Tuyển tập các chuyên đề đại số nâng cao lớp 7

Tailieumontoan com  Tài liệu sưu tầm TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ LỚP 7 Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 Website tailieumontoan com Liên hệ tài liệu word toán zalo 039 373 2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Mục Lục Trang Chuyên đề 1 Tập hợp số hữu tỉ 1 Chuyên đề 2 Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ 10 Chuyên đề 3 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ, cộng trừ nhân chia số số thập phân 23 Chuyên đề 4 Lũy thừa của một số hữu tỉ 39 Chuyên đề 5 Tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 4[.]

Tailieumontoan.com



Tài liệu sưu tầm

TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ LỚP 7

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020

Mục Lục

Trang

Chuyên đề 3 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ, cộng trừ nhân chia số số thập phân 23

Chuyên đề 5 Tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 47

Chuyên đề 6 Số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn 61

Chuyên đề 9 Sử dụng tính bất biến để giải toán suy luận logic 88

Chuyên đề 15 Biểu thức đại số, giá trị của một biểu thức đại số 174

Chuyên đề 17 Đa thức, đa thức một biến, cộng trừ đa thức một biến 196

Chuyên đề 18 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số 213

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG TOÁN 7

 Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q

2 Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số

 Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số

 Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x

3 So sánh hai số hữu tỉ

 Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số

đó

 Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;

 Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;

 Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm

 Tìm cách giải Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý a

b là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu Chú ý rằng 2020 0, ta có lời giải sau:

 Trình bày lời giải

Mà 2020 0 nên a 10 0 suy ra a 10 Vậy với a 10 thì x là số hữu tỉ âm

c) x không là số dương cũng không là số âm tức là x 0 hay 10 0

2020

a

suy ra a 10 Vậy với a 10 thì x không là số dương cũng không là số âm

 Tìm cách giải Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:

 Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;

 Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;

 Sau đó so sánh hai phân số

 Trình bày lời giải

Rút gọn ta có:

 Tìm cách giải Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên

 Trình bày lời giải

21

21 10 10 31 1010

Ví dụ 6 Chứng tỏ rằng số hữu tỉ 3 2

4 3

n x

n là phân số tối giản, với mọi n N

Giải

 Tìm cách giải Để chứng minh a

b là phân số tối giản ;a b Z chúng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1

 Trình bày lời giải

Đặt ƯCLN 3n 2;4n 3 d (với d N) suy ra:

1.1 Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ 2

a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương

b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương bằng nhau

x có giá trị là một số nguyên

1.9 Chứng tỏ số hữu tỉ 2 9

7 31

n x

n là phân số tối giản, với mọi n N

Vậy với m 10 thì số hữu tỉ x là số âm

c) x không là số dương cũng không là số âm

n là phân số tối giản với mọi n N

Theo đầu bài, ta có: 5 3 50 7 30

Chuyên đề 2 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA

3 Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của

phép nhân đối với phép cộng như trong tập hợp Z Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập hợp Z

 Tìm cách giải Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực

hiện trong ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng cách bỏ ngoặc Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn

 Trình bày lời giải

 Trình bày lời giải

Giải

 Tìm cách giải Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý ab k a b, Z b, 0 thì a Ư(k),

b Ư(k)

Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên

 Trình bày lời giải

1 1 1

k

a b c a b c để rút gọn

 Trình bày lời giải

a a a Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên

dương đã cho bằng nhau

Giải

 Tìm cách giải Dạng toán này chúng ta không chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào, mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi Đối với dạng toán này thông thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:

 Bước 1 Phủ định kết luận Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng

nhau

 Bước 2 Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển

nhiên

 Bước 3 Chứng tỏ giả sử là sai Vậy kết luận của đề bài là đúng

 Trình bày lời giải

Giả sử trong 2021 số nguyên dương a a1; ; 2 a2021 thỏa mãn: không có hai số nào bằng nhau Khi đó

2 2 2 1 mâu thuẫn với đề bài

Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau

 Nhận xét Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác

nhau chúng ta đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất Từ đó nhận thấy

2021 số nguyên dương nhỏ nhất cũng không thỏa mãn đầu bài Suy ra 2021 số nào đó cũng không thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết

 Tìm cách giải Với điều kiện đề bài, chúng ta không thể tính được giá trị của a, b, c

Do vậy chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và 1 1 1

mà x 2 x 1 nên suy ra: x 2 0 hoặc x 1 0 x 2 hoặc x 1

Vậy với x 2 hoặc x 1 thì x 1 x 2 0

b) 2x 4 và 9 3x cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:

a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau

b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau

2.2 Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể)

a) 5 1 2 2 1 2 3 5 8 2 1

5 9 23 35 6 7 18 ;

Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau

(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)

2.16 Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 a b 1 c 2 và a b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của c

1910

2.15 Giả sử trong 100 số nguyên dương a a1; ; ;2 a100 thỏa mãn: Không có hai số nào bằng nhau

2 2 2 1 2 2 mâu thuẫn với giả thiết

Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau

Chuyên đề 3 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN

x nÕu x

 Với mọi x Q, ta luôn có: x 0;x x x; x

2 Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập

phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số

 Trình bày lời giải

Điều kiện x 0 suy ra:

 Tìm cách giải Chúng ta biết rằng hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt

đối bằng nhau và ngược lại Do vậy giải dạng toán này, chúng ta lưu ý: A B A B hoặc A B

