Phiếu học tập tuần toán 7 Website tailieumontoan com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 12/11/2020 Câu 1 (5 0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức với b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn Câu 2 (5 0 điểm) a) Chứng minh rằng không thể biểu diễn dưới dạng với là các số hữu tỉ và dương b) Xét các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng Câu 3 (3 0 điểm) Cho tam giác nhọn đường cao là trực tâm của tam giác[.]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 12/11/2020
Câu 1. (5.0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức ( 3 )2020
15 25
a + a
với a = 313 7 6- +313 7 6+ . b) Tìm các cặp số nguyên ( , )x y thỏa mãn x2- 2 (2x y+ +1) 5y2+2y=0.
Câu 2. (5.0 điểm)
a) Chứng minh rằng 32 không thể biểu diễn dưới dạng p q r+ với , ,p q r là các số
hữu tỉ và r dương.
b) Xét các số dương , ,a b c thỏa mãn
1 1 1
a b c
+ + = + +
Chứng minh rằng
8ab+ +1 8bc+ +1 8ca+1 3(„ a b c+ + )
Câu 3. (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK H là trực tâm của tam giác Gọi M là một ;
điểm trên CK sao cho ·
1 2
90 ; , ,
AMB = ° S S S theo thứ tự là diện tích các tam giác
,
AMB ABC và ABH
a) Chứng minh: HK CK =AK BK
b) Chứng minh: S = S S1 2
Câu 4. (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ (M không trùng với B và C ) Từ M kẻ ME vuông góc AB tại E MF, vuông góc
AC tại F .
a) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng qua M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định D
b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để diện tích tam giác EDF có giá trị nhỏ nhất
Câu 5. (3.0 điểm)
Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100 Chứng minh rằng luôn tìm
Trang 2HẾT
Trang 3PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯ SÊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: 12/11/2020
Câu 1. (5.0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức ( )2020
a + a
với a = 313 7 6- +313 7 6+ b) Tìm các cặp số nguyên ( , )x y thỏa mãn x2- 2 (2x y+ +1) 5y2+2y=0
Lời giải
a) Ta có: (x+y)3=x3+y3+3 (xy x+y)
Áp dụng hằng đẳng thức trên ta có:
3 ( 13 7 6 13 7 6)3
3
13 7 6 13 7 6 3 (13 7 6)(13 7 6) ( 13 7 6 13 7 6)
3
26 3 13 (7 6) a
-26 3.( 5)a
-26 15a
=
Khi đó ta có: ( 3 )2020 2020
b) Ta có:
x - x y+ + y + y=
(x 2 )y 2(x 2 ) 1 (y y 1) 2
Do x y, là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:
TH1:
ïî
TH2:
ïî
TH3:
ïî
Trang 4TH4:
ïî
Vậy các cặp số nguyên ( ; )x y cần tìm là (6;2),(2;0),(4;2),(0;0)
Câu 2. (5.0 điểm)
a) Chứng minh rằng 32 không thể biểu diễn dưới dạng p q r+ với p q r, , là các số hữu tỉ và r dương
b) Xét các số dương a b c, , thỏa mãn
1 1 1
a b c
+ + = + +
Chứng minh rằng
„
8ab+ +1 8bc+ +1 8ca+1 3(a b c+ + )
Lời giải
Giả sử 32= +p q r
3
2 (p q r)
2 p 3p q r 3pq r q r
2 p 3pq r r 3p q q r
3
r
p q q r
-
+
+ Nếu r là số chính phương hoặc là số hữu tỉ có dạng
2
m n
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
p q r
Þ + Î ¤ với mọi số p q Î, ¤ Þ 32 là số hữu tỉ
Điều này vô lý vì 32 là số vô tỉ
+ Nếu r không là số chính phương hoặc không là số hữu tỉ có dạng
2
m n
æ ö÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø.
