Tài liệu Bài tập phương trình lượng giác ppt

Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng 2 sin u+α; 2 cos u+β ta thường làm như sau: - Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của cos góc nhân

I BI ẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Thí d ụ 1 2(sin3xcos3x+cos3xsin 3 )x = 3 sin 2 2 x ( ,

2

x=kπ

,

x= +π mπ

, )

k m∈ 

= ± + k∈ )

Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng 2

sin (u+α); 2

cos (u+β) ta thường làm như sau:

- Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của cos góc nhân đôi

- Sử dụng công thức biến tổng thành tích để rút gọn và quy về phương trình cơ bản hoặc đơn giản hơn

cos x−sin x=cos x−sin x=cos 2 x

Thí d ụ 3 2(cos2x+sin 3 ) 5(cos3x + x−sin 2 )x = 0 ( 2 ,

2

x= − +π k π 2 3 2

,

x= − α + π +m π

, )

k m∈  2

29

29

Lưu ý: Giải PT (sina u+cos )v +b(sinv+cos )u = bằng cách đặt 0

2a 2 cos ;

a b

α

=

a b

α

= +

2 2 0,

a +b ≠ đưa về dạng sin(u+α) cos(+ v−α)= 0

(A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 )π của phương trình

5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x

+

5

x =π x = π

x

x

= + k∈  )

(A-2009) (1 2sin ) cos 3

(1 2sin )(1 sin )

2

x= −π +k π

)

k∈ 

(B-2003) cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

3

x= ± +π kπ

)

k∈ 

5sinx− =2 3(1 sin ) tan− x x ( 2 ,

6

x= +π k π 5

2 , 6

x= π +m π

, )

k m∈ 

(B-2006) cot sin 1 tan tan 4

2

x

x+ x + x =

12

x= π +mπ

, )

k m∈ 

(B-2009) sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2(cos 4x+sin3x) ( 2 ,

6

x= − +π k π 2

,

x= π +m π

, )

k m∈ 

(D-2002) Tìm x thuộc đoạn [0;14 nghi] ệm đúng của phương trình:

cos3x−4cos 2x+3cosx− = 4 0 ( ,

2

x=π 3

, 2

x= π 5

, 2

x= π 7

)

2

x= π

x+ x+ x−π   x−π − =

= + k∈  )

(D-2007)

2

sin cos 3 cos 2

x

6

x= − +π m π

, )

k m∈ 

(D-2009) 3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx= 0 ( ,

18 3

x= π +kπ

,

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(D-2010) sin 2x−cos 2x+3sinx−cosx− = 1 0 ( 2 ,

6

x= +π k π 5

2 , 6

x= π +m π

, )

k m∈ 

II ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA

Thí dụ 4 Chứng minh rằng nếu cả ba góc của tam giác ABC cùng là nghiệm của phương trình sau thì ABC là

tam giác đều: tanx+2sin 2x=2 3

Lưu ý: Nếu trong phương trình có tana u+bf(2 )u + = trong đó f là một trong các hàm số sin, cos, tan, cot, c 0 thì đặt t=tanu và biến đổi phương trình theo công thức sin 2 2 2;

1

t u t

= +

2 2

1

1

t u t

−

=

2 tan 2

1

t u t

=

− về phương trình bậc 2 hoặc 3 đối với t

1 sin cos sin 2

2

2

x= − +π k π

2 ,

x= +π m π k m, ∈ )

