Áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán về mạch điện xoay chiều

Trong chương trình vật lý phổ thông, kiến thức về điện xoay chiều luôn là một phần kiến thức quan trọng, điều đó thể hiện ở việc phần kiến thức trong giáo trình, sách giáo khoa Vật lí khá nhiều và kiến thức về mạch điện xoay chiều có mặt trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, cao đẳng, đại học,…Trong phần điện học, các bài toán về mạch điện xoay chiều rất phong phú và đa dạng, mức độ khó dễ khác nhau và có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau: Phương pháp lượng giác, phương pháp giản đồ vector, phương pháp số phức,… Với việc chuyển đổi dần chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm trong các kì thi, bài kiểm tra, yêu cầu học sinh, sinh viên không những nắm chắc kiến thức mà cần có kết quả chính xác trong thời gian ngắn. Chính vì vậy, việc sử dụng phương pháp nào để có kết quả chính xác cao trong thời gian ngắn là điều rất quan trọng. Trong số các phương pháp giải bài toán về điện xoay chiều, các bạn học sinh, sinh viên thường sử dụng phương pháp giản đồ vector, nhưng em nhận thấy phương pháp số phức là phương pháp đơn giản, cho kết quả cao trong thời gian ngắn. Do hạn chế về kiến thức toán học nên phương pháp này còn chưa được sử dụng nhiều. Tuy nhiên, theo em, chỉ cần nắm chắc kiến thức chung về số phức, chúng ta hoàn toàn có thể làm chủ phương pháp này. Với mục tiêu giúp đỡ các bạn học sinh, sinh viên giải bài toán về mạch điện xoay chiều đơn giản hơn, có độ nhanh chóng và chính xác cao, em lựa chọn chủ đề “Áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán về mạch điện xoay chiều” làm đề tài tiểu luận của mình. Do kiến thức còn hạn chế, trong quá trình thực hiện bài tiểu luận, có thể vẫn còn những thiếu sót, kính mong sự giúp đỡ và góp ý của các thầy cô giáo. Em xin chân thành cảm ơn

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Mục tiêu

Trong chương trình vật lý phổ thông, kiến thức về điện xoay chiều luôn là một phần kiến thức quan trọng, điều đó thể hiện ở việc phần kiến thức trong giáo trình, sách giáo khoa Vật lí khá nhiều và kiến thức về mạch điện xoay chiều có mặt trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, cao đẳng, đại học,…Trong phần điện học, các bài toán về mạch điện xoay chiều rất phong phú và đa dạng, mức độ khó dễ khác nhau và có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau: Phương pháp lượng giác, phương pháp giản

đồ vector, phương pháp số phức,…

Với việc chuyển đổi dần chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm trong các kì thi, bài kiểm tra, yêu cầu học sinh, sinh viên không những nắm chắc kiến thức mà cần có kết quả chính xác trong thời gian ngắn Chính vì vậy, việc sử dụng phương pháp nào để có kết quả chính xác cao trong thời gian ngắn là điều rất quan trọng Trong số các phương pháp giải bài toán về điện xoay chiều, các bạn học sinh, sinh viên thường sử dụng phương pháp giản đồ vector, nhưng em nhận thấy phương pháp số phức là phương pháp đơn giản, cho kết quả cao trong thời gian ngắn Do hạn chế về kiến thức toán học nên phương pháp này còn chưa được sử dụng nhiều Tuy nhiên, theo em, chỉ cần nắm chắc kiến thức chung về số phức, chúng ta hoàn toàn có thể làm chủ phương pháp này

Với mục tiêu giúp đỡ các bạn học sinh, sinh viên giải bài toán về mạch điện xoay chiều đơn giản hơn, có độ nhanh chóng và chính xác cao,

em lựa chọn chủ đề “Áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán

về mạch điện xoay chiều” làm đề tài tiểu luận của mình Do kiến thức còn hạn chế, trong quá trình thực hiện bài tiểu luận, có thể vẫn còn những thiếu sót, kính mong sự giúp đỡ và góp ý của các thầy cô giáo Em xin chân thành cảm ơn!

