Phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức

PhÇn mét ®Æt vÊn ®Ò Tailieumontoan com  Lưu Lý Tưởng PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phú Thọ, tháng 9 năm 2019 Website tailieumontoan com PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lưu Lý Tưởng – Giáo viên trường THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ Số điện thoại 01672535595 Gmail luutuongvl1984@gmail com Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời là rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội và khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa[.]

Tailieumontoan.com



Lưu Lý Tưởng

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phú Thọ, tháng 9 năm 2019

Website: tailieumontoan.com

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Lưu Lý Tưởng – Giáo viên trường THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ

Số điện thoại: 01672535595 Gmail: luutuongvl1984@gmail.com

Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời là rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội và khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào

đó Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy, đôi khi bạn không thể hiểu được vì sao người ta lại tìm ra một lời giải trông có vẻ “ kì cục” như thế Phải chăng là lần mò và may rủi mới tìm ra được? Câu trả lời là mỗi lời giải đều có sự giải thích riêng của bản thân nó Để thấy được tính hiệu quả của phương pháp này chúng ta cùng phân tích hai bài toán sau

1 Phân tích ý tưởng của phương pháp hệ số bất định trong chứng minh bất đẳng thức

B i toán 1.Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng

 2 2 2

2

5 3

a b c

a b c

 

   

Giải

Bất đẳng thức đã cho được viết lại thành

5

a b c

a b c    

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây 12 2 2 7 2  

1

a a

a    Bất đẳng thức trên tương đương với  2 2

2 2

0 3

a a a

a

  

 luôn đúng với mọi số dươnga Tương tự ta có: 12 2 2 7 2  

2

b b

b    ; 12 2 2 7 2  

3

c c

c    Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:

 2 2 2  

a b c a b c

a b c

   

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ra thì ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức

0

a a a a

  

Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với số dương a

Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a b c  3

Như vậy ta sẽ không đi theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau đúng 2 2  

1 2

4 3

a

ma n

a    Trong đó m n, là các hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với các biến b và c ta được

mb n mc n

b    c   

Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có

2

3

a b c

m a b c n m n

a b c

 

        

Như vậy ở đây 2 hệ số m n, phải thỏa mãn điều kiện   5

3

Thế vào (4) dẫn đến 2 2    

1 7

a

m a

a    

Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức ( 7) là đúng

Chú ý đẳng thức xảy ra tại a  b c 1 nên ta cần xác định m sao cho

2        2 

1 2 3

1 2 5

a

Khi cho a1 thì ta có    2 

2

a a a

  

 từ đó ta dự đoán rằng 2

3

m

để tạo thành đại lượng bình phương  2

1

a trong biểu thức Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ

2 2

a a

a   

B i toán 2.Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng

3

a b b c c a

ab a bc b ac c

Giải

Ta đi chứng minh bất đẳng thức

2

5

3

a b

a b

ab a



 

 Thật vậy, dễ dàng chứng minh được 3 3  

a b  ab a b , ta biến đổi tương đương bất đẳng

thức trên như sau:

a b  ab a b  a b  a ab a b  a b a a ab b

3 3    3 3

2

5

3

a b

a b a a b a b a b

ab a



       

 Chứng minh tương tự ta có:

2

5

2 3

b c

b c

bc b

  

 ;

2

5

2 3

c a

c a

ac c

  

 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có:

3

a b b c c a

a b c

ab a bc b ac c

     

Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên ta đi tìm hệ số m n, sao cho bất đẳng thức

2

5 3

a b

ma nb

ab a



 

 đúng, với m n    1 n 1 m.

Ta viết lại bất đẳng thức trên thành

3

3 3

2

5 1

5 1

a

ma t

a a b t t

b b

      





với t a

b



Để ý đến đẳng thức xảy ra tại a b c tức là xảy ra tại t1, khi đó ta cần xác định m sao

cho 5 3 21     5 2 22 1

       

Cho t 1 ta được

2 2

2 3

t t

t t

  

 nên ta chọn m2 và từ đó ta được n 1.

