Bộ đề thi học kì 1 môn toán lớp 8 trường Amsterdam

Tailieumontoan com  Tài liệu sưu tầm BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8 AMSTERDAM Tài liệu sưu tầm Đề thi HK1 Toán 8 THCS Amsterdam Năm 2018 2019 Website tailieumontoan com ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MÔN TOÁN LỚP 8 (2018 2019) Thời gian 120 phút Bài 1 (2 5 điểm) Cho biểu thức 2 2 3 1 8 1 2 1 1 1 1 x A x x x x −  = + − + − − −  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A biết 3 5 2x + = c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương Bài 2 (2 5 điểm) Phân t[.]

Tailieumontoan.com



Tài liệu sưu tầm

BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 8 -AMSTERDAM

Tài liệu sưu tầm

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

b) Tính giá trị biểu thức A biết 3x+ =5 2

c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương

Tìm các hệ số a b c, , sao cho đa thức 4 2

3x +ax +bx+cchia hết cho đa thức(x−2)và chia cho đa thức 2

(x −1)được thương và còn dư ( 7− −x 1)

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC> ) có góc B bằng 0

45 và vẽ đường cao AH Gọi M

là trung điểm AB P là điểm đối xứng với Hqua M

a) Chứng minh AHBP là hình vuông

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC Chứng minh HP=2MK

c) Gọi D là giao điểm AH và BK Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AHsao cho chúng cắt nhau tại Q Chứng minh P K Q, , thẳng hàng

d) Chứng minh các đường thẳng CD AB, và PQ đồng quy

b) ( Dành cho lớp 8A )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2

2

P=x +y + x y biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện x+ =y 1

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 1

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

b) Tính giá trị biểu thức A biết 3x+ =5 2

c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương

Lời giải

a) Điều kiện xác định

112

x x

Để A nguyên khi và chỉ khi 5 chia hết cho 1 2x− ⇒ −1 2x∈ −{1; 1;5; 5− }⇒ ∈x {0;1; 2;3− }

* Đối chiếu điều kiện loại x=1

* Thử trực tiếp chọn được x=0

Bài 2. (2.5 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Tìm các hệ số a b c, , sao cho đa thức 4 2

3x +ax +bx+cchia hết cho đa thức(x−2)và chia cho đa thức 2

(x −1)được thương và còn dư ( 7− −x 1)

Thay x=2vào (1) thu được 4a+2b c+ = −48

Thay x=1vào (2) thu được a b c+ + = −11

Thay x= −1vào (2) thu được a b c− + =3

Giải ra ta được: a=10,b= −7,c=6

Bài 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC> ) có góc B bằng 0

45 và vẽ đường cao AH Gọi M là trung điểm AB Plà điểm đối xứng với Hqua M

a) Chứng minh AHBPlà hình vuông

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC Chứng minh HP=2MK

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 3

c) Gọi Dlà giao điểm AHvà BK Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AHsao cho chúng cắt nhau tại Q Chứng minh P K Q, , thẳng hàng

d) Chứng minh các đường thẳng CD AB, và PQ đồng quy

Lời giải

a) Chứng minh AHBPlà hình vuông

Vì M là trung điểm của ABvà PHnên tứ giác AHBPlà hình bình hành

Do AH ⊥BHnên AHBPlà hình chữ nhật

45

ABH = nên AHBvuông cân tại H

Vậy AHBP là hình vuông

b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC Chứng minh HP=2MK

Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ABK suy ra AB=2MK

Dùng kết quả câu a suy ra HP= AB do đó HP=2MK

c) Gọi Dlà giao điểm AHvà BK Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AHsao cho chúng cắt nhau tại Q Chứng minh P K Q, , thẳng hàng

