Website tailieumontoan com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NÔNG CỐNG NĂM HỌC 2019 2020 MÔN TOÁN 9 ( ĐỀ THI CHÍNH THỨC ) Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1(4 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x để Bài 2 ( 4điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Bài 3(4 điểm ) a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi b) Cho với n lẻ Chứng minh Bài 4(6 điểm) Cho đường thẳn[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NÔNG CỐNG NĂM HỌC 2019-2020
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1(4 điểm) :
Cho biểu thức :
A
x
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm x để
1 2 2
x
A
Bài 2 ( 4điểm):
a) Giải phương trình 2 2
b) Giải hệ phương trình :
3 3
(2 3 ) 1
x y
Bài 3(4 điểm ):
a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
b) Cho với n lẻ Chứng minh :
Bài 4(6 điểm)
Cho đường thẳng và điểm cố định nằm ngoài đường thẳng là hình chiếu vuông góc của xuống d Hai điểm thay đổi trên sao cho Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống Chứng minh rằng:
a)
b) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
c) Cho đường tròn tâm đi qua điểm và đường tròn tâm cắt đường thẳng tại 2 điểm Chứng minh rằng đường tròn tâm đi qua 2 điểm cố định
Bài 5(2 điểm) Cho x,y,z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
……… Hết………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1(4 điểm) :
Cho biểu thức :
A
x
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm x để
1 2 2
x
A
Giải:
a)
A
x
Với biểu thức có nghĩa Ta có:
x
2 2
1
2
x x x
b) Ta có :
A
x
2
TH1:
9
4
x x
x
Trang 3TH2:
9 0
0
4
x x
x
Vậy 0 hoặc
Bài 2 ( 4điểm):
c) Giải phương trình 2 2
d) Giải hệ phương trình :
3 3
(2 3 ) 1
x y
Giải:
a) Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình do đó phương trình tương đương với :
Đặt phương trình trở thành:
Nếu
Nếu ( vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1
b)
3
3
(2 3 ) 1(1)
( 2) 3(2)
x y
Từ hệ phương trình Chia phương trình (1) cho và phương trình (2)
cho x ta được
3 3
1 (2 3 ) (1)
3
y x y
x
Đặt Hệ phương trình đượ viết lại : 3
3
trừ từng vế của hai phương trình ta được:
Giải phương trình tìm được
Với
Với
Trang 4Kết luận: Vậy nghiệm của hệ pương trình là
Bài 3(4 điểm ):
a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
b) Cho với n lẻ Chứng minh :
Giải :
a) Gọi độ dài các cạnh là Với Theo bài ra ta có:
2 2 2(1)
Từ (1)
thay vào (2) đưa về phương trình ước số:
Lại có
Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác là
b) Ta có :
Vì n lẻ
Do là tích hai số tự nhiên liên tiếp
Lại do n lẻ
Bài 4(6 điểm)
Cho đường thẳng và điểm cố định nằm ngoài đường thẳng là hình chiếu vuông góc của xuống Hai điểm thay đổi trên sao cho Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống Chứng minh rằng:
a)
b) là tuyến tuyến của đường tròn đường kính
c) Cho đường tròn tâm đi qua 4 điểm và đường tròn tâm cắt đường thẳng tại điểm Chứng minh rằng đường tròn tâm đi qua hai điểm cố định
Trang 5Giải :
a)
b) Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của
Ta có
Mà ( đồng vị) (1)
Mặt khác AEHF là hình chữ nhật (2)
Cộng (1); (2) vế theo vế
Lại có có EP là đường trung tuyến
EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm P
Trang 6c) Ta có :(1)
Mà
(2)
Từ (1) và (2)
Vậy luôn đi qua cố định
Bài 5(2 điểm) Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải: Theo bài ra ta có:
2
2
2
36 13
40
13
42 13
x x
y
z z
Trang 7Do dấu bằng xảy ra khi
Vậy GTNN của
