Website tailieumontoan com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2019 2020 Câu 1 (2,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau Câu 2 (2,0 điểm) Tìm các số thực để đa thức chia hết cho đa thức Câu 3 (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức Câu 4 (2,0 điểm) Giải phương trình Câu 5 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình vô nghiệm Câu 6 (2,0 điểm) Cho là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng Câu 7 (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì luôn[.]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau: A 4 10 2 5 4 10 2 5
Câu 2: (2,0 điểm) Tìm các số thực , a b để đa thức 4 3
–1
f x x ax bx chia hết cho đa thức
2– 3 2
x x
Câu 3: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x 2y xy Tính giá trị của biểu thức
x y
P
x y
Câu 4: (2,0 điểm) Giải phương trình: 2
4 x 1 x 5x14
Câu 5: (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 1 3
2
m
m x
vô nghiệm
Câu 6: (2,0 điểm) Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng
1
3
ab bc ca abc
abc
Câu 7: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n5 5n34n luôn chia hết cho 120
Câu 8: (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên x3 8 7 8x1
Câu 9: (2,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳngAB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AB vẽ hai tia Ax By cùng vuông góc , AB Trên tia Ax lấy điểm C(khác A), qua
O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D
a) Chứng minh AB2 4AC BD
b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trênCD Chứng minh rằng M thuộc đường tròn đường kínhAB
c) Kẻ đường cao MH của tam giácMAB Chứng minh rằng MH , AD , BCđồng quy
Câu 10:(2,0 điểm) Cho sáu đường tròn có bán kính bằng nhau và cùng có điểm chung Chứng minh rằng
tồn tại ít nhất một trong những đường tròn này chứa tâm của một đường tròn khác
……….HẾT……….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:………
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Trang 2LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau: A 4 10 2 5 4 10 2 5
Lời giải
4 10 2 5 4 10 2 5 0
2 4 10 2 5 4 10 2 5 2 16 10 2 5
2
8 2 6 2 5
A = +
A = +
-2 6 2 5
A = +
A = +
5 1
A= + (Do A > 0)
Câu 2: (2,0 điểm) Tìm các số thực , a b để đa thức f x x4ax3bx–1chia hết cho đa thức
2– 3 2
x x
Lời giải
Ta có: 2 ( ) ( )
– 3 2 –1 – 2
x x+ = x x Theo bài ra: f x( ) (Mx–1) (x– 2 ) ( )
f x chia hết cho x- 1 Þ f( )1 =0
0
( )
f x chia hết cho x- 2 Þ f( )2 =0
8a 2 b =–15
Từ (1) và (2) Þ 8a+2 –( )a =–15
2
a=- ; 5
2
b=
Vậy 5
2
a=- ; 5
2
b=
Câu 3: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x 2y xy Tính giá trị của biểu thức
x y P
x y
Lời giải
2
x y xy x xy 2y 0 x 2 xy xy 2y0
x 2 y x y 0
Vì x y 0 nên x 2 y 0 x = 4y
Khi đó P=4 3
y y
y y
Câu 4: (2,0 điểm) Giải phương trình: 4 x 1 x2 5x 14
Trang 3ĐKXĐ: x³ - 1
2
4 x 1 x 5x14 Û x2- 5x- 4 x+ + = 1 14 0
Û - + + + - + + =
Û - + + - =
3 0
1 2 0
x x
ì - = ïï
Û íï
+ - =
ïî Û x=3 (TM) Vậy phương trình có nghiệm là x=3
Câu 5: (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 1 3
2
m
m x
vô nghiệm
Lời giải
ĐKXĐ: x¹ 2
2 1
3 2
m
m x
Þ 2m- = -1 (x 2) (m- 3)
+ Xét m=3 Phương trình (*) trở thành 0x = 5 (Vô lý)
3
m
Þ = thì phương trình đã cho vô nghiệm
+ m¹ 3, phương trình đã cho có nghiệm 4 7
3
m x m
-=
-Để phương trình đã cho vô nghiệm thì 4 7 2
3
m m
- =
-1 2
m
Þ =
Vậy với m=3, 1
2
m= thì phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 6: (2,0 điểm) Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng
1
3
ab bc ca abc
abc
Lời giải
Áp dụng BĐT cauchy ta có (a b c ab bc ca+ + ) ( + + )³ 33abc.33 a b c2 2 2 =9abc
3
ab bc ca abc + +
3
ab bc ca
ab bc ca
abc
+ +
1 3
ab bc ca ab bc ca
abc
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Trang 4( )2 ( )2
ab bc ca ab bc ca VT
Dấu bằng xảy ra khi a= = =b c 1
Câu 7: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 5 3
5 4
n n n luôn chia hết cho 120
Lời giải
Ta có: n5 5 n3 4 n=n n 2 1 n2 4
n 2 n 1 n n 1 n 2
Và 120 2 3 5 3 .