HP= MK ⇒PKH =Chứng minh tương tự: QKH =900

Kết hợp để suy ra  0

180

PKQ= hay Chứng minh P K Q, , thẳng hàng

d) Chứng minh các đường thẳng CD AB, và PQ đồng quy

Gọi Elà giao điểm của PQvà AB; F trung điểm BC

Ta có: ME/ /HQ ( cùng vuông góc với PH ) mà M trung điểm PH nên MElà đường trung bình của tam giác PHQsuy ra Etrung điểm của PQ ⇒EFlà đường trung bình của hình thang PBCQ

x= =y Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 5

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2000-2001

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A Đường cao AH, dựng về phía ngoài tam

giác các hình vuông ABMN ACIK, Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M A I, , thẳng hàng;

b) Tứ giác CKNB là hình thang cân;

c) AH đi qua trung điểm D của NK và các đường thẳng AH IK MN, , cắt nhau tại điểm E;

−

=+

b) Cho tứ giác lồi ABCD E, và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB AD, Gọi

G=AE∩BF H =CF∩BD Chứng minh rằng S EFGH =S AGB+S DHC

Nếu ,M N nằm trên hai cạnh còn lại của tứ giác sao cho MENF là hình chữ nhật thì

MENF ABCD

S =S

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2000-2001

2 2

2 2

2

1

11

( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2

Vậy a=35;b= −33 là hai giá trị cần tìm

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A Đường cao AH, dựng về phía ngoài tam

giác các hình vuông ABMN ACIK, Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M A I, , thẳng hàng;

b) Tứ giác CKNB là hình thang cân;

c) AH đi qua trung điểm D của NK và các đường thẳng AH IK MN, , cắt nhau tại điểm E;

d) Các đường thẳng AH CM BI, , đồng quy và 2 2 2

Lời giải

a) Ba điểm M A I, , thẳng hàng;

Theo giả thiết:  90BAC= ° mà   90BAN =CAK = °

Nên BAN CAK ; là hai góc đối đỉnh

Do AM AI, là đường chéo hình vuông ABMN ACIK,

Suy ra AM AI, là tia phân giác của BAN CAK ;

Ta có:    MAI MAN NAK KAI= + + =45 900+ 0 +450 =1800

Vậy ba điểm , ,M A I thẳng hàng

b) Tứ giác CKNB là hình thang cân;

Xét hình vuông ABMN có AM BN là hai đường chéo nên , AM ⊥BN ( )1

Tương tự: AI⊥CK ( )2

Mà , ,M A I thẳng hàng (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra BN CK// ⇒BCKN là hình thang (*)

Mặt khác: BK =BA+AK = AN+AC=CN (cạnh hình vuông ABMN ACIK, ) (**)

Từ (*); (**) suy ra tứ giác BCKN là hình thang cân

H

K

I N

M

C B

A

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 11

Do đó  BAH'=BAH ⇒ AH'≡AH hay AH đi qua trung điểm D của NK

Vậy D là trung điểm của NK

+ Gọi E là giao điểm của MN và IK

Xét tứ giác ANEK có:    90A=N =K= ° ⇒ ANEK là hình chữ nhật

Mặt khác D là trung điểm của NK nên D là trung điểm của AK

Theo chứng minh trên: AH đi qua D

Do đó AH đi qua E Hay 3 đường thẳng AH MN IK, , đồng quy tại E

Bài 5 a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 6 2 2.

x A x

−

=+

b) Cho tứ giác lồi ABCD E, và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB AD, Gọi

G=AE∩BF H =CF∩BD Chứng minh rằng S EFGH =S AGB+S DHC

Nếu ,M N nằm trên hai cạnh còn lại của tứ giác sao cho MENF là hình chữ nhật thì

−

=+

2

2 2

2 2

Dấu “=” xảy ra khi x = 1

Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x = 1

2

2 2

a) Chứng minh rằng S EGFH =S AGB+S DHC

Có S CEF =S BEF;S AEF =S DEF ⇒S CEF−S AEF =S BEF −S DEF

Kẻ MP BC⊥ tại P ; OI BC⊥ tại I ; NQ⊥BC tại Q ;