Lưu ý: Nếu đặt t=sinx+cosx thì 2

sin 2x= −t 1;sin cos 2 1

2

t

x x= −

Nếu đặt t=sinx−cosx thì sin 2x= −1 t2;sin cos 1 2

2

t

x x= − Trong cả 2 trường hợp, NHẤT THIẾT phải đặt và thử lại điều kiện t ≤ 2

sin sin 2x x+sin 3x=6cos x (x=arctan 2+kπ, ,

3

x= ± +π mπ

, )

k m∈ 

Lưu ý: Nếu trong PT chỉ có các số hạng bậc nhất và bậc ba đối với sin x và cos , x ta có thể chia hai vế của phương trình cho 3

cos x hoặc 3

sin x để đưa PT đã cho về PT bậc ba của tan x hoặc cot x

Thí d ụ 7 Giải phương trình: sin sin 2 1

sin 3

x

2

x= +π kπ

)

k∈ 

Lưu ý: Công thức

sin 3 sin (2cos 1)(2cos 1) 4sin sin sin

x= x x+ x− = x π +x π −x

cos3 cos (1 2sin )(1 2sin ) 4cos cos cos

x= x − x + x = x π +x π −x

Thí d ụ 8 2 sin 2 cos 3sin 2 0

4

6

x= π +m π

2 ,

2 n

− + π+p2 ,π

, , , )

k m n p∈ 

Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng: asin2x+bsinx+c; 2

cos cos

a x b+ x c+ thì lưu ý cách phân tích thành tích: 2

at + + =bt c a t−t t−t

Thí d ụ 9 2sinx+3cosx+2 tanx+3cotx+ = 5 0 ( arccos 1 1 2 ,

x= ±π  − +k π

3 arctan , 2

x= − +mπ

, )

k m∈ 

Lưu ý: Các hệ thức hay dùng:

(sin tan 1) (cos cot 1) (sin cos sin cos ) ;

cos sin

(tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos )

cos sin

2

x=kπ

)

k∈ 

(A-2006)

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x

−

5

4

x= π + kπ

)

k∈ 

(1 sin+ x) cosx+ +(1 cos x)sinx= +1 sin 2 x ( ,

4

x= − +π kπ

2 , 2

x= +π m π

2 ,

x= p π , ,k m p∈  )

3

sin

2

x x

x

π

4

x= − +π kπ

, 8

x= − +π mπ 5

, 8

x= π + pπ

, , )

k m p∈ 

(A-2010)

(1 sin cos 2 )sin

1 4

cos

x x

π

6

x= π +m π

k m∈ 

(A-2011) 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x

4

x= +π m π

k m∈ 

sin 3x−cos 4x=sin 5x−cos 6 x ( ,

9

k

x= π

, 2

m

x= π

, )

k m∈ 

(B-2005) 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x= 0 ( ,

4

x= − +π kπ 2

2 , 3

x= ± π +m π

, )

k m∈ 

(B-2007) 2

x= +π kπ 5 2

,

x= π +m π

, )

k m∈ 

sin x− 3 cos x=sin cosx x− 3 sin xcos x ( ,

k

x= +π π

, 3

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(B-2010) (sin 2x+cos 2 ) cosx x+2cos 2x−sinx= 0 ( ,

x= +π kπ

)

k∈ 

(B-2011) sin 2 cosx x+sin cosx x=cos 2x+sinx+cos x ( 2 ,

2

x= +π k π 2

,

x= +π m π

, )

k m∈ 

x

π

4

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(D-2004) (2cosx−1)(2sinx+cos )x =sin 2x−sin x ( 2 ,

3

x= ± +π k π

, 4

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(D-2006) cos3x+cos 2x−cosx− = 1 0 (x=kπ, 2 2 ,

3

x= ± π +m π

, )

k m∈ 

(D-2008) 2sin (1 cos 2 ) sin 2x + x + x= +1 2cos x ( 2 2 ,

3

x= ± π +k π

, 4

x= +π mπ

, )

k m∈ 

(D-2011) sin 2 2cos sin 1 0

x

= + k∈ )

IV ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

(cos 4x−cos 2 )x = +5 sin 3 x ( 2 ,

2

x= +π k π

)

k∈ 

Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng: sinx ≤1; cosx ≤1; 2 2

a x b+ x ≤ a +b

Nếu ,m n là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì 2 2

sinm x±cosn x≤sin x+cos x= 1

(A-2004) Cho ∆ ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos2A+2 2 cosB+2 2 cosC =3.(A=90 , B= =C 45 )