r
Þ là số vô tỉ Þ vô lý vì
3
p q q r
- -+ là số hữu tỉ với mọi số p q r Î ¤, , Vậy 32 không thể biểu diễn dưới dạng p q r+ với p q r, , là các số hữu tỉ và
r dương
b) Với ba số dương a b c, , xét biếu thức:
2
( 8ab 1 8bc 1 8ca 1) a b8 b c8 c a8
ç
÷
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho hai bộ ba số ( ; ;a b c) và
8b ; 8c ; 8a
Trang 58 8 8 ( ) 8 8 8
8ab 1 8bc 1 8ca 1 (a b c) 8a 8b 8c
2
( 8ab 1 8bc 1 8ca 1) (a b c) 9(a b c)
( 8ab 1 8bc 1 8ca 1)2 9(a b c)2
8ab 1 8bc 1 8ca 1 3(a b c)
Câu 3. (3.0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK H; là trực tâm của tam giác Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB· =90 ; , ,° S S S1 2 theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB ABC, và ABH
a) Chứng minh: HK CK =AK BK
b) Chứng minh: S = S S1 2
Lời giải
a) Xét HKBV và AKCV co:
KBH KCA (cùng phụ với BAC· )
BKH CKA
( )
(1)
2
1 2
1 2
4 2
AB KH CK
S S
AB KH CK
S S
b) Lại có: AMBV vuông ở M có đường cao MK
2
Þ × = (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2)Þ CH CK =MK2
Suy ra KH CK =MK (3)
Thay (3) vào (*) ta dưọc:
AB MK
S S = × =SD =S
Câu 4. (4.0 điểm)
Trang 6Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ (M không trùng với B và C ) Từ M kẻ ME vuông góc AB tại E MF, vuông góc
AC tại F .
a) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng qua M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm có định D
b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để diện tích tam giác EDF có giá trị nhỏ nhất
Lời giải
Kẻ MH ^EF .
Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình vuông
MD cắt EF tại H MF cắt AD tại K
Xét BMED vuông tại E có EBM· =45° Þ EMB· =45°.
BME
Þ D vuông cân tại E Þ BE =ME
Tứ giác BEMK có Bµ =Eµ =Kµ
và
BE =ME Þ BEMK là hình vuông.
Xét AMED và DMKD có:
(cmt)
AE =KD
(cmt)
ME =MK
(c-g-c)
EAM =KDM (hai góc tương ứng)
Mà ·EAM ·=MFE Þ MFE· =KDM·
Lại có FDC· =MFD·
(hai góc so le trong) nên ta có:
KDM +MDF +FDC =MFE +MDF +MFD =EFD+MDF
FDH
Þ D vuông tại H hay DH ^EF .
Trang 7Vây MH luôn đi qua một điểm D cố định.
Đặt AB =a AE, = Þx BE = -a x
(Với a>0,0< <x a)
Ta có: SDDFE =SDABCD - SDBDE - SDDFC - SDAFE .
2a 2ax 2x
DFE
SD
Þ đạt giá trị nhỏ nhất khi
2a 2ax 2x
çè ø nhỏ nhất
Ta có:
2
2a 2ax 2x 2 x 2a 4a 2 4a
- + = êçç - ÷÷+ ú³ ×
Vậy
2a 2ax 2x
çè ø đạt giá trị nhỏ nhất là 1 32 4× a2.
Khi đó M là trung điểm canh BC
Câu 5. (3.0 điểm)
Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100 Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác
Lời giải
Ta xếp các đoạn thẳng có độ dài tăng dần a1£ a2£ ¼ £ a7
Nếu tồn tại ba đoạn thẳng
; ;
a a+ a+
thỏa mãn a k +a k+1>a k+2
thì ba đọan thẳng này có thể lập thành một tam giác
Giả sử ngược lại:
a +a £ a a +a £ a a +a £ a a +a £ a a +a £ a
Khi đó theo giả thiết:
a > a > Þ a > Þ a > Þ a > Þ a > Þ a > .
Þ Mâu thuẫn với giả thiết cho dộ dài mỗi đoạn thẳng nhỏ hơn 100
Vậy tồn tại 3 đoạn thẳng a a k; k+1;a k+2
mà a k +a k+1>a k+2
Do đó tồn tại 3 đoạn thẳng để
có thể ghép thành tam giác
Trang 8 HẾT