2 Cơ sở nghiên cứu

2.1 Cơ sở lý luận

Bài tập Vật lý đều có ở các cấp độ học từ trung học, cao đẳng, đại học, cao học,…Trong quá trình dạy học Vật lý, giải bài tập là công việc được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau dưới đây:

- Giải bài tập để mở rộng, đào sâu kiến thức, đây là giai đoạn khởi đầu để dẫn dắt đến phần kiến thức mới

- Giải bài tập Vật lý sẽ nâng cao kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn của người học

- Giải bài tập Vật lý góp phần phát huy năng lực tư duy sáng tạo của người học

- Giải bài tập Vật lý là một hình thức làm việc đòi hỏi sự tự học, tự tìm tòi của người học

- Giải bài tập Vật lý là phương tiện để kiểm tra khả năng và mức độ nắm bắt kiến thức của người học một cách chính xác và hiệu quả nhất

* Các bước chung để giải một bài tập Vật lý:

Bài tập Vật lý rất đa dạng, ở các mức độ kiến thức khác nhau Vì vậy, bài tập Vật lý có nhiều phương pháp giải khác nhau, tuy nhiên, chúng

ta có thể vạch ra các bước chung sau đây để giải một bài tập Vật lý:

- Bước 1: Tìm hiểu đề bài:

+ Đọc, tóm tắt, ghi lại các dữ kiện đề bài và xác định yếu tố cần tìm

Có thể minh họa đề bài bằng sơ đồ, hình vẽ để dễ hình dung

- Bước 2: Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ kiện đề bài và yếu

tố cần xác định:

+ Đối chiếu các dữ kiện đề bài, yếu tố cần tìm và xem xét bản chất Vật lý của những tình huống đã cho để xác định các kiến thức, các định luật, các công thức có liên quan

+ Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ kiện đề bài và yếu tố cần tìm

+ Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ cần thiết, tối thiểu sao cho thấy được mối liên hệ giữa cái cần tìm với dữ kiện xuất phát Từ đó rút ra yếu tố cần tìm

- Bước 3: Suy ra yếu tố cần tìm:

+ Từ mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải để rút ra cái cần tìm, kết luận cần thiết

- Bước 4: Kiểm tra, đánh giá:

+ Sau khi có kết quả bài tập, thực hiện kiểm tra, đánh giá bằng các phương pháp như: Kiểm tra lại việc tính toán có chính xác chưa, kiểm tra thứ nguyên xem có phù hợp không, kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem

có phù hợp không, giải bài toán theo cách khác xem có trùng kết quả không,…

Trên đây là các bước chung nhất trong quá trình giải một bài tập Vật

lý Tuy nhiên, trong mỗi bài toán cụ thể, không nhất thiết phải tuân theo tất

cả các bước mà có thể kết hợp các bước sao cho phù hợp nhất và đưa ra kết quả một cách nhanh chóng, chính xác nhất

2.2 Cơ sở thực tiễn

Phương pháp lượng giác và phương pháp đồ thị được ứng dụng rộng rãi khi nghiên cứu mạch điện hình sin Hai phương pháp trên giúp biểu diễn

rõ ràng trị số hiệu dụng, góc pha, góc lệch pha, rất thuận tiện khi minh họa,

so sánh và giải các mạch điện đơn giản Tuy nhiên cách biểu diễn vector gặp nhiều khó khăn khi giải mạch điện phức tạp Khi giải mạch điện hình sin, còn một phương pháp rất hữu hiệu đó là giải bằng cách biểu diễn qua

số phức Do đó, em sẽ áp dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán về mạch điện xoay chiều dưới đây

3 Mục đích của đề tài

Trình bày một số bài tập cụ thể để thấy được hiệu quả của phương pháp số phức trong giải bài toán về mạch điện xoay chiều và cùng cố thêm kiến thức về phương pháp giải này

Cung cấp thêm tài liệu về cách giải bài toán dòng điện xoay chiều trong chương trình Vật lý đại cương cho sinh viên tham khảo Bên cạnh đó,

có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên THPT trong quá trình giảng dạy

Giúp tăng thêm vốn kiến thức cho bản thân

4 Nhiệm vụ đề tài

Nghiên cứu kiến thức về mạch điện xoay chiều trong chương trình vật lý đại cương (Điện kỹ thuật), kiến thức về số phức làm nền tảng vận dụng vào giải một số bài toán dòng điện xoay chiều

Đề tài dùng phương pháp số phức để giải một số bài toán mạch điện xoay chiều Phương pháp này giúp cho người học có thêm hướng giải khi gặp các bài toán điện xoay chiều phức tạp

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phân loại bài tập, vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán cụ thể của mạch điện xoay chiều

