Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán huyện Quỳ Hợp năm học 2020-2021

Phiếu học tập tuần toán 7 Website tailieumontoan com PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1 NĂM HỌC 2020 2021 MÔN TOÁN 9 Câu 1 (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức 1 2 Cho biểu thức a Tìm điều kiện của để biểu thức có nghĩa và rút gọn b Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên Câu 2 Giải các phương trình sau a b Câu 3 ( 6,0 điểm) a Xác định đa thức bậc bốn biết và với b Tìm nguyên dương thỏa mãn c Cho các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng Câu 4 1 Cho tam giác vuông tại ,[.]

PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP

KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN 9

Câu 1. (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

1. A 4 10 2 5  4 10 2 5

2 Cho biểu thức

P

a Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn

P

b Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Câu 2 Giải các phương trình sau :

a 5 2019 2021 1 

2

x  y  z  x y z 

b 3x212x21 5x220x24 2x28x3

Câu 3 ( 6,0 điểm)

a Xác định đa thức bậc bốn f x  biết: f  0  1 và

   1  1 2  1

f x  f x x x x với x ¡ .

b Tìm x y, nguyên dương x y thỏa mãn x3  7y y 3  7x

c Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng:

2

a b c b c a c a b 

Câu 4.

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC, AD là

đường phân giác Gọi HM , HN là đường phân giác của tam giác HAB,

HAC

a Chứng minh DM AC// và ADMB

b GọiAP AQ, là đường phân giác của tam giác AHB, AHC Chứng minh rằng: PQ2 2PB CQ.

2 Cho tam giác đều ABC, đường cao AH Lấy điểm M nằm giữa B

và C, vẽ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E

Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích MDE lớn nhất

Câu 5 ( 1,0 điểm)

Bảy người câu được 100 con cá Biết rằng không có hai

người nào câu được số cá như nhau Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá

HẾT

ĐÁP ÁN

KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỲ HỢP VÒNG 1

NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN 9

Câu 1 Rút gọn biểu thức

1 A 4 10 2 5  4 10 2 5

2 Cho biểu thức

P

a.Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P

b. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Lời giải

1. Ta có: A 0 A2   8 2 4  10 2 5 4    10 2 5     8 2 6 2 5 

2 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1

A

 A 5 1  (vì A 0)

2. Cho biểu thức

P

a Để biểu thức P có nghĩa

9

2 0

4

3 10 8 0

x

x x

x



 





Vậy

16 0; ; 4 9

x x x

thì P có nghĩa

Rút gọn:

           

P

2 8 8 6 4 16 13 20

2 3 4

P

       



        

2

P

x



b Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Ta có:

1

x P



  với

16 0; ; 4 9

x x x

Đề P nguyên

3

2 x



 nguyên 3 2 M  x, vì x¢ nên 2  x U (3)

2 x 1; 3

       2 x  1; 1; 3 vì 2 x 2

1;3;5

x

   x 1;9; 25 thoả mãn

Vậy x1;9;25 thì P nguyên

Câu 3 Giải các phương trình sau :

a 5 2019 2021 1 

2

x  y  z  x y z 

b 3x212x21 5x220x24 2x28x3

Lời giải

a.ĐKXĐ: x5;y2019;z 2021

Phương trình (1) 2 x 5 2 y2019 2 z2021  x y z

5 2 5 1 2019 2 2019 1 2021 2 2021 1 0

Vì  2  2  2

5 1 0; 2019 1 0; 2021 1 0

x   y   z   5; 2019; 2021

Dấu " "  xảy ra khi

2019 1 0 2020

2020

2021 1 0

z x

     

      



Vậy x6;y2020;z 2020.

a 3x212x21 5x220x24 2x28x3 (2)

Lời giải:

Ta có: 2  2

3x  12x 21 3  x 2   9 0 và 2  2

5x  20x 24 5  x 2   4 0

Đặt a 3x212x21;b 5x220x24 ĐK: a0;b0

a   b x  x

Phương trình (2) có dạng a b a  2b2

a b a b  1 0

    

1 0

a b

    vì a b  0

Với a b   1 0   a b 1 mà a2  b2 2x2  8x 3    a b 2x2   8x 3

a x x

    

Ta có phương trình: 3x212x21  x2 4x1

Xét vế trái: 2  2

3x  12x 21  3 x 2   9 9 3 

Và vế phải: 2  2

       

Dấu " "  xảy ra khi x  2 0  x 2 (thoả mãn)

Vậy phương trình (2) có nghiệm x 2

Câu 3 ( 6,0 điểm)

a Xác định đa thức bậc bốn f x  biết: f  0  1 và

   1  1 2  1

f x  f x x x x với

x ¡ .

b Tìm x y, nguyên dương x y thỏa mãn x3  7y y3  7x

c Cho các số dương a b c, , thỏa mãn abc 1

Chứng minh rằng: 2  2  2 

2

a b c b c a c a b 

Lời giải

a) Gọi đa thức bậc bốn f x có dạng:

   4  3  2    , , , ,  ;  0

f x ax bx cx dx e a b c d e ¡ a

Ta có: f  0    1 e 1

  4 3 2

f x ax bx cx dx e

   4  3  2  

f x a x b x c x d x e

f x  f x ax a x bx b x cx c x dx d x 

      1 4 3  3 22   4   3 2    

f x f x ax x a b x a b c a b c d

Mà f x   f x   1 x x  1 2  x  1 2x3  3x2 x

1

2 0

1

a a

a b c

c

a b c d

d

 









  

     



 



f x ax bx cx dx e x x x x

b) x37y y3 7x

x y x   2 xyy2  7x y 

7 0

x y x xy y  

 

0

x y L

x y

 

 



           

Do x y,  ¢

x xy y   x y

Nếu x 2 22 2y y 2  7 y2 2y 3 y2 2y 3 0

       

y 1 y 1 2 0

 

1

1 0

3

3 0

y y

y





 



       

Tương tự nếu x 1 thì y  2

Vậy có các cặp nghiệm thỏa mãn      x y,  2;1 , 1;2  .

c) Đặt

.

Ta có: 2 

y z

a b c 



z x

b c a 



x y

c a b 





y z z x x y

a b c b c a c a b   

3

x y z x y z x y z x y z

y z z x x y y z z x x y

x y z x y z x y z

x y z

2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số x y  , y z  , z x :

y z z x x y

3 x y y z z x .3.

x y y z z x

3 9 3

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 4.

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC, AD là

đường phân giác Gọi HM , HN là đường phân giác của tam giác HAB,

HAC

a Chứng minh DM AC// và ADMB

b GọiAP AQ, là đường phân giác của tam giác AHB, AHC Chứng minh rằng: PQ2 2PB CQ.

2 Cho tam giác đều ABC, đường cao AH Lấy điểm M nằm giữa B

và C, vẽ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E Tìm vị trí của điểm M trên BC để diện tích MDE lớn nhất

Lời giải

a) Chứng minh MD ACP

Áp dụng tính chất tia phân giác AD HM, tương ứng của tam giác

,

ABC AHB

  ta có

DC  AC MC  HA

(1) Xét ABC HBA, có

0

90







Suy ra ABC HBA g g .  DB MB

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

DC  MC

Theo định lí Ta-lét đảo ta có MD ACP .

*Chứng minh AD MN

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có DN ABP

Tứ giác AMDNcó

MD AC

DN AB







P

P nên AMDN là hình bình hành

Lại có ADlà phân giác ·MANnên AMDNlà hình thoi Hơn nữa, MAN·  90 0

khi đó AMDN là hình vuông Vậy AD MN (ĐPCM).

b) Chứng minh PQ2 2PB CQ.

Ta có CAP PAH HAC· · · và CPA PAB PBA·  · · (góc ngoài)

Mà PAH· PAB HAC PBA· ,·  · do đó CAP CPA· ·  CAP cân ở CCA CP Tương

tự BA BQ

Khi đó PQ AB AC BC BP BC AC CQ BC AB  ;   ;  

Suy ra

   

2

BP CQ BC AC BC AB

BC BC AB AC AB AC

2 2

2

BC AB AC BC AB AC AB AC

BC BC AB AC AB AC

2

AB AC BC PQ



Vậy PQ2 2PB CQ. .

2)

Đặt ABAC BC a AH , h Nhận xét a h, là các đại lượng không đổi

S

MD AB ME AC a

a

(1)

Hơn nữa

2

ABC ABC

S

AH BC ah

a

(2)

Từ (1) và (2) suy ra MD ME h 

Hạ EK DM , ta có

1 2

MDE

Mà EK ME sinEMK· và EMK CMK CME DMB CME· · · · ·  (90 0 µB) (90  0 Cµ) 60  0

Do đó

0

.sin 60

MDE

Áp dụng bất đẳng thức

.

Khi đó

2

MDE

(không đổi) Dấu ‘’=’’ xảy ra MD ME M là trung điểm của BC

Vậy giá trị lớn nhất của S MDE là

2

3 8

h

(đvdt) khi M là trung điểm của

BC

Câu 5 Bảy người câu được 100 con cá Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá

Lời giải

Cách 1:

Gọi a i ¥*,i 1, ,7, là số con cá mỗi người câu được

Giả sử a1    a2 a3 L a7

 Trường hợp 1: a4  14

Khi đó, a1        a2 a3 a4 14 13 12 11 50 Suy ra a5  a6 a7 50.

 Trường hợp 2: a4  14

Khi đó, a5      a6 a7 16 17 18 51.

Vậy, a5   a6 a7 50.

Cách 2:

Ta sắp xếp các người câu cá theo thứ tự để số cá câu được của họ giảm dần Như thế người thứ nhất câu được nhiều cá nhất và người thứ bảy câu được ít cá nhất

Nếu người thứ tư câu được không ít hơn 15 con cá, thì ba người đầu câu được không ít hơn 16 17 18 51    con cá.

Nếu người thứ tư câu được 14 con cá hoặc ít hơn thì cả bốn người sau câu được không quá 14 13 12 11 50     con Như vậy

ba người đầu câu được không ít hơn 50 con

Vậy ba người đầu luôn câu được tổng cộng không dưới 50 con cá