TRÀ 1e THPT Val RING " GIAI PHUONG TRINH LUONG GIAC NGUYEN MINH NHIEN GV THPT Quế Võ số 1, Bốc Ninh rong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây, đa số c
Trang 1
TRÀ 1e THPT
Val RING "
GIAI PHUONG TRINH LUONG GIAC
NGUYEN MINH NHIEN
(GV THPT Quế Võ số 1, Bốc Ninh)
rong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,
Cao đẳng những năm gần đây, đa số
các bài toán về giải phương trình lượng
giác đều rơi vào một trong hai dạng: Phương
trình đưa về dạng tích hoặc phương trình chứa
ấn ở máu Nhằm giúp các bạn ôn thi có kết quả
tốt, chúng tôi xin giới thiệu một số kĩ năng
quan trọng để giải các dạng toán đó,
IL PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
1) Sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác : công thức biến đổi tích thành tổng,
tổng thành tích, công thức hạ bậc,
* Thí dụ 1 G¿¿¡ phương trình
sinv+sin2v+sin3x+sin4x+sinŠt+sin6x = Ô (1)
Lời giải
PT (1) © (sin6x+sin x) +(sin 5x+sin2x}
+(sin 4x + sin 3x) = 0
x› “SỰ 5x x 3x
<> 2sin—| | cos—-+cos— |+cos— |=0
Giải các PT sin— =0 : eos— =0; 2cosx+l =0
ta được các họ nghiệm của PT ( 1) la x= =:
- kưu ý Khi nhóm các số hạng chứa sin (hoặc côsin) của các góc với nhau, cần để ý đến
những góc sao cho tông hoặc hiệu các góc đó
bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung _ *Thí dụ 2 Giải phương trình
(2)
cos3xcos3x—sin3xsin3 x= 243V2
8
Loi giải PT (2) tương đương với
2 cos*x (cos4x+cos2x} —_sih x(cos2x —cos4x)
_2+3\2
8
c cos4x(cos?x+sin? x)+cos2x(cos?x—sin? x)
_ 2432
4
<> cos4x +cos“2x =
4
> 4cos4x + 2(1+cos4x) =2+ 342
*Lưu ý Việc khéo léo sử dung công thức biến
đổi tích thành tổng có thể giúp ta tránh được
việc sử dụng công thức lượng giác góc nhân ba
* Thí dụ 3 Giải phương trình
2cos? [§-2)-/a cos4x=4cos2x-l (3) Lời giải
<> sin4x+ \3cos4x = 2(2cos?x — 1)
& Lind-+ Gây =omôn
= cos 4-5 =cos2x PT cé cac ho nghiém
2) Sử dụng một số biến đổi khác
Để đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân
tử chung nhanh nhất Sau đây là một số công
thức biến đốt có thể giúp ta làm được điều đó.