6 Phạm vi nghiên cứu

Trong phạm vi bài tiểu luận, em lựa chọn phần kiến thức mạch điện xoay chiều không phân nhánh: Cho các thông số của mạch điện R, L, C, e, cường độ dòng điện hoặc hiệu điện thế trong mạch chính và sơ đồ mạch điện để từ đó tính cường độ dòng điện hiệu dụng, viết biểu thức cường độ dòng điện, hiệu điện thế hiệu dụng, biểu thức điện thế và công suất

7 Cấu trúc đề tài

Đề tài tiểu luận gồm 3 phần: Phần 1 mở đầu, phần 2 gồm 2 chương, phần 3 kết luận

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Cơ sở lý thuyết về số phức

1.1.1 Định nghĩa số phức

Một số phức là một biểu diễn dạng a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn = -1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a+bi

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần

ảo của số phức z = a+bi.

Tập hợp các số phức được kí hiệu ℂ

Ví dụ: Các số sau là những số phức: 9 + (-2)i; 3 + 5i; + i

1.1.2 Số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

a + bi = c + di  a = c và b = d

Ví dụ: Tìm các số thực a,b, biết:

(3a + b) + (b + 1)i = (a +2b) + (a – 2)i

Lời giải

Từ định nghĩa về hai số phức bằng nhau, ta có:

 

Vậy a = -3 và b = -6

Lưu ý:

- Mỗi số thực a được gọi là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là: a=a+0i Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức Ta có: ℝ ⸦ ℂ

- Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản và bi

Tức là bi = 0+bi

1.1.3 Biểu diễn hình học số phức

Điểm M (a;b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a+bi

1.1.4 Mô-đun của số phức

Giả sử số phức z = a+bi được biểu diễn bởi điểm M (a;b) trên mặt phẳng tọa độ Khi đó:

Độ dài của véc-tơ được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là |z|

Từ định nghĩa, suy ra |z| = || hay |a + bi| = || Khi đó:

|a + bi| = 1.1.5 Số phức liên hợp

Cho số phức z = a+bi Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu = a – bi Tức là:

= a – bi Tính chất 1 = z

Tính chất 2 || = |z|

1.2 Cơ sở lý thuyết về mạch điện xoay chiều

1.2.1 Cách tạo ra dòng điện xoay chiều

Khung dây kim loại kín quay đều với vận tốc góc quanh trục đối xứng của nó, trong từ trường đều có véc-tơ cảm ứng từ B vuông góc với trục quay thì trong mạch có dòng điện biến thiên điều hòa với tần số góc gọi là dòng điện xoay chiều

Khi khung dây quay một chu kỳ (một vòng) dòng điện trong khung dây đổi chiều 2 lần

1.2.2 Hiệu điện thế xoay chiều, cường độ dòng điện xoay chiều

Nếu i = sin t thì u = sin (t + )

Nếu u = sin t thì i = sin (t + )

Các giá trị hiệu dụng của dòng điện xoay chiều:

I = U = E =

1.2.3 Các loại đoạn mạch xoay chiều

- Đoạn mạch chỉ có điện trở thuần: cùng pha với i: I =

- Đoạn mạch chỉ có tụ điện C: trễ pha hơn i góc

I = với = là dung kháng của tụ điện

- Đoạn mạch chỉ có cuộn dây thuần cảm L: sớm pha hơn i góc

I = với = L là cảm kháng của cuộn dây

- Đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp (không phân nhánh):

Độ lệch pha giữa u và i xác định theo biểu thức: tan =

Cường độ hiệu dụng xác định theo định luật Ôm: I =

Với Z = là tổng trở của đoạn mạch

- Cộng hưởng trong đoạn mạch RLC

Khi = hay = thì dòng điện trong mạch đạt giá trị cực đại = Suy ra công suất trên mạch đạt giá trị cực đại = , u cùng pha với i

Khi > thì u nhanh pha hơn i (đoạn mạch có tính cảm kháng)

Khi < thì u trễ pha hơn i (đoạn mạch có tính dung kháng)

* R tiêu thụ năng lượng dưới dạng tỏa nhiệt, và không tiêu thụ năng lượng của nguồn điện xoay chiều

1.2.4 Cách nhận biết cuộn dây có điện trở thuần r

Xét toàn mạch, nếu: Z ; U hoặc P I2R hoặc cos thì cuộn dây có điện trở thuần r 0

Xét cuộn dây, nếu: hoặc hoặc 0 hoặc thì cuộn dây có điện trở thuần r 0

1.2.5 Công suất của dòng điện xoay chiều

Công suất của dòng điện xoay chiều: P = UIcos = I2R =

Hệ số công suất: cos = Ý nghĩa của hệ số công suất cos :