Website: tailieumontoan.com

Lúc này ta đi chứng minh bất đẳng thức

2

5

3

a b

a b

ab a

  

 Chắc chắn khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không biết tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách khó hiểu như vậy Phải chăng dự đoán một cách may mắn hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó Câu trả lời là hoàn toàn không phải Tất cả đều đi theo một quy luật của nó Để làm rõ hơn vấn

đề này chúng ta cùng đi vào tìm hiểu một số bài toán bất đẳng thức giải bằng phương pháp hệ

số bất định trong phần tiếp theo

2 Một số b i toán áp dụng phương pháp hệ số bất định

B i toán 1.Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng

2 1 2 1 2 1 1

a b cb c ac a b

Giải

Ta cần tìm m để bất đẳng thức 2 2    

1 1

3 3 m a

a b c a a   

Ta có    2    

1

3 3

a a

m a

a a



Dự đoán với 1

9

m  thì bất đẳng thức phụ đúng

a a a b c a

Hoàn toàn tương tự ta có: 2 1 4 ; 2 1 4

3 9 9 3 9 9

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

1

3 9

a b c

a b c b c a c a b

 

Bài toán 2 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a3 b3 c33 Chứng minh rằng

1 1 1  2 2 2

4 5 a b c 27

a b c

Giải

Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức

  

        

Ta dễ dàng nhận thấy rằng đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Khi cho a1 thì ta có thể dự đoán m2 Ta sẽ chứng minh rằng khim2thì bất đẳng thức phụ trên là đúng

Thật vậy:  2 2 

4

   

3 2 4 0

Chứng minh tương tự ta được 4 2 3 4 2 3

5b 7 2 ;b 5c 7 2c

b   b   Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

1 1 1  2 2 2  3 3 3

4 5 a b c 21 2 a b c 27

a b c

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Bài toán 3 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2b2c23 Chứng minh rằng

1 1 1 4 

7 3

a b c

a b c

 

   

Giải

Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : 1 4 7  2  1

1

a

m a m

a      Vậy ta phải chứng minh các bất đẳng thức

1 4 7 1  2    2   

1 1 6 0 *

3 3 6

a

Vì a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2b2c23 nên 0a b c; ;  3

Do đó bất đẳng thức (*) đúng

Tương tự ta có: 1 4 7 1  2  1 4 7 1  2 

b    c    Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 4 

7 3

a b c

a b c

 

    Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Bài toán 4 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  3 và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định Chứng minh rằng 2 2 2

a   a b   b c   c

Giải

Điều kiện xác định: 5 1; 5 1; 5 1

Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : 2  

a    a m a Tìm được 3

2

m , tức là ta phải chứng minh 2 3 1  2

2

a

Chứng minh tương tự ta có các bất đẳng thức

2 1 3 1; 2 1 3 1

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

a2  a 1 b2  b 1 c2  c 1 3

Đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Bài toán 5 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2b2c21 Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 3 3

2

a b c

b c c a a b 

  

Giải

Từ giả thiết ta có bất đẳng thức đã cho trở thành: 2 2 2 3 3

1 1 1 2

a  b  c 

Ta chứng minh được các bất đẳng thức sau:

2 3 3 2

1 2

a

a

a 

2 2

3 3

1 2

b

b

b 

2 2

3 3

1 2

c

c

c 

 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 2 2 2 3 3

2

a b c

b c c a a b 

Đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Bài toán 6 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng

Website: tailieumontoan.com

12 12 12 a2 b2 c2

a b c   

Giải

Dự đoán dấu bằng xảy ra tại a  b c 1

Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số a b c, , thuộc khoảng 0;1

3

 , chẳng hạn

0 1

3

a

1 1 1

9 a b c a b c

a b c        nên bài toán được chứng minh Do vậy ta chỉ xét , ,a b c thuộc đoạn 1 7;

