Website tailieumontoan com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LẬP THẠCH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2020 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 ( 2,5 điểm) a) Chứng minh rằng b) Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố Câu 2 (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên thỏa mãn chia hết b) Cho đa thức với Biết đa thức chia cho thì dư 12, chia cho dư Tính giá trị của biểu thức Câu 3 (1 5 điểm) Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn Chứng minh là số ch[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LẬP THẠCH
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1:( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng: 3( 2 )2
7 36 7
A = n n − − n ∀ ∈ n
b) Cho
4 4
P n = + Tìm tất cả các số tự nhiên n
để P là số nguyên tố.
Câu 2:(2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a
thỏa mãn ( 20202020+ 1 )
chia hết ( a3+ 2021 a )
b) Cho đa thức F x ( ) = + + x ax b3
với ( a b R , ∈ )
Biết đa thức F x ( )
chia cho ( x − 2 )
thì dư
12, F x ( )
chia cho ( ) x + 1
dư − 6 Tính giá trị của biểu thức:
( 6 3 11 26 5 5 ) ( )
B = a b + − − + a b
Câu 3:(1.5 điểm) Cho các số a b c d , , ,
nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:
6
a b b c c d d a
a b b c c d d a
+ + + + + + + =
Chứng minh A abcd = là số chính phương.
Câu 4:(2 điểm)
Chứng minh rằng ( ) ( ) (2 ) ( )2 ( ) ( )2
a b c b c a − + − + c a b a b c − + − = b a c a c b − + −
Câu 5:(2 điểm)
Trang 2Cho x y + = 1, xy ≠ 0
Tính
2
x y
P
−
Câu 6:(1,5 điểm) Cho x ≠ ± y
và
2 2 4 4 8 8
2020
x y x + y + x y + x y =
Tính tỉ số
x y
?
Câu 7:(2 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Câu 8: (1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( 2)( 6) 12 24 3 8 2050
B xy x = − y + + x − x y + + + y
Câu 9:(4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD
, M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ ME AB MF AD ⊥ , ⊥ a) Chứng minh DE CF =
b) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM , ,
đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 10: (1 điểm) Cho 1 lưới ô vuông có kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗiô của lưới 1 trong
các số -1, 0, 1 Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằng nhau
HẾT
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 8 HUYỆN LẬP THẠCH
Năm học: 2020-2021
1 ( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng: 3( 2 )2
7 36 7
A = n n − − n ∀ ∈ n
b) Cho
4 4
P n = + Tìm tất cả các số tự nhiên n
để P là số nguyên tố.
Lời giải
A = n n − − n = n n n − − = n n − n −
( 3 7 6 ) ( 3 7 6 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 1 3 2 )
A n n = − − n n − + = n n n + n + n − n − n + n −
Tích của 7 số liên tiếp nên A M 7
b) Cho
4 4
P n = + Tìm tất cả các số tự nhiên n
để P là số nguyên tố.
Nếu n = ⇒ = + = 1 P 1 4 5 là số nguyên tố ( thỏa mãn)
4
5 5 4 629
n = ⇒ = + = P không phải là số nguyên tố ( loại)
Nếu n ≠ 5, n > 1
thì n
có dạng:
( )
5 1 1
n k = + k ≥ ( )4 ( )3 ( )2 ( )
n = + ⇒ = k P k + k + k + k + +
( )4 ( )4 ( ) ( )3 2
P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5
Trang 4( )4 ( )3 ( )2 2 ( ) 3 4
5 2 5 4 5 2 6 5 2 4 5 2 2 4
( )4 ( )3 ( )2 2 ( ) 3
5 4 5 2 6 5 2 4 5 2 20
không phải số nguyên tố do các thừa số
đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5
5 3
n k = + ( )4 ( )3 ( )2 2 ( ) 3 4
5 4 5 3 6 5 3 4 5 3 3 4
( )4 ( )4 ( )3 ( )2
4 4 5 3 4 5 4 5 3 6 5 3 4.5 3 852 3
P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5
( )4 ( )3 ( )2 2 ( ) 3 4
5 4 5 4 5 4 6 5 4 4 5 4 4 4
( )4 ( )3 ( )2 2 ( ) 3
5 4 5 4 6 5 4 4 5 4 260
P không phải số nguyên tố do các thừa số đều chia hết cho 5 nên P chia hết cho 5
Vậy n = 1
Câu 11: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a
thỏa mãn ( 20202020+ 1 )
chia hết ( a3+ 2021 a )
b) Cho đa thức F x ( ) = + + x ax b3
với ( a b R , ∈ )
Biết đa thức F x ( )
chia cho ( x − 2 )
thì dư
12, F x ( )
chia cho ( ) x + 1
dư − 6 Tính giá trị của biểu thức:
( 6 3 11 26 5 5 ) ( )
B = a b + − − + a b
Lời giải
Trang 5a) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a
thỏa mãn ( 20202020+ 1 )
chia hết ( a3+ 2021 a )
Nếu a
chẵn:
Có ( a3+ 2021 a ) ( = a a2+ 2021 )
( 20202020 1 a )
Mà ( 20202020+ 1 )
là số lẻ⇒ vô lý.
lẻ
Có ( a3+ 2021 a ) ( = a a2+ 2021 )
( 20202020 1 ) ( a2 2021 )
Mà ( a2+ 2021 )
là số chẵn⇒ vô lý.
Vậy không tồn tại số nguyên a
b) Cho đa thức F x ( ) = + + x ax b3
với ( a b R , ∈ )
Biết đa thức F x ( )
chia cho ( x − 2 )
thì dư
12 F x ( )
chia cho ( ) x + 1
dư − 6 Tính giá trị của biểu thức: B = ( 6 3 11 26 5 5 a b + − ) ( − + a b )
x ax b + + = − x x + + + + + x a b a +
x ax b + + = + x x x a − + + + − + b a
( 6 3 11 26 5 5 ) ( ) ( 6.3 3.2 11 26 5.3 5.2 1 ) ( )
B = a b + − − + a b = − − − − =
Vậy B = 1.