I BI ẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

(A-2005) cos 3 cos 22 x x−cos2x= 0 ( ,

2

x=kπ

)

k∈ 

(A-2006)

6 6

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x

−

5

4

x= π + kπ

)

k∈ 

Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng 2

sin (u+α); 2

cos (u+β) ta thường làm như sau:

- Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của cos góc nhân đôi

- Sử dụng công thức biến tổng thành tích để rút gọn và quy về phương trình cơ bản hoặc đơn giản hơn

cos x−sin x=cos x−sin x=cos 2 x

Thí d ụ 1 2(cos2x+sin 3 ) 5(cos3x + x−sin 2 )x = 0 ( 2 ,

2

x= − +π k π 2 3 2

,

x= − α + π +m π

, )

k m∈  2

29

29

Lưu ý: Giải PT (sina u+cos )v +b(sinv+cos )u = bằng cách đặt 0

2a 2 cos ;

a b

α

=

a b

α

= +

0,

a +b ≠ đưa về dạng sin(u+α) cos(+ v−α)= 0

sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2(cos 4x+sin x) ( 2 ,

6

x= − +π k π 2

,

x= π +m π

, )

k m∈ 

(A-2009) (1 2sin ) cos 3

(1 2sin )(1 sin )

2

x= −π +k π

)

k∈ 

(A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 )π của phương trình

5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x

+

5

x =π x = π

x

x

= + k∈  )

(B-2003) cot tan 4sin 2 2

sin 2

x

3

x= ± +π kπ

)

k∈ 

(B-2004) 5sinx− =2 3(1 sin ) tan− x 2x ( 2 ,

6

x= +π k π 5

2 , 6

x= π +m π

, )

k m∈ 

(B-2006) cot sin 1 tan tan 4

2

x

x+ x + x =

12

x= π +mπ

k m∈ 

(D-2002) Tìm xthuộc đoạn [0;14 nghiệm đúng của phương trình: ]

cos3x−4cos 2x+3cosx− = 4 0 ( ,

2

x=π 3

, 2

x= π 5

, 2

x= π 7

)

2

x= π

(D-2005) cos4 sin4 cos sin 3 3 0

x+ x+ x−π   x−π − =

= + k∈  )

(D-2007)

2

sin cos 3 cos 2

x

6

x= − +π m π

, )

k m∈ 

(D-2009) 3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx= 0 ( ,

18 3

x= π +kπ

,

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(D-2010) sin 2x−cos 2x+3sinx−cosx− = 1 0 ( 2 ,

6

x= +π k π 5

2 , 6

x= π +m π

, )

k m∈ 

II ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA

(DB2-D2007) (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan − x + x = + x ( , , )

4

x= πk x π k k

= − + π ∈ 

Thí dụ 2 Chứng minh rằng nếu cả ba góc của tam giác ABC cùng là nghiệm của phương trình sau thì ABC là

tam giác đều: tanx+2sin 2x=2 3

Lưu ý: Nếu trong phương trình có tana u+bf(2 )u + = trong đó f là một trong các hàm số sin, cos, tan, cot, c 0 thì đặt t=tanu và biến đổi phương trình theo công thức sin 2 2 2;

1

t u t

= +

2 2

1

1

t u t

−

=

2 tan 2

1

t u t

=

− về phương trình bậc 2 hoặc 3 đối với t

1 sin cos sin 2

2

2

x= − +π k π

2 ,

x= +π m π k m, ∈ )

Lưu ý: Nếu đặt t=sinx+cosx thì 2

sin 2x= −t 1;sin cos 2 1

2

t

x x= −

Nếu đặt t=sinx−cosx thì 2

sin 2x= −1 t ;sin cos 1 2

2

t

x x= − Trong cả 2 trường hợp, NHẤT THIẾT phải đặt và thử lại điều kiện t ≤ 2

sin sin 2x x+sin 3x=6cos x (x=arctan 2+kπ, ,

3

x= ± +π mπ

, )

k m∈ 

Lưu ý: Nếu trong PT chỉ có các số hạng bậc nhất và bậc ba đối với sin x và cos , x ta có thể chia hai vế của phương trình cho cos x hoặc 3 sin x để đưa PT đã cho về PT bậc ba của tan x hoặc cot 3 x

