Website tailieumontoan com PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Năm học 2014 2015 Môn thi Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (6,0 điểm) Tìm x biết Câu 2 (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng đa thức vô nghiệm b) Cho tỉ lệ thức Với Chứng minh Câu 3 (4,0 điểm) a) Tìm x biết b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất Câu 4 (5,0 điểm) Cho nhọn, AD vuông góc với BC tại D Xác định I; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là tr[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THANH OAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Năm học 2014-2015 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết
5
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng đa thức x2 2x 2vô nghiệm
b) Cho tỉ lệ thức .
b d
Với
3 2
b
Chứng minh:
2 2
2 2
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Tìm x biết x 3 2x x 4
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
8 3
x B
x
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4 (5,0 điểm)
Cho ABCnhọn, AD vuông góc với BC tại D Xác định I; J sao cho AB là
trung trực của DI, AC là trung trực của DJ;IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K Chứng minh rằng
a) AIJcân
b) DA là tia phân giác của góc LDK
d) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm x, y thuộc ¢biết : 2 2
25 y 8 x 2009
Trang 2ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI 2014-2015 Câu 1.
a)
Vậy
5 6
x
b) 2x 1 x 1
Nếu
1 2
x
ta có 2x 1 x 1 x 2(thỏa mãn)
Nếu
1 2
x
ta có: 2x 1 x 1 x 0(thỏa mãn)
Vậy x 2hoặc x 0
c)
5 2 x 5
5 2x 5 x 5
hoặc
2
5 2 x 5 x
Vậy
2 5
x
hoặc x 2
Câu 2
x x x x x
Vì 2
1 0
1 1 1
x x Do đó đa thức đã cho vô nghiệm
b) 1) Với
;
2)a c a c a c (1)
2 2
b d b d bd
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Câu 3 a x) 3 2x x 4 (1)
Lập bảng xét dấu
x -3 4
x – 4 - - 0 +
Xét khoảng x3,ta có (1) trở thành 2x 7 x 3,5(thuộc khoảng đang xét) Xét khoảng 3 x 4, ta có (1) trở thành 0.x 1(không có giá trị nào của x thỏa
mãn)
Trang 3Xét khoảng x4, ta có (1) trở thành: 2x 7 x 3,5(không thuộc khoảng đang
xét)
Kết luận : Vậy x 3,5
b) Biến đổi
1
x x
B
B đạt giá trị nhỏ nhất
5 3
x
nhỏ nhất
Xét x 3và x 3, ta được
5 3
x có giá trị nhỏ nhất bằng 5 tại x 2
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng – 6 tại x2
Câu 4.
a) Do AB; AC là trung trực của AB
Nên AI = AD; AD=AJ AI AJ AIJ cân tại A
b) ALI ALD c c c( ) Iµ1 D¶1
Tương tự AKD AKJ c c c( ) D¶2 µJ2
Mà AIJ cân (câu a) Iµ1 µJ2
¶ ¶
1 2
là tia phân giác của ·LDK
c) Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK
Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK
Suy ra LClà tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK
Trang 4Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK
Hay CL vuông góc với AB tại L
Chứng minh tương tự : BK vuông góc với AC tại K
d) Chứng minh được IAJ· 2BAC· (không đổi)
*AIJ cân tại A có ·IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nến cạnh bên AI
nhỏ nhất Ta có AI AD AH(AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC)
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D H
Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ nhất
Câu 5.
25 y 8 x 2009
2
8 2009 25
8 2009 25(*)
Vì y2 0 nên 2 25
2009
8
, suy ra 2
2009 0
2009 1
Với 2
2009 1
x , thay vào (*) ta có: y2 17(loại)
Với 2
2009 0
x thay vào (*) ta có y2 25,suy ra y 5 (do y ¥ )
Từ đó tìm được x2009,y5