Câu 12: (1.5 điểm) Cho các số a b c d , , ,
nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:
Trang 62 2 2 2
6
a b b c c d d a
a b b c c d d a
+ + + + + + + =
Chứng minh A abcd = là số chính phương.
Lời giải
6 2
a b b c c d d a
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
0
0
0 (do ) 0
0
a b b c c d d a
b c a c d d a d c a a b b c
b c d d a d a b b c a c bca bd db adc
b d ac bd
ac bd abcd bd
Vậy A abcd = là số chính phương.
Câu 13: (2 điểm)
Chứng minh rằng ( ) ( ) (2 ) ( )2 ( ) ( )2
a b c b c a − + − + c a b a b c − + − = b a c a c b − + −
Lời giải
Xét ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) (2 )2
a b c b c a − + − + c a b a b c − + − − b a c a c b − + −
Câu 14: (2 điểm)
Trang 7Cho x y + = 1, xy ≠ 0
Tính
2
x y
P
−
Lời giải
Từ giả thiết ta có y = − 1 ; x x = − 1 y
Khi đó
1
−
1
−
Hơn nữa, kết hợp giả thiết x y + = 1
ta có
( y2+ + y 1 ) ( x x2 + + = 1 ) x y xy2 2+ 2+ + y x y xy y x x2 2 + + + + +2 1
( )
x y xy x y x y xy x y
( )2
x y x y x y
2 2 3
x y
Khi đó
2
x y P
−
−
− − − + + + + −
=
2 2
0
0
Câu 15: (1,5 điểm) Cho x ≠ ± y
và
2 2 4 4 8 8
2020
x y x + y + x y + x y =
Tính tỉ số
x y
?
Lời giải
Trang 8Xét y = 0
không thoả mãn giả thiết Vậy y ≠ 0
Ta có
2 2 4 4 8 8
2020
x y x + y + x y + x y =
2020
2
2
2020
2
4 2
2020
+
2 2 4 4
2020
2 2 4 4
2020
2020
y
2
2 2
2
2020
x y x y
2 2 2020
y x y y
x y x y
− +
2
2020
xy y
x y x y
+
2020
y
x y
− 2020
x y y
−
Trang 91 2020
x y
⇔ − =
1 2021 1
2020 2020
x y
Vậy
2021 2020
x
y =
.
Câu 16: (2 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x y z , ,
trong đó cạnh huyền là z(x y z , , là các số nguyên dương).
Ta có xy = 2 ( x y z + + ) ( ) 1
và x y2+ =2 z2 ( ) 2
Từ ( ) 2
2
z = + x y − xy
, thay ( ) 1
vào ta có
2 2
2 2
2 2
4
⇒ + = + −
(do z + ≥ 2 3, x ≥ 1, y ≥ ⇒ + − ≥ 1 x y 2 0
).
4
z x y
⇔ = + −
, thay vào ( ) 1
ta được
( ) ( )
4 4 8 1.8 2.4
Từ đó tìm được các giá trị của x y z , ,
là
( x = 5, y = 12, z = 13 ; ) ( x = 12, y = 5, z = 13 ; ) ( x = 6, y = 8, z = 10 ; ) ( x = 8; y = 6; z = 10 )
.
Câu 17: (1,5 điểm)
Trang 10Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( 2)( 6) 12 24 3 18 2050
B xy x = − y + + x − x y + + y +
Lời giải
Ta có:
2
( 2)( 6) 12 24 3 18 2050
2
3 2020
+
Vì
( )
( )
( )
2 2 2
1 0
3 0
x
y
y
+ + ≥
Dấu ‘=” xảy ra khi x = 1; y = − 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2020 khi x = 1; y = − 3
Câu 18: (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD
, M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD Kẻ ME AB MF AD ⊥ , ⊥ a) Chứng minh DE CF =
b) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM , ,
đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Lời giải
Trang 11a) Chứng minh DE CF =
b) Chứng minh ba đường thẳng DE BF CM , ,
đồng quy
với DC CB EF , ,
lần lượt là K I H , ,
MEF HME MCK HME MCK KMC
CM EF
Có ∆ ADE = ∆ DCF ⇒ · ADE DCF = ·
Vậy DE BF CM , ,
đồng quy.
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Gọi độ dài cạnh hình vuông là a
và độ dài MElà x
Ta có
AEMF
Trang 12Vậy diện tích AEMF lớn nhất là
2
4
a
a
x =
hay M là trung điểm của BD.
Câu 19: (1 điểm) Cho 1 lưới ô vuông có kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗiô của lưới 1 trong
các số -1, 0, 1 Xét tổng các số theo từng cột, theo từng hàng và theo từng hàng chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng luôn tồn tại 2 tổng có giá trị bằng nhau
Lời giải
Có tất cả 12 tổng gồm 5 tổng theo cột, 5 tổng theo hàng và 2 tổng theo đường chéo Mỗi tổng gồm 5 số
hạng mà mỗi số hạng nhận 1 trong 3 số là 1, -1, 0 Nên mỗi tổng là 1 số nguyên Gọi các tổng là Si
với
1,2,3, ,12
i =
thỏa mãn − ≤ ≤ 5 Si 5
.
i
S
sẽ nhận 11 giá trị từ -5, -4, -3, , 3, 4, 5.
Mà ta lại có 12 Si
nên sẽ luôn tồn tại 2 tổng có giấ trị bằng nhau.
HẾT