3 3

 

 

 

Khi đó ta đi tìm hệ số m để có bất đẳng thức 2  

2

1

1

a m a

a   

Để ý là khi a1 thì đẳng thức luôn xảy ra với mọi m , do đó để chọn được m thì ta lấy giá trị

của a càng gần 1 càng tốt và ta chọn m sao cho đẳng thức gần xảy ra bằng cách đó ta chọn

được m 4 là giá trị tốt nhất

Ta đi chứng minh bất đẳng thức      

2

1 2 1 1

Tương tự ta có các bất đẳng thức 2   2  

b b c c

b     c     Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được 12 12 12 a2 b2 c2

a b c    Đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Bài toán 7 Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a4b4c43 Chứng minh rằng

1 1 1 1

4 ab4 bc4 ca 

  

Giải

Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho bài toán này ngay được vì cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng các biến độc lập với nhau

Áp dụng bất đẳng thức

2

a b

ab 

, khi đó hoàn toàn tương tự ta được

4 ab4 bc4 ca 8 a b 8 b c 8 c a

         Đặt  2 22  2 22  2 22

x a b y b c z c a thì ta được  4 4 4

x  y z a b c  Bất đẳng thức đã cho trở thành: 1 1 1 1

2

8 x 8 y 8 z 

Ta chứng minh bất đẳng thức: 1 1   1

4

Thậy vậy bất đẳng thức tương đương với

     

2 2

4 4

1 1 1

144 6

x

Vì x  y z 12 nên x0;12, do đó bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng

Chứng minh tương tự ta có: 1 1   1 1 1   1

Cộng các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1

2

8 x 8 y 8 z 

   Đẳng thức xảy ra khi x  y z 4 hay a  b c 1

Bài toán 8 Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn a b c d   4 Chứng minh rằng

21 21 21 21 2

1 1 1 1

a b c d 

Giải

Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức: 21 1  

1

1 2 m a

1 2

m

2

1 1

a a a



   

Chứng minh tương tự ta có 21 1 ; 21 1 ; 21 1

1 2 1 2 1 2

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được

21 21 21 21 4 2

1 1 1 1 2

a b c d

  

Dấu bằng xảy ra khi a   b c d 1

Bài toán 9 Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn a2b2 c2 d24

Chứng minh rằng  3 3 3 3 3

2

a   b c d   ab ac adbc bd cd

Giải

a b  c d   a b c d    ab ac ad  bc bd cd

    a b c d 2 2 ab ac ad  bc bd cd

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

 3 3 3 3 3 

2

Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức

3 3 1  2   2  2 1 2

a a

a

  



       



Cho a1 tìm được 9

4

m Mặt khác 3 3 1 9 2     2   2 2 

2 1 1 8 7 0 1 8 7 0

2 2 4

a  a  a   a a  a   a a  

Tương tự ta có 3 3 1 9 2  3 3 1 9 2 

2 2 4 2 2 4

b  b  b  c  c  c  Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được  3 3 3 3 3 

2

Đẳng thức xảy ra khi a   b c d 1

Bài toán 10 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng

3

a ab b b bc c c ca a 

     

Giải

Website: tailieumontoan.com

Ta đi tìm hệ số ,m n sao cho bất đẳng thức

3

3

a

a  abb man b đúng với

1 1

5 5

m n    n m Bất đẳng thức trên được viets lại thành

3

3 3

2

3 1 3

1

ma

m

a

y b

b b

my m b

     

 







3

2 2 2

5

y y

y

   

      

Cho y1 ta được

2 2

y y

m n

y y

    

Từ đó dễ dàng chứng minh các bất đẳng thức

a ab b b bc c

c ac

a a

           

Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có điều chứng minh

Bài toán 11 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng

3

a ab b b bc c c ca a

Giải

2 2

3

a b c abc  

  Do đó ta nghĩ đến việc chứng minh

3 3 3 3 3 3  

2 3

a ab b b b

a

c c c c a

c a

b

 

Ta đi tìm hệ số m n, sao cho bất đẳng thức

a b

a ab b ma nb



    đúng với

m n    n m Tìm được 1

3

m n

Ta phải chứng minh:        

3 2

2 2

1

y y y

y y y y y

 

  

     



BĐT đúng

Suy ra: 2 3 3 2  1 ; 2 3 3 2  2 ; 2 3 3 2  3

a ab b b

bc c c ca a

           

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

3

2

2 2 3

a ab b b bc c c ca a

a b c

abc

 

3 Sự kết hợp giữa đổi biến v phương pháp hệ số bất định

Bài toán 12 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng 3

2

b cc aa b

Đây là bài toán quen thuộc, có rất nhiều cách giải đơn giản hơn, nhưng ở đây tôi muốn

giới thiệu tới các bạn cách sử dụng sự kết hợp giữa đổi biến và hệ số bất định để giải quyết bài

toán

Giải

Đặt x 3a ;y 3b ; z 3c x y z 3

a b c a b c a b c

      , ta có b i tập 1: Cho x y z, , là các

số thực dương thỏa mãn x  y z 3 Chứng minh rằng 3

2

x y z

x y y zz x 

  

Bài tập 1 trên tương đương với b i tập 2: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn

3

a b c   Chứng minh rằng 3

2

a b c

b cc aa b

  

Cách biến đổi từ b i tập 1 sang b i tập 2 như trên gọi là chuẩn hóa

Bài toán quy về việc chứng minh 3

3 3 3 2

a b c 

Ta đi tìm hệ số m n, sao cho bất đẳng thức

3 a a

a

a m 

 luôn đúng

Tìm được 3; 1

m n  3 1

4

a

a a



3 4 3 4

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh

Bài toán 13 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

 

3

a b c

b c a b c a b c a

a b c a b c a b c a b c

 

     

       

Giải

Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a b c  3

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với

2 3 2 2 3 2 2 3 2

a b c

a a b b c c

     

Cần xác định m sao cho :  2  

2 2

2 3 2

1

2 3

a

a m a

a a



  

2

a a

Chứng minh tương tự ta có:

2 2

2 3 2

2 3

b

b b

b b



  

  ;

2 2

2 3 2

2 3

c

c c

c c



  

 

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có điều cần chứng minh

Bài toán 14 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

9 4

a b c

a b c

b c  c a  a b 

 

Giải

Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a b c  3

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

3 4

a b c

a  b  c 

  

Website: tailieumontoan.com

Làm tương tự như các bài toán trên ta có

2 1 4 3

a a

a





 ;  2

2 1 4 3

b b b





 ;  2

2 1 4 3

c c c





 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được

3 4

a b c

a  b  c 

  

Bài toán 15 Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

 

2

b c a a c b a b c

a b c b a c c b a

     

     

Giải

Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a b c  3

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :  

2

a a b b c c

     

Làm tương tự như các bài toán trên ta có

2

2

2

6

a a

a a



  ;

2 2 2

6

b b

b b



  ;

2 2 2

6

c c

c c



 

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta có:

2

a a b b c c

     

Bài toán 16 (Olypic 30-4 năm 2006) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng  

6 5

a b c b c a c a b

b c a c a b a b c

     

Giải

Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a b c  3

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :      

a a b b c c

a a b b c c

      Làm tương tự như các bài toán trên ta có

 

2

a a a

a a



  ;

2

b b b

b b



2

c c c

c c



  Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được

     

a a b b c c

a a b b c c

     

Bài toán 17 ( USAMO - năm 2003)

Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

 

8

b c a a c b a b c

a b c b a c c a b

     

     

Giải

Chuẩn hóa bất đẳng thức trên ta chọn a b c  1

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :  

8

a a b b c c

     