Thí d ụ 5 Giải phương trình: sin sin 2 1

sin 3

x

2

x= +π kπ

)

k∈ 

Lưu ý: Công thức

sin 3 sin (2cos 1)(2cos 1) 4sin sin sin

x= x x+ x− = x π +x π −x

cos3 cos (1 2sin )(1 2sin ) 4cos cos cos

x= x − x + x = x π +x π −x

Thí d ụ 6 2 sin 2 cos 3sin 2 0

4

6

x= π +m π

2 ,

2 n

− + π + p2 ,π

, , , )

k m n p∈ 

Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng: 2

a x+b x+c 2

cos cos

a x b+ x c+ thì lưu ý cách phân tích thành tích: 2

1 2

at + + =bt c a t−t t−t

Thí d ụ 7 2sinx+3cosx+2 tanx+3cotx+ = 5 0 ( arccos 1 1 2 ,

x= ±π  − +k π

3 arctan , 2

x= − +mπ

, )

k m∈ 

Lưu ý: Các hệ thức hay dùng:

(sin tan 1) (cos cot 1) (sin cos sin cos ) ;

cos sin

(tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos )

cos sin

(A-2007) 2 2

(1 sin+ x) cosx+ +(1 cos x)sinx= +1 sin 2 x ( ,

4

x= − +π kπ

2 , 2

x= +π m π

2 ,

x= p π , ,k m p∈  )

x

π

4

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(A-2011) 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x

4

x= +π m π

, )

k m∈ 

3

sin

2

x x

x

π

4

x= − +π kπ

, 8

x= − +π mπ 5

, 8

x= π + pπ

, , )

k m p∈ 

(A-2010)

(1 sin cos 2 )sin

1 4

cos

x x

π

6

x= π +m π

k m∈ 

sin 3x−cos 4x=sin 5x−cos 6 x ( ,

9

k

x= π

, 2

m

x= π

, )

k m∈ 

(B-2005) 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x= 0 ( ,

4

x= − +π kπ 2

2 , 3

x= ± π +m π

k m∈ 

(B-2007) 2sin 22 x+sin 7x− =1 sin x ( ,

x= +π kπ 5 2

,

x= π +m π

, )

k m∈ 

sin x− 3 cos x=sin cosx x− 3 sin xcos x ( ,

k

x= +π π

, 3

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(B-2010) (sin 2x+cos 2 ) cosx x+2cos 2x−sinx= 0 ( ,

x= +π kπ

)

k∈ 

(B-2011) sin 2 cosx x+sin cosx x=cos 2x+sinx+cos x ( 2 ,

2

x= +π k π 2

,

x= +π m π

, )

k m∈ 

(D-2004) (2cosx−1)(2sinx+cos )x =sin 2x−sin x ( 2 ,

3

x= ± +π k π

, 4

x= − +π mπ

, )

k m∈ 

(D-2006) cos3x+cos 2x−cosx− = 1 0 (x=kπ, 2 2 ,

3

x= ± π +m π

, )

k m∈ 

(D-2008) 2sin (1 cos 2 ) sin 2x + x + x= +1 2cos x ( 2 2 ,

3

x= ± π +k π

, 4

x= +π mπ

, )

k m∈ 

(D-2011) sin 2 2cos sin 1 0

x

= + k∈ )

IV ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

(cos 4x−cos 2 )x = +5 sin 3 x ( 2 ,

2

x= +π k π

)

k∈ 

Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng: sinx ≤1; cosx ≤1; 2 2

a x b+ x ≤ a +b

Nếu ,m n là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì 2 2

sinm x±cosn x≤sin x+cos x= 1

(A-2004) Cho ∆ ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos2A+2 2 cosB+2 2 cosC= (3 A=90 , B= =C 45 )

(DB1-D2008) ( 4 4 )

4 sin x+cos x +cos 4x+sin 2x= 0 ( , )

4

x π k k

= − + π ∈ 

(DB1-D2007) 2 2 sin cos 1.

