cuối là T = + ⇒ + =x 1 x 1 2016⇒ =x 2015 Vậy sau 2014 lần biến đổi theo yêu cầu của bài toán, số còn lại trong dãy là 2015
1,0