- Trường hợp cos = 1 tức là = 0: mạch chỉ có R, hoặc mạch RLC có cộng hưởng điện (=) thì P = = UI =

- Trường hợp cos = 0 tức là = : Mạch chỉ có L, hoặc chỉ có C, hoặc

có cả L và C mà không có R thì P = = 0

Lưu ý:

- Để nâng cao hệ số công suất của mạch bằng cách mắc thêm vào mạch cuộn cảm hoặc tụ điện thích hợp sao cho cảm kháng và dung kháng của mạch xấp xỉ bằng nhau để cos 1

- Đối với các động cơ điện, tủ lạnh,…nâng cao hệ số công suất cos

để giảm cường độ dòng điện

1.3 Sự tương quan giữa điện xoay chiều và số phức

Xét đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp:

u = cos(t + ) (V)

Ta có giản đồ véc-tơ như sau:

- Trục hoành biểu diễn R

- Phần dương của trục tung biểu diễn L

- Phần âm của trục tung biểu diễn C

- Véc-tơ U có độ lớn và tạo với trục hoành

một góc là

Xét một số phức bất kỳ: x = a+bi

Số phức này được ghi dưới dạng lượng giác là: x = Được biểu diễn như sau:

- Trục hoành biểu diễn phần số thực (số a)

- Trục tung biểu diễn phần số ảo (số b)

- Véc-tơ X có độ lớn và tạo với trục hoành một góc là

Như vậy, ta có thể xem R như là một số phức chỉ có phần thực a (vì nằm trên trục hoành), L và C là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung) Nhưng chúng khác nhau là L nằm ở phần dương nên được biểu diễn

là bi C nằm ở phần âm nên được biểu diễn là -bi u và i được xem như là một số phức x và được viết dưới dạng lượng giác x = =

1.4 Ứng dụng số phức vào giải bài toán dòng điện xoay chiều

Một dao động mô tả bằng hàm điều hòa có thể biểu diễn bằng dạng

số phức như sau: u = cos( ωt + φ) = a + bi

Dạng thức Dạng phức trong máy tính

FX 570ES, 570MS

Mạch khác

I = nhưng i U=I.Z nhưng iZ U=I.Z= Z nhưng u.Z

= I= nhưng

i =

=i

=i

u=

Cách cài đặt máy tính 570ES dạng số phức để viết u,i:

Bước 1: Shift 9 3 = = (Để cài đặt ban đầu)

Bước 2: Mode 2 → xuất hiện chữ CMPLX (cài đặt tính toán số phức)

Bước 3: Nhập dữ liệu vào máy tính rồi:

+ Bấm shift 2 3 = sẽ ra kết quả dạng mũ phức I0∠φi (hoặc U0∠φu) khi viết phương trình i (hoặc u)

+ Để tìm R, L, C thì ta chỉ bấm "=" sau khi nhập dữ liệu xong.

CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

2.1 Bài tập 1: Đặt điện thế không đổi 60V vào hai đầu đoạn mạch gồm

điện trở mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm (H) thì trong mạch xuất hiện dòng điện một chiều với cường độ 0,5 (A) Tìm biểu thức cường

độ dòng điện qua mạch khi đặt vào hai đầu đoạn mạch này một điện áp u = 300cos60t (V)?

Giải:

R = = = 120(Ω)

= 60 (rad/s), R=120(Ω), ZL= L= 120(Ω), tổng trở phức là Z = 120 + 120i

=> i = = = ∠- (A)

Vậy biểu thức cường độ dòng điện qua mạch là: i = cos(60t - ) (A)

2.2 Bài tập 2: Đặt điện áp u = 100cos(50πt -) (V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở R = 50(Ω), tụ điện có C = 2/15π (mF) và cuộn cảm thuần có L = 4/π (H) Xác định biểu thức cường độ dòng điện trong đoạn mạch?

Giải:

Ta có: R = 50(Ω), = = 150(Ω), = = 200(Ω)

=> i = = 2 (A)

Vậy biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là: i = 2cos(50t - ) (A)

2.3 Bài tập 3: Một đoạn mạch MN gồm hai đoạn mạch nhỏ MP và PN

mắc nối tiếp với nhau Đoạn mạch MP có điện trở R = 30Ω mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C = 2/3π mF Đoạn mạch PN là cuộn dây không thuần cảm Khi đặt vào hai đầu M, N một điện áp xoay chiều thì điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch MP có biểu thức uMP = 160sin(50πt) V; còn điện áp tức thời giữa hai đầu cuộn dây có biểu thức uPN = 100cos(50πt)

V Công suất tiêu thụ của đoạn mạch MN?