12

= + π = + π ∈ 

(DB2-D2006) 4sin3x+4sin2x+3sin 2 + cosx x= 0 ( 2 , 2 2 , )

x= +π k π x= ± π+k k

π ∈ 

x= − + ππ k x=k π x= − +π k k

π ∈ 

2

cos 2 1

x

x

π

= − + π ∈ 

sin cos 2x x+cos x(tan x− +1) 2sin x= 0 ( 2 , 5 2 , )

x= +π k π x= π+k k

π ∈ 

(DB2-D2004) sinx+sin 2x= 3(cosx+cos 2 ).x ( 2 2 , 2 , )

x= π+k π x= −π −k k

π ∈ 

(DB1-D2004) 2sin cos 2x x+sin 2 cosx x=sin 4 cos x x ( , , )

3

x= πk x π k k

= ± + π ∈ 

(DB2-D2003) cot tan 2cos 4

sin 2

x

x

3

= ± + π ∈ 

(DB1-D2003)

2

cos (cos 1)

2(1 sin )

sin cos

x

π

= − + π = π + π ∈ 

(DB2-D2002) Xác định m để phương trình 4 4

2(sin x+cos x)+cos 4x+2sin 2x− = có ít nhất một nghiệm thuộc m 0 đoạn 0;

2

π

 

 

 

(DB1-D2002) 12 sin

x= +π k π x= π+k π x= π+k π x= π+k k

π ∈ 

(DB2-B2010) cos 2 cos 2 sin2 (cos 2 1) 1

với ;

4 4

x∈ − π π

3sin cos 2 sin 2 4sin cos

2

x

x+ x+ x= x

(DB1-B2008) 2sin sin 2 1

 + −  − =

= + π = − + π ∈ 

(DB2-B2007) sin 2 cos 2 tan cot

cos sin

3

x= ± +π k k

π ∈ 

(DB1-B2007) sin 5 cos 2 cos3

 − −  − =

= + π = + π = π + π ∈ 

(DB2-B2006) cos 2x+ +(1 2cos )(sinx x−cos )x = 0 ( , 2 , 2 , )

x= + ππ k x= +π k π x= π +k k

π ∈ 

(2sin x−1) tan 2x+3(2cos x− = 1) 0 ( , )

x= ± +π kπ k

∈ 

(DB2-B2005) Tìm nghiệm trên khoảng (0; )π của phương trình

x

(DB1-B2005) sin 2x+cos 2x+3sinx−cosx− = 2 0 2 , 2 , 2 , 5 2 ,

x= π +k π x π k k

= + π ∈ 

(DB1-B2004) 2 2 cos 1 1

4 sin cos

x

π

π

= ± + π ∈ 

(DB2-B2003) ( ) 2

2 3 cos 2sin

2 4

1

2cos 1

x x

x

π

π

= + + π ∈ 

3cos 4x−8cos x+2cos x+ = 3 0 ( , , )

x= +π kπ x k k

= π ∈ 

(DB2-B2002)

4 4

x

6

x π k k

= ± + π ∈ 

(DB1-B2002)

2 4

4

(2 sin 2 )sin 3

cos

x

x

−

x= π +k π x= π+k π k

∈ 

 − =  − +

= + π = ± + π ∈ 

x= +π kπ x= − +π kπ k

∈ 

(DB2-A2007) 2cos2x+2 3 sin cosx x+ =1 3(sinx+ 3 cos ).x ( 2 , )

3

x= π k k

+ π ∈ 

(DB1-A2007) sin 2 sin 1 1 2cot 2

2sin sin 2

x= +π kπ k

∈ 

(DB2-A2006) 2sin 2 4sin 1 0

6

7

6

x= πk x= π+k k

π ∈ 