Trang 2
*) sin’ x = (1 — cosr}(1 + cos.x);
cos*x = (1 - sinx)({l + sinx):
COS2v = (COSY — SiFLX)(COS.x + SÍInX}:
*) 1 + sin2x = (sinx + cosxy;
1 — sin2v = (sinv — cosxv)°;
sinx+cosx _
cCosx
; 7L E
+ V2sin( x+ 5 ]>sinx+eosx:
*) 1 + cos2x« + sin2vx = 2cosx(sinx + cosx):
*) 1 — cos2x + sin2* = 2sinx{siny + cosx)
*& Thi du 4 Gidi phuong trinh
2sin x{1+cos2x}+sin2x=1+2cosx (4)
Lời giải
PT (4) = 2sinx.2cos?x+2sinxcosx =1+2cosx
= (2cosx+1)(2sinxcosx—1)=0
Phan con lai danh cho ban doc
* Thi du 5 Gidi phuwong trinh
cos2x+ 3sin2x+7+5sinx—3cosx=3 (5)
Loi giai PT (Š) tương đương vỚi
(6sin xcosx—3cosx)—(2sin? x—Ssinx+2)=0
<> 3cosx(2sinx—1)—(2sinx—I1)(sinx—2)=0
<S= (2sinx—l)(3cosx—sinx+2)=Q
Phương trình này tương đương với hai PL cơ
bản Cxin đành cho bạn đọc giải tiếp)
II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Voi loai phitong trinh nay khi gidi néte khong
can than rat dé dan dén tay thita hodc thiéu
nghiệm Tiểu quan trọng đâu tién dé giai
dang nay là đặt điểu kiện và kiểm tra diéu
kiện vác dink Théng thường ta hay ding
cđuường tròn lượng giác để loại nghiệm Ngoài
ra , ta citing gdp nhiéu PT chita tan, cot Khi
ch €6 thé st’ dung m6t sO c6ng thitc sau
sin(a+b) | cosz.cosðj ` sintSta) | cosa.cosbh `
*)} tana + tanb =
*) cota + cotb =
cos(a—h
*) tana + cot = Sorta o)
cosa.sind
—cos(at+b
*) tana COLỞ = poste :
cosa.sinh
) tana + cota = ——;
sin2a
*) cota — tang = 2cot2a:
cos(a—b) |
*) 1 + tana.tand’ =
COS.COSỬở
—cos(a+b)
*) | — tane.tand =
cosa.cosh
Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng
công thức
*& Thi du 6 Gidi phiong trinh
2cos4x
cot x = tan x + ————— (6)
sin 2x
Loi gidi DK : sin 2x «Oop xk eZ
s4
PT(6) <> cotxT— tan x = _
sin2x 2cos2x Xe 2cos4x
sin 2x sin 2x
<> cos4x = cos2x <> x =nat hoặc x= => mez
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm x= + +mzr.Gm c Zz)
%& Thi du 7 Gidi phuong trinh
4cos3x-+2cos”x(2sinx—])—sin2x—2(sinx+cosx)
2sir? x—1 Loi gidi DK : 2sin? x—1+O<>cos2x #0
7.0 Oke
hz ay ee #—+—, (kK Se c2 €Z)
PT(7) <> 4cos?x(sinx+cos.x) —2cos.x{sinx+cosx)
— 2(sinx+cosx)=0
<> 2(sinx +cosx)(cosx—1}(2cosx +1) =0
- ris =
"Từ đó tìm được x = oe + 717C , hOặc x = 20?17r, hoặc x = + 2mn (meZ)}
tối chiếu điều kiện ta được nghiệm
x= anim (mm © Z)
*& Thi du 8 Gidi phuong trinh
z=
3tan 3x + cot 2x = 2tan x + ————— (8)
sin 4x
Loi giải
DK : cos3x ~ O, sin2x = 0, cosx + 0, sin4x +90
' ˆ kí An
hay = x +*—+— va x#—, BE 3 a 4 (FEZ ) (*)
PT (8) tương đương với
2 2{ tan ( tan 3x— tan x) 3x —t +{ tan 3x + COt 2x} —————— { ) _ 2sin 2x COS x _ 2
<> 4sin4xsinx+2cos2xcosx= 2cos3x
sin 4x
<> 4sin4xsinx+cos3x+cosx =2co0s3x
<> 4sin4xsinx=cos3x—cosx
<>8sin2xcos2xsinx——2sin2xsinx (do DK (*)) cos2x=——
4 Ban đọc tiếp tục hoàn thành nốt bài giải
Để kết thúc bài báo, rnời các bạn hãy giải
một số bài tập sau
Giai cac phitong trinh:
1 cos3.x + cos2.x — cosx« — | = QO:
2.(1 - tanv)(l1 + sin2x} = 1 + tanx
1 i
3 sin2.x« + sin x — ———— — ———_ = 2cot2x:
sin2d« 2sinx
1 _ v2 (cosx — sin x) -
7 cotx—1 ì
tan x + COt 2x
= : z 1
5 cosxCos2 xcos3x + sin xsin 2.vsin 3v — 5 `
6 sin* x —cos*x =cos2x1an, x + 5 tan | x —
7C Xx 7