Suy ra OI là đường trung bình của hình thang MPQN

E F

C

B D

A

E F

C

B D

A

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 15

c) Tứ giác DNPC có phải là hình thang không? Có phải là hình thang câ không? Vì

Vậy với 2x≠ ±y x; ≠0 thì 2 22 2

5

x x A

( )

2 2

15

05

x A

x= ( thỏa điều kiện)

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 17

Nên tứ giác DNPC có là hình thang

+Tứ giác DNPC có phải là hình thang cân không? Vì sao?

Đặt AB=a a( >0) Mà tứ giác ABCD là hình vuông nên AB BC a= =

Do G là trọng tâm của tam giác NDC

Nên NG là đường trung tuyến

b) Cho tứ giác ABCD ;các đường thẳng AB CD; cắt nhau tại E Gọi F G; theo thứ tự là

trung điểm của các đường chéo AC BD; Chứng minh rằng 1

Mà S ABD S BCD S ABCD và S EAC S DAC S EAD và S EBD S BCD =S EBC

Do đó S EACS DACS BCDS EBD S EAD S EBC S ABCD

E A

D

C B

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

a) Chứng minh ba điểm N D C, , thẳng hàng và ∆APQvuông cân

b) Gọi Olà giao điểm của AEvà MN Xác định dạng của tứ giácAOKI(Klà giao điểm

a) Cho ABC∆ và một điểm D trên cạnh AB sao cho AD>DB Xác định điểm E trên

cạnh AC sao cho đoạn DE chia ABC∆ thành hai phần có diện tích bằng nhau

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5xyz= +x 5y+7z+10

c) Cho hình chữ nhật ABCD Điểm M trên cạnh AB sao cho 2

3

Điểm Ntrên cạnh CD sao cho 1

trên cạnh AD sao cho 3

4

DQ= DA Gọi E F, lần lượt là giao điểm của AP cắt DM BN,

và G H, lần lượt là giao điểm của CQ cắt BN DM, Tính diện tích tứ giác EFGH , biết diện tích ABCD bằng S

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

2 2 2 2 2 2

a a a

a a

a a

a a

Vậy với a= −1 hoặc 2

3

a= thì A=4 c)Ta có

2 2

a) Chứng minh ba điểm N D C, , thẳng hàng và ∆APQvuông cân

b) Gọi Olà giao điểm của AEvà MN Xác định dạng của tứ giácAOKI(Klà giao điểm

của NM với PQ)

c) Chứng minh rằng: khiM di động trên đường thẳngBCthì Ovà Iluôn di động trên

Do đó ∆APQvuông cân tại A

b) Ta có ∆APQvuông cân tại A, có AIlà trung tuyến suy ra 0

90

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 25

  thuộc trung trực của AC⇒ ∈O BD

Từ đó suy ra khiMdi động trên đường thẳngBCthì Ovà I luôn di động trên một

Từ đó P= − − − − = −1 1 1 1 4

Bài 5.

a) Cho ABC∆ và một điểm D trên cạnh AB sao cho AD>DB Xác định điểm E trên

cạnh AC sao cho đoạn DE chia ABC∆ thành hai phần có diện tích bằng nhau

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5xyz= +x 5y+7z+10

c) Cho hình chữ nhật ABCD Điểm M trên cạnh AB sao cho 2

3

Điểm Ntrên cạnh CD sao cho 1

trên cạnh AD sao cho 3

4

DQ= DA Gọi E F, lần lượt là giao điểm của AP cắt DM BN,

và G H, lần lượt là giao điểm của CQ cắt BN DM, Tính diện tích tứ giác EFGH , biết diện tích ABCD bằng S

Lời giải

a)

Lấy điểm F đối xứng với A qua D

Từ B kẻ đường thẳng song song với FC cắt AC tại E

Gọi I là giao điểm của BC và FE

Thật vậy, ta có: S BFC =S EFC(chung đáy, đường cao bằng nhau)

