Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7 huyện Thái Thụy năm 2020-2021

Phiếu học tập tuần toán 7 Website tailieumontoan com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THÁI THỤY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2020 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (4 điểm) Thực hiện phép tính a) b) c) Câu 2 (4,5 điểm) Tìm x, biết a) b) c) Câu 3 (4,5 điểm) a) Chứng minh rằng đa thức có ít nhất hai nghiệm biết rằng b) Tìm ba số thỏa mãn và c) Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên thỏa mãn Câu 4 (6 điểm) Cho nhọn, , trung tuyến Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm , vẽ đoạn thẳ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THÁI THỤY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1. (4 điểm)

Thực hiện phép tính :

a)

15 : 25 :

b)

B        

c)

: 1 :1 : 1 :1 : 1 : : 1

Câu 2. (4,5 điểm)

Tìm x, biết

a) 2x2 2  x 2

b)   2   8

x   x  

c)

2019 2018 2017 2016

x  x  x  x

Câu 3. (4,5 điểm)

a) Chứng minh rằng đa thức P x  có ít nhất hai nghiệm biết rằng:

x P x  x P x 

b) Tìm ba số a b c, , thỏa mãn:

a b  c a  b c

và a b c   50

c) Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x y z, , thỏa mãn:

2019

x y     y z z x

Câu 4. (6 điểm)

Cho ABC nhọn, AB AC , trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm

C , vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AB và AEAB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa

điểm B , vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD AC.

a) Chứng minh: BD CE

b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN MA Chứng minh:

ACN  BAC và ADE CAN.

c) Gọi giao điểm của DE với AB AC, lần lượt là Q P, Chứng minh rằng: AP AQ .

d) Gọi I là giao điểm của DE và AM Chứng minh

AD IE

DI AE



Câu 5. (1 điểm)

Tìm các số hữu tỉ a b c, , thỏa mãn đồng thời ab c bc , 4 ,a ac9b.

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 7 HUYỆN THÁI THỤY

Năm học: 2020-2021 Câu 1. (4 điểm)

Thực hiện phép tính :

a)

15 : 25 :

b)

B        

c)

: 1 :1 : 1 :1 : 1 : : 1

Lời giải

a)

15 : 25 :

b)

B        

1

c)

: 1 :1 : 1 :1 : 1 : : 1

1 2 3 4 5 6 100 1

2 3 4 5 6 7 101 101

(có 50 thừa số âm)

Câu 2. (4,5 điểm)

Tìm x, biết

a) 2x2 2  x 2

b)   2   8

x   x  

c)

2019 2018 2017 2016

x  x  x  x

Lời giải

a) 2x2 2  x 2  2x   2 x 2 0

Vậy x = 2

b)   2   8

x   x     2  6    2

6

x

x





   



3 0

3 1

x

x

 

       Vậy x2;3;4

c)

2019 2018 2017 2016

x  x  x  x

          

3 2020

2020 2020 2020

0

2019 2018 2017 2016

x

2019 2018 2017 2016

2020

x

  ( vì

0

2019 2018 2017 2016   

)

Câu 3. (4,5 điểm)

a) Chứng minh rằng đa thức P x  có ít nhất hai nghiệm biết rằng:

x P x  x P x 

b) Tìm ba số a b c, , thỏa mãn:

a b  c a  b c

và a b c   50

c) Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x y z, , thỏa mãn:

2019

x y     y z z x

Lời giải

a) Ta có: x P x    2 x 3  P x 1 0

Với x 0 0.P 2 3.P   1 0 P     1 0 x 1là một nghiệm của P x 

Với x 3 3.P 5 0.P 2  0 P 5   0 x 5là một nghiệm của P x 

Vậy đa thức P x  có ít nhất hai nghiệm

b) Ta có:

a b  c a  b c

15 10 6 15 10 6

0

25 9 4

a b  c a  b c

 

15 10 0

6 15 0

10 6 0 30 45 75

50

b c

a b c





 



    

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

10

50 1

15

30 45 75 30 45 75 150 3

25

a

b c

 



c) Do vai trò của x y z, , như nhau nên ta giả sử x y z khi đó

2019

x y     y z z x

2019

y x z y z x

      

2 z x 2019

   (vô lý vì vế trái luôn là số chẵn, vế phải là số lẻ)

Vậy không thể tìm được số nguyên , ,x y z thỏa mãn: x y     y z z x 2019

Câu 4. (6 điểm)

Cho ABC nhọn, AB AC , trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm

C , vẽ đoạn thẳng AE vuông góc AB và AEAB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa

điểm B , vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD AC.

a) Chứng minh: BD CE

b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN MA Chứng minh:

ACN  BAC và ADE CAN.

c) Gọi giao điểm của DE với AB AC, lần lượt là Q P, Chứng minh rằng: AP AQ .

d) Gọi I là giao điểm của DE và AM Chứng minh

AD IE

DI AE



Lời giải

a) Ta có: ·DAB CAE· (cùng phụ ·BAC )  DAE CAE c g c DB CE

b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN MA

Chứng minh: ·ACN 180 BAC· và ADE CAN.

Dễ chứng minh được BAM  CNM c g c  BAM· MNC·

Mà 2 góc ở vị trí so le trong AB CN/ /

BAC ACN

    (trong cùng phía)

    (đpcm)

Kẻ Ax là tia đối của AD

· 180 ·

Mà ·xAE BAC· (cùng phụ ·EAC ) ·DAE180 BAC·

Mà ·ACN 180 ·BAC DAE· ·ACN  DAE ACN c g c 

c) Vì AB AC AE AD ·ADE AED·

Có ·APQ CAE AED· · ( góc ngoài APE )

Có ·AQP BAD ADE· · ( góc ngoài ADQ)

Mà CAE BAD· · ·AQP APQ· AP AQ

Câu 5. (1 điểm)

Tìm các số hữu tỉ a b c, , thỏa mãn đồng thời ab c bc , 4 ,a ac9b.

Lời giải

Nếu a   0 b c 0 Tương tự với trường hợp b0,c0

Nếu a b c, , khác 0 ta có:

2 2

c ab



Ta có các bộ ba số cần tìm là 3; 2;6 ; 3; 2; 6 ; 3; 2; 6         3; 2;6

HẾT