Giải:

Theo đề: R = 30(Ω), ZC = = 30(Ω)

uMP = 150sin(50πt) = 150sin(50πt -) (V)

Ta có: i = = = - i = ∠- → = (A)

→ I = 2,5 (A) (1)

= = = 50 – 10i → R+r = 50(Ω) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: P = = 2,52.50 = 312,5(W)

Vậy công suất tiêu thụ trên đoạn mạch MN là 312,5W

2.4 Bài tập 4: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

Có R = 50(Ω), L = 4/ (H), C = 2/15 (mF).

Điện áp hai đầu mạch có dạng =150cos(50t) Xác định biểu thức điệp áp hai đầu đoạn mạch MB?

Giải:

Ta có: R = 50, ZC = = 100(Ω), = = 50(Ω)

Tổng trở phức trên AB là: ZAB = 50 + (50-100).i = 50 – 50i

Tổng trở phức trên MB là: ZMB = (50-100).i = -50i

Cường độ dòng điện trong toàn mạch:

i = = = -3i (A)

Điện áp hai đầu đoạn mạch MB là:

= i = (-3i).(-50i)=-150 =150 (V)

Vậy =150cos(50t+) (V)

2.5 Bài tập 5: Cho đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn cảm thuần, đoạn mạch X

và tụ điện (hình vẽ) Khi đặt vào hai đầu A, B điện áp uAB = U0cos(ωt + φ) (V) thì: LCω2 = 1, UAN = 25 (V) và UMB = 50 (V), đồng thời uAN sớm pha π/3 so với uMB Xác định giá trị của U0?

Giải:

LCω2 = 1→ → u = =

= = = 25 -0,714 → U0 = 25 (V)

Vậy giá trị U0 = 25 (V)

2.6 Lỗi thường gặp khi sử dụng máy tính cầm tay:

- Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị đo góc ấy:

+ Trong mode độ (màn hình hiện lên chữ D), ta phải nhập đơn vị là độ (ví dụ 45,60,…)

+ Trong mode rad (màn hình hiện lên chữ R), ta phải nhập đơn vị là radian (ví dụ ,…)

- Cách cài đặt máy: Nhấn Shift Mode

Nhấn (3) cài đặt máy ở đơn vị đo là độ.

Nhấn (4) cài đặt máy ở đơn vị đo là radian.

– Trên máy Fx 570 ES, để bấm nhanh ta thường ấn dấu chia thay cho dấu phân số Chính vì vậy trong quá trình bấm máy thường xuất hiện những lỗi như sau:

khác 1:2 ; 2 + 3i khác 2 + (3i)

– Cách khắc phục: Sử dụng dấu ngoặc

PHẦN 3: KẾT LUẬN Trên đây là phương pháp giải bài toán mạch điện xoay chiều bằng phương pháp số phức được tích lũy và rút kinh nghiệm trong quá trình học bộ môn Vật lý của em tại trường Bài tập Vật lý là một phần không thể thiếu trong quá trình giảng dạy bộ môn Vật lý ở trường phổ thông cũng như trường đại học Nó là phương tiện để nghiên cứu tài liệu mới, để ôn tập, để rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo, vận dụng kiến thức và bồi dưỡng phương pháp nghiên cứu khoa học Bài tập Vật lý là phương tiện để giúp sinh viên rèn luyện những đức tính tốt đẹp như tính cảm nhận, tinh thần chịu khó và đặc biệt giúp chúng ta có được thế giới quan khoa học theo chủ nghĩa duy vật biện chứng

Trong bài tiểu luận này, em mới chỉ trình bày một phương pháp giải bài toán mạch điện xoay chiều và chỉ áp dụng cho một dạng mạch duy nhất là mạch không phân nhánh, làm một số bài tập cơ bản Do vậy, việc giúp các bạn sinh viên giải những bài toán về mạch điện xoay chiều là chưa trọn vẹn Tuy nhiên, đây là phương pháp mang tính chủ quan của cá nhân em, còn rất nhiều phương pháp giải khác giải bài toán mạch điện xoay chiều cho ra kết quả nhanh chóng và chính xác hay mỗi bạn sinh viên sẽ tìm được một phương pháp giải bài tập phù hợp với mình, cảm thấy dễ hiểu Chính vì vậy, rất mong