( ) 1

BFI IFC EIC IFC BFI EIC

BFI DEIB EIC DEIB DEF DECB

Vậy điểm E được dựng như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán

b)Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5xyz= +x 5y+7z+10 1( )

* Xét x=1, thay vào (1) ta được: 5yz=5y+7z+ ⇔11 (5y−7)(z− =1) 18

Vì y z, ∈Z+ ⇒(5y−7;z− ∈1) ( {1;18 ; 18;1 ; 2;9 ; 9, 2 ; 9; 2 ; 3; 6 ; 6;3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 27

Trong các trường hợp trên chỉ có TH: 5 7 3 2 t/m( )

EM

DM

DH DM

13

13

2

BMDN ABCD

AB BC

BM DN BC S

469 1 469 469.

EFGH

EFGH ABCD

x − x− thì được thương 3x và còn dư

Bài 3. Cho hình vuông ABCD , một điểm E bất kỳ trên cạnh BC Tia Ax⊥AE cắt cạnh CD

kéo dài tại F Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G

a) Tam giác AEF là tam giác gì?

x x

++

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

x x x x B

Do P x( )chia cho đa thức x+4 thì dư là 2⇒P( )− =4 2⇒ − + = ⇒ =4a b 2 b 4a+2 (1)

Do P x( )chia cho đa thức x−7 thì dư là 5⇒P( )7 =5⇒7a b+ =5 (2)

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 31

Bài 3. Cho hình vuông ABCD , một điểm E bất kỳ trên cạnh BC Tia Ax⊥AE cắt cạnh CD

kéo dài tại F Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G

a) Tam giác AEF là tam giác gì?

⇒ ∆ABE= ∆ADF(g.c.g) ⇒AF = AE Xét ∆ AEF có  90= o

EAF (gt) và AF = AE (cmt) nên ∆ AEF là tam giác vuông cân tại

A

b) Vì GE/ /FK nên  EGK =GKF (so le trong) (1)

Ta lại có: Vì ∆ AEF là tam giác vuông cân tại A có AI là trung tuyến nên AI là đường trung trực của EF ⇒ KI là đường phân giác của góc EKF ⇒ FKA =AKE

I

B A

D

E

Từ (1) và (2) ta có:  EGK =GKE ⇒∆EGK cân tại E ⇒EG=EK (3)

AI là đường trung trực của EF ⇒  ==



GF GE

Từ (3) và (4) ta có: EG=GF =FK=KE ⇒ EGFK là hình thoi

c) Gọi L là giao điểm của AD và FI

Xét ∆ALI và ∆FLD có:  LAI =DFL (cùng phụ AKD)

=EC+CK+KD+DF

=EC+CD+BE (∆ABE= ∆ADF⇒BE=DF)

2

=BC+CD= a e) Xét ∆ADK và ∆FCE có:  CFE=DAK (cmt)

  90= = o

FCE ADK

⇒ ∆ADK ∆FCE ⇒ AD = DK ≤1

FC CE ⇒DK ≤CE ⇒FK ≤BC=a Xét ∆AKF và ∆AEK có: AK chung

AF = AE FK; =KE ( AI là đường trung trực của EF )

⇒ ∆AKF = ∆AEK (c.c.c) ⇒S∆AEK =S∆AFK 1

CAK KAD CAD =  PFI =PFK+KFI

mà  KAD=IFK (cmt) ⇒PFK =KAC

Xét ∆AKC và ∆FKP có:   FKP=AKC (đối đỉnh)

 PFK=KAC (cmt)

Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 33

Khi E≡C ⇒F ≡điểm đối xứng của C qua D ⇒ ≡P H

Vậy P di động trên đoạn CH cố định

Bài 4 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

20032004

x x

++

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

xy

+

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình M = −1

Bài 2. a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Lấy

điểm P trên cạnh BD (P nằm giữa O và D) Gọi M là điểm đối xứng với C

b) Kẻ ME⊥ AD MF, ⊥ AB Chứng minh rằng EF AC// và E F P, , thẳng hàng c) Trên cạnh AB lấy điểm X , trên DC lấy điểm J sao cho AX = CJ lấy N là điểm tùy ý trên AD Gọi G là giao điểm củaXJ và NB, H là giao điểm của XJ

và NC Tính diện tích của tứ giác AXJD theo SABCD = S Chứng minh rằng

+

=

+ b) Cho a b c, , ≠0 Chứng minh rằng nếu ( )2 2 2 2

1 0

x y xy

+

0

x y xy xy

1− −2

Kết hopwh điều kiện x y, ≠0, ta được: x= −2;y= −2

Vậy phương trình M = −1 có nghiệm nguyên là x= −2;y= −2

Bài 2. a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Lấy

điểm P trên cạnh BD (P nằm giữa O và D) Gọi M là điểm đối xứng với C

b) Kẻ ME⊥ AD MF, ⊥ AB Chứng minh rằng EF AC// và E F P, , thẳng hàng c) Trên cạnh AB lấy điểm X , trên DC lấy điểm J sao cho AX = CJ lấy N là điểm tùy ý trên AD Gọi G là giao điểm củaXJ và NB, H là giao điểm của XJ

và NC Tính diện tích của tứ giác AXJD theo SABCD = S Chứng minh rằng

Chứng minh AMDB là hình thang

Vì M là điểm đối xứng với C qua P nên P là trung điểm của MC, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm AC

⇒ OP là đường trung bình ∆ ACM ⇒OP MA// hay MA BD//

AMDB

⇒ là hình thang

Xác định vị trí điểm P trên BD để AMDB là hình thang cân

AMDB là hình thang cân ⇔  ABD=BDM mà  ABD=BDC (tính chất hình chữ nhật)

⇒ MFE=FEA mà  FEA=MAE (1)

Vì ABCD là hình chữ nhật ⇒  ADB=DAC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:  MFE =DAC mà FEA  và DAC nằm ở vị trí so le trong nên

Ta có: O′ là trung điểm của MA, P là trung điểm của MC suy ra O P′ là đường trung bình tam giác MAC ⇒ O P AC′ // (6)

Chọn P nằm trong ∆ DKC sao cho ∆ KPD đều Từ P kẻ PQ⊥DC

+

=

+ b) Cho a b c, , ≠0 Chứng minh rằng nếu ( )2 2 2 2

b) Với a= =b 2 Tìm x∈  sao cho * f x g x( ) ( )

Câu 4. Cho tam giác ABC , vuông tại A Đường thẳng d quay quanh A không cắt cạnh BC

Kẻ BI , CK vuông góc với d (I K, ∈d) Gọi E M D, , lần lượt là trung điểm AB , BC ,

CA

a) Tứ giác AEMD là hình gì ? Tại sao ?

b) G ∈ tia đối CK sao cho: CG BI= Chứng minh rằng I M G, , thẳng hàng Và

MI =MG

c) MK giao tia IB tại H Tứ giác IKGH là hình gì ?

d) - Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác IKGH là hình vuông

- Khi tam giác ABC cố định xác định d sao cho chu vi tứ giác IKGH lớn nhất

Câu 5. Cần ít nhất bao nhiêu quả cân và một cái cân đĩa để có thể cân được những khối lượng

2 2

2 2

2

2 2 2

33

b) Với a= =b 2 Tìm x∈  sao cho * f x g x( ) ( ) .

1

a− x + x + b ( ) 2 ( )

a− x + a− x + −a (2−a x) + − +b a 1

2

x + x + 2

Do x∈  nên * 2

1 3

x + + ≥x , do đó không thể là ước của 1 Vậy không có x thỏa yêu cầu Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 47