Website tailieumontoan com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010 2011 Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức với a) Chứng minh rằng b) Với những giá trị nào của thì biểu thức nhận giá trị nguyên? Câu 2 (2,0 điểm) a) Cho các hàm số bậc nhất , và có đồ thị lần lượt là các đường thẳng , và Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng cắt hai đường thẳng và lần lượt tại hai điểm và sao cho điểm có hoành độ âm còn điểm có hoành độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ , cho và là hai điểm phân biệt, di[.]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
2
M
a a a a a a với 0, a a1 a) Chứng minh rằng M 4
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6
M nhận giá trị nguyên?
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y0,5x3, y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt là các đường
thẳng d ,1 d và (2 m).Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (m)cắt hai đường thẳng d và 1 d lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn2
điểm B có hoành độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định (1 ; 2)I Tìm hệ
thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 1 2 1 2
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 17 2 2011
2 3
x y xy
b) Tìm tất cả các giá trị của , ,x y z sao cho: 1 3
2
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn ( )C với tâm O và đường kính AB cố định Gọi M là điểm di động trên ( ) C
sao cho M không trùng với các điểm A và B Lấy Clà điểm đối xứng của O qua A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N Đường thẳng BNcắt đường tròn
C tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F
a) Chứng minh rằng các điểm , , A E F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM AN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên
……….HẾT……….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:………
Trang 2LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
2
M
a a a a a a với 0, a a1 a) Chứng minh rằng M 4
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6
M nhận giá trị nguyên?
Lời giải
a) Do a0; a1 nên: 1 ( 1)( 1) 1
( 1)
2
a12
M
a
Do a0; a1 nên: ( a1)2 0 a 1 2 a
M 2 a 2 4
a
b) Ta có 0 6 3
2
N
M do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
Mà N = 1 6 1
1 2
a
( a2) 3 a 2 3 hay a 2 3 (phù hợp)
Vậy N nguyên a (2 3)2
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất: y0,5x3, y 6 x và y mx có đồ thị lần lượt là các đường
thẳng d ,1 d và (2 m).Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (m)cắt hai đường thẳng d và 1 d lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn2
điểm B có hoành độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định (1 ; 2) I Tìm hệ
thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N ; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu
thức Q 1 2 1 2
Lời giải
a) Điều kiện để (m)là đồ thị hàm số bậc nhất là m0
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (1 m)là:
0,5x 3 mx (m0,5)x3 Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m0,5 0 hay m0,5
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (2 m) là:
6 x mx (m1)x6 Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 hay m 1
Trang 3Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m0
b) Đặt M x và m n y N m n0 và m1 (*)
Nên đường thẳng qua ba điểm M I N có dạng: , , yaxb
0 2
am b
a b
n b
hệ thức liên hệ giữa m và n là 2 m n mn
Chia hai vế cho m n0 ta được: 1 2 1
m n (**)
1 5
m n m n mn m n m n
12 12 1;
5
Q
m n dấu “=” xảy ra khi
2 1
;
m n kết hợp (**): 5, 2,5m n (thỏa (*)
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1
5
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 17 2 2011
2 3
x y xy
b) Tìm tất cả các giá trị của , ,x y z sao cho: 1 3
2
Lời giải
a) Nếu xy0 thì
2011
(1)
3
1007 9
x
y
(phù hợp)
Nếu xy0 thì
2011
9
3
18
xy
(loại)
Nếu xy0 thì (1) x y 0 (nhận).
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là 0;0 và 9 ; 9
490 1007
b) Điều kiện 0; x y z 0; z x 0 y 0 z x
Trang 4(2) 2 x2 y z 2 z x x y z z x 3
( x1)2( y z 1)2( z x 1)2 0
1 1 1
x
y z
z x
1 3 2
x y z
(thỏa điều kiện)
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn ( )C với tâm O và đường kính AB cố định Gọi M là điểm di động trên ( ) C
sao cho M không trùng với các điểm A và B Lấy C là điểm đối xứng của O qua A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N Đường thẳng BN cắt đường tròn
C tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F
a) Chứng minh rằng các điểm , , A E F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM AN không đổi
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNFkhi và chỉ khi NF ngắn nhất
Lời giải
a) Chứng minh rằng các điểm , , A E F thẳng hàng.
MN BF và BCNF
A là trực tâm của tam giác BNF
FANB
Lại có AENB
Trang 5Nên , , A E F thẳng hàng
Chứng minh rằng tích AM AN không đổi
·CAN MAB , nên hai tam giác · ACN và AMB đồng dạng.
Suy ra: AN AC
Hay AM AN AB AC 2R không đổi (với R là bán kính đường tròn2 C )
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Ta có 2
3
BA BC nên A là trọng tâm tam giác BNF C là trung điểm NF (3) Mặt khác: ·CAN CFM , nên hai tam giác · CNA#CBF
CN AC CN CF BC AC 3R2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF CN CF 2 CN CF 2R 3 không đổi
Nên: NF ngắn nhất CN =CF C là trung điểm NF (4)
(3) và (4) cho ta: A là trọng tâm tam giác BNF NF ngắn nhất
Câu 5: (1,0 điểm)
Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên
Lời giải
Đặt: S 1 .2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12
3.4.5.6.7.8.11.12
100S (1) là một số nguyên
hai chữ số tận cùng của S là 00
Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của 1 , nếu chỉ để ý đến
chữ số tận cùng, ta thấy S
100 có chữ số tận cùng là 6 (vì 3.4 12; 2.6 12; 2.7 14; 4.8 32; 2.9 18; 8.11 88; 8.12 96 )
Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600
……… HẾT………