Trong 5 số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số chia hết cho 5, một số chia hết cho 3 và ít nhất hai số chẵn liên tiếp nên tích của 2 số này chia hết cho 8
Mà 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên tích 5 số đó chia hết cho 120
Câu 8: (2,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 8 7 8x1.
Lời giải
3
x x
ĐK xác định: 1
8
x x x (vì x )
PT tương đương với:
2
x
x x . x x
Vì với x 0thì 2
5x 15x17 0 nên suy ra x 3 0 x3
Vậy PT có nghiệm duy nhất x 3
Lưu ý: HS có thể giải theo cách thử trực tiếp x = 1,2, ,5 Với x > 5 chứng minh vế trái lớn hơn
vế phải
Câu 9: (2,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳngAB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AB vẽ hai tia Ax By cùng vuông góc , AB Trên tia Ax lấy điểm C(khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D
a) Chứng minh AB2 4AC BD
b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trênCD
Chứng minh rằng M thuộc đường tròn đường kính
AB
c) Kẻ đường cao MH của tam giácMAB Chứng
minh rằng MH , AD , BCđồng quy
x
y
K C
D
M I
Trang 5Lời giải
a) Chứng minh OACDBO(g.g)
OA AC
OAOB AC BD
DB OB
AB AB
AC BD
AB2 4 AC B D (đpcm)
b) Theo câu a ta có: OACDBO (g.g)
OC AC
OD OB
mà OA OB OC AC
OD OA
+) Chứng minh: OAC∽DOC(c.g.c) ACO OCM
+) Chứng minh:OACOMC (ch.gn) AO MO
M nằm trên đường tròn O OA hay đường tròn đường kính, AB
c) Gọi K là giao của MH vớiBC , I là giao của BM với Ax
Ta có ΔOAC=ΔOMCOAC = ΔOAC=ΔOMCOMC OA OM CA CM ; OC là trung trực của AM
OC AM
Mặc khác OA OM OB AMB vuông tại M
//
OC BM (vì cùng vuông gócAM) hay OC // BI
+) Xét ABI có OM đi qua trung điểmAB , song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI
IC AC
+) MH // AI theo định lý Ta-lét ta có:MK BK KH
IC BC AC
Mà ICAC MK HK BC đi qua trung điểm MH
Tương tự AD cũng đi qua trung điểmMH Suy ra AD BC MH đồng quy., ,
Câu 10: (2,0 điểm) Cho sáu đường tròn có bán kính bằng nhau và cùng có điểm chung Chứng minh
rằng tồn tại ít nhất một trong những đường tròn này
chứa tâm của một đường tròn khác
Lời giải
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Trang 6Giả sử có sáu đường tròn tâm O i (i = 1, 2, , 6) có bán kính r và M là điểm chung của các
đường tròn này Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh ít nhất có hai tâm có khoảng
cách không lớn hơn r.
Nối M với các tâm Nếu hai trong những đoạn thẳng vừa nối nằm trên cùng một tia có điểm đầu mút là M thì bài toán được chứng minh.
Trong trường hợp ngược lại, xét góc nhỏ nhất trong các góc nhận được đỉnh M, giả sử đó là góc
O 1 MO 2
Do tổng các góc này là 3600 nên góc O 1 MO 2 600 Khi đó trong tam giác O 1 MO 2 có một góc
không nhỏ hơn góc O 1 MO 2 (nếu ngược lại thì tổng các góc trong tam giác nhỏ hơn 1800)
Từ đó suy ra trong những cạnh MO 1 và MO 2 trong tam giác O 1 MO 2 tồn tại cạnh không nhỏ hơn
O 1 O 2 tức ta có O 1 O 2r vì MO 1 r, MO 2 r.