Website tailieumontoan com UBND HUYỆN ĐÔNG SƠN PHÒNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn Toán 8 Thời gian 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức 1 Rút gọn biểu thức 2 Tìm để 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2 (4,0 điểm) 1 Cho số nguyên tố và số nguyên dương sao cho Chứng minh chia hết cho 2 Cho là các số hữu tỷ khác thỏa mãn Chứng minh là bình phương của một số hữu tỷ Bài 3 (4 điểm)[.]
Trang 1UBND HUYỆN ĐÔNG SƠN
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HOÁ CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2019 – 2020 Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (4,0 điểm).
Cho biểu thức
M
1 Rút gọn biểu thức M
2 Tìm x để M ≥ 1
3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
Bài 2. (4,0 điểm).
1 Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a b , sao cho: p a b2+ =2 2 Chứng minh a
chia hết cho 12
2 Cho ,x y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn:
1 2 1 2
1
− + − =
Chứng minh M x y xy = + −2 2 là bình phương của một số hữu tỷ
Bài 3. (4 điểm).
1 Tìm hai số nguyên dương ,x y thỏa mãn : ( )4
40 1
x y + = x +
2 Giải phương trình :( ) ( ) (2 )
3 x − 2 x + 1 3 8 x + = − 16
Bài 4. (6 điểm).
Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Trên cạnh AB lấy M
( 0 MB MA < < ) và trên cạnh BC lấy N sao cho · MON = ° 90 Gọi E là giao điểm của AN
với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE
1 Chứng minh ∆ MON vuông cân
2 Chứng minh: MN BE // và CK BE ⊥
3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H Chứng minh: KC KN CN 1
KB KH BH + + = .
Bài 5. (2 điểm)
Cho 2 số không âm a;b thỏa mãn a b a b2+ ≤ +2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2020
a b
a 1 b 1
HẾT
Trang 2MÔN TOÁN 8 (2019 – 2020) Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức
M
1 Rút gọn biểu thức M
2 Tìm x để M ≥ 1
3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
Lời giải
1 Đặt x t t2 = ( ) ≥ 0 , ta được:
2
M
2
2 2
t t t
− + + + + − +
2
2 2
1 1
t t t
− + + + − +
2
t t t
+ + − − + −
=
+ − +
2 2
t t
t t t
+
=
+ − +
( )
1
t t
t t t
+
=
+ − +
2 1
t
t t
=
− + 2
4 2 1
x
x x
=
− +
Vậy
2
4 2 .
1
x M
x x
=
− +
2
Ta có:
( 2 )2
1 1
x
M
−
− + −
Mà
2
2 4
x − + = x x − + >
nên ( )2 2 2
x − ≤ ⇔ x = ⇔ = ± x
Vậy x = ± 1 thì M ≥ 1.
Trang 33 Ta có:
( 2 )2
1 1
x
M
−
− + −
Mà
( 2 )2
2
4 2
1
1 3
x
−
− + = − ÷ + > ⇒ ≥
− +
1 M 0 M 1
⇒ − ≥ ⇔ ≤
Dấu '' '' = xảy ra khi x2 = ⇔ = ± 1 x 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 1 khi x = ± 1
Bài 2. (4,0 điểm).
1 Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a b , sao cho: p a b2+ =2 2 Chứng minh a
chia hết cho 12
2 Cho ,x y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn:
1 2 1 2
1
− + − =
Chứng minh M x y xy = + −2 2 là bình phương của một số hữu tỷ
Lời giải
1 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p2 ≡ 1 mod3 ( )
Nếu b M 3 ⇒ ≡ b2 0 mod3 ( )
2 2 2 2 mod3
a b p
⇒ = − ≡ (vô lí)
b
⇒ không chia hết cho 3
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p2 ≡ 1 mod 4 ( )
Nếu b M 2 ⇒ ≡ b2 0 mod 4 ( )
2 2 2 3 mod 4
a b p
⇒ = − ≡ (vô lí)
b
⇒ không chia hết cho 2
Thay vào ta được: 4k2 = − b p2 2
Ta chứng minh k M 2 Thật vậy:
Nếu k lẻ ⇒ VT = 4 k2 ≡ 4 mod8 ( )
1;3;5;7 mod8 1 mod8
Trang 4Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ ≡ p 1;3;5;7 mod8 ( ) ⇒ p2 ≡ 1 mod8 ( )
2 2 0 mod8
VP b p
⇒ = − ≡ (mâu thuẫn)
( )
2 **
k
⇒ M
Từ ( ) * và ( ) ** ⇒ a M 4 ( ) 2
Từ ( ) 1 và ( ) 2 kết hợp với ( ) 3,4 1 = ⇒ a M 12 (đpcm).
2 Ta có: 1 2 1 2 1 ( 1 2 ) ( 1 ) ( 1 2 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 )
− + − = ⇔ − − + − − = − −
1 y x xy 2 2 1 x 2 2 y xy 1 x y xy
⇔ − − + + − − + = − − +
3 xy 2 2 1 x y
( )2
M x y xy x y xy
⇒ = + − = + −
= + − + − = + − + + = + −
Mà ,x y là các số hữu tỷ khác 1
M x y xy
⇒ = + − là bình phương của một số hữu tỷ (đpcm)
Bài 3. (4 điểm).
1 Tìm hai số nguyên dương ,x y thỏa mãn : ( )4
40 1
x y + = x +
2 Giải phương trình :( ) ( ) (2 )
3 2 x − x + 1 3 8 x + = − 16
Lời giải
x y N ∈ ⇒ + x y = x + < x + y = x y + ⇒ + x y < ⇒ + < x y
Do đó: 2 ≤ + < x y 4
Mặt khác: 40 1 x + là số lẻ nên ( )4
x y + là số lẻ ⇒ + x ylà số lẻ
Ta có: 2 ≤ + < x y 4, x y + là số lẻ ⇒ + = x y 3
Từ đó: ( ) ( ) ( ) x y ; ∈ { 2;1 ; 1;2 }
Thử lại chỉ có cặp số ( ) ( ) x y ; = 2;1 thỏa mãn bài toán
Vậy x = 2; y = 1.
2 Ta có: ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) (2 )
3 x − 2 x + 1 3 8 x + = − ⇔ 16 3 x − 2 9 x + 1 3 8 x + = − 144
3 2 3 3 3 8 x x x 144
Trang 5Đặt 3 3 x + = ⇒ − = − t 3 2 x t 5, 3 8 x + = + t 5, ta có phương trình:
2 2
4 16
t t
Với t = ⇒ + = ⇔ = 3 3 3 3 x x 0
Với t = − ⇒ + = − ⇔ = − 3 3 3 3 x x 2
Với
1
4 3 3 4
3
t = ⇒ + = ⇔ = x x
Với
7
4 3 3 4
3
t = − ⇒ + = − ⇔ = x x −
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1 7 0; 2; ;
3 3
S = − −
Bài 4. Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Trên cạnh AB lấy M
( 0 MB MA < < ) và trên cạnh BC lấy N sao cho · MON = ° 90 Gọi E là giao điểm của AN
với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE
1 Chứng minh ∆ MON vuông cân
2 Chứng minh: MN BE // và CK BE ⊥
3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H Chứng minh: KC KN CN 1
KB KH BH + + = .
Lời giải
Trang 61 Chứng minh ∆ MON vuông cân
Xét ∆ AOM và ∆ BON, có:
OAM OBN = = °
OA OB = ( tính chất hình vuông)
·AOM = ·BON ( cùng phụ với BOM · )
Suy ra ∆ AOM = ∆ BON (g.c.g)
Xét ∆ MON có OM ON = (cmt) và MON · = ° 90 (gt)
Suy ra ∆ MON vuông cân tại O (đpcm)
2 Chứng minh: MN BE //
Suy ra AM BN ,
BM = CN mà BN AN
CN = EN (hệ quả định lí Tales).
Nên
AM AN
BM = EN ⇒ MN BE // (định lí Tales đảo) (đpcm)
+) Chứng minh: CK BE ⊥
Do MN BE // (cmt) nên ·MNO = BKO · = ° 45 (2 góc đồng vị)
Trang 7Mà · BCO = ° 45 ⇒ · BKO BCO = · = ° 45 hay · BKN OCN = ·
⇒ ∆ BNK đồng dạng với ∆ ONC theo trường hợp góc – góc
hay
BON
⇒ ∆ đồng dạng với ∆ KCN theo trường hợp cạnh – góc – cạnh
CKN OBN
⇒ = = ° (vì OBN · = ° 45 )
Khi đó BKC BKO CKN · = · + · = 45 45 90 ° + ° = °
Vậy CK BE ⊥ (đpcm).
3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H Chứng minh: KC KN CN 1
KB KH BH + + = .
Ta có: KH OM // (gt), OM OK ⊥ ⇒ KH OK ⊥ hay KH NK ⊥
Suy ra CKH NKH CKN · = · − · = ° − ° = ° 90 45 45 ⇒ KC là phân giác của ·NKH
Mà CK BE ⊥ (cmt) suy ra KB là phân giác ngoài tại đỉnh K của ∆ NKH
KN CN BN
KH CH = = BH
⇒ (tính chất đường phân giác của tam giác) (1)
Tương tự ta có KN là phân giác trong và KH là phân giác ngoài của ∆ BKC
KC CN CH
KB BN = = BH
⇒ (tính chất đường phân giác của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
KN KC BN CH KC KN CN BN CH CN
1
KC KN CN BH
KB KH BH BH
⇒ + + = = (đpcm).
Bài 6. (2 điểm)
Cho 2 số không âm a;b thỏa mãn a b a b2+ ≤ +2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2020
a b
a 1 b 1
Lời giải
Ta có: a 1 2a, b 1 2b a b 2 2 a b2+ ≥ 2 + ≥ ⇒ + + ≥2 2 ( ) +
Trang 8Mặt khác với x,y là 2 số dương ta có:
1 1 4
x y x y + >
+
Do đó:
Suy ra:
1 2019 2019 1 S 2020
Dấu “=” xảy ra khi và khi a b 1 = =
Vậy giá trị lớn nhất của S là 2020, xảy ra khi a b 1 = =
HẾT