 Trình bày lời giải

 Tìm cách giải Để giải dạng toán tổng giá trị tuyệt đối, chúng ta có thể:

 Hướng 1 Xét dấu, bỏ dấu giá trị tuyệt đối

 Hướng 2 Vận dụng bất đẳng thức A A, dấu bằng xảy ra khi A 0

 Hướng 3 Vận dụng bất đẳng thức A B A B , dấu bằng xảy ra khi AB 0

 Trình bày lời giải

b) Ta có: x 1 2x 3 x 1 2x 3 3x 2 Dấu bằng chỉ xảy ra khi

 Tìm cách giải Khi thực hiện các phép tính có biểu thức chứa các số thập phân và

phân số, ta nên viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện các phép tính Quan sát kĩ sau khi viết dưới dạng phân số, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối k k k k 1 1 1

3.12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2019 x 2020 x 2021

3.13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x 1000 2x 2020 với x là số nguyên

3.14 Thực hiện phép tính:

1 50,34 :

10

x y

x y y

x (thỏa mãn điều kiện)

b) Điều kiện x 0, suy ra:

Từ đó suy ra: 1 1 1 1 11

1 1 1 1 11

0;4 ; 0; 2 ; 1;4 ; 1; 2 ; 1;2 ; 1;0 ; 2;0 ; 2;2

c) 3x y 5 5 0 3x 5; 0 y 5 5

Mặt khác 3x chia hết cho 3, nên chúng ta có bảng sau:

Suy ra bảng giá trị sau:

3x 0 3 5

Từ đó suy ra:

y 0; -10 -3; -7 Vậy cặp số nguyên ;x y thỏa mãn là:

0;0 ; 0; 10 ; 1; 3 ; 1; 7 ; 1; 3 ; 1; 7

d) 5x 2y 3 7 0 5x 7; 0 2y 3 7

Mặt khác 5x chia hết cho 5, nên chúng ta có bảng sau:

Suy ra bảng giá trị sau:

Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi 6 2x 0 và 2 5 0 3; 5

+ Trường hợp 2 x 2 0 và 5 x 0 x 2 và x 5 vô lý (loại)

Vậy không tồn tại cặp số nguyên thỏa mãn

5 0,42 :0,8 : 4.0,25 5

A

0,3.0,4 5 0,12

0,42 0,525 0,15 0,525 0,6750,8 :1 4 0,8

A

3.15

a) 7,3.10,5 7,3.15 2,7.10,5 15.2,7

7,3 10,5 15 2,7 10,5 15

2 3 8 3

Giải

 Tìm cách giải Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến

đổi về lũy thừa của các số nguyên tố Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối và phép cộng

 Trình bày lời giải

32.3 2 3 3 2 3.2 7 2 3 2 3.7 3 2 3 2 7

 Trình bày lời giải

 Tìm cách giải Những bài toán tính tổng đại số về lũy thừa có cùng cơ số theo quy luật ,

chúng ta cần nhân hai vế với một lượng thích hợp để được biểu thức mới, mà bắt đầu

từ hạng tử đối nhau thì cộng biểu thức ban đầu với biểu thức mới, bằng nhau thì trừ biểu thức mới với biểu thức ban đầu

 Trình bày lời giải

 Tìm cách giải Bản chất của bài toán là thu gọn tổng S Tương tự như ví dụ trên, dễ dàng

phát hiện ra nhân hai vế của tổng S với 12

2 Sau đó cộng với biểu thức S Cuối cùng đánh giá

 Trình bày lời giải

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)

4.13 Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a 37 45  45

4.16 Đố Bạn có thể điền các lũy thừa của 2 vào

các ô vuông còn lại trong bảng bên sao cho

tích các lũy thừa trong mỗi hàng, mỗi cột và

mỗi đường chéo bằng nhau được không ?

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 4.1

6 1 3 3 6 2

33

Chuyên đề 5 TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

 Dạng tổng quát : a  c

b d hoặc a b: c d:Các số a và d gọi là ngoại tỉ ; các số b và c gọi là trung tỉ

2 Tính chất của tỉ lệ thức

 Tính chất cơ bản : a  c ad bc b d , 0

 Tính chất hoán vị: Từ một tỉ lệ thức ta có thể:

 Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;

 Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;

 Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ

 Cách 2 Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 Cách 3 Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)

 Trình bày lời giải

+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :     

 Tìm cách giải Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau

Quan sát hai tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa

y giống nhau Sau đó vẫn ý tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải

 Cách 1 Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k

 Cách 2 Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 Cách 3 Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau

 Trình bày lời giải

+ Cách 1 Từ giả thiết :     1

+ Cách 2 Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

 Nhận xét Trong ví dụ này có thể chúng ta mắc sai lầm sau :

+ Thứ nhất trong lời giải trên thiếu trường hợp k  2

+ Thứ hai chúng ta vận dụng tính chất :    24 4!

2 3 2.3 6

Chúng ta lưu ý rằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không cho phép nhân (hoặc chia) tử thức với nhau Do vậy gặp điều kiện về phép nhân hoặc lũy thừa giữa các biến, chúng ta nên đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ

 Tìm cách giải Quan sát phần kết luận ta cần biến đổi đưa về : ay bx bz, cy az, cx

hay cần chứng minh ay bx 0,bz cy 0,az cx 0 Vì vậy từ giả thiết ta cần chứng

a và cx az

b ta thấy bz và az ; để triệt tiêu được, chúng ta cần nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất với a; nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ hai với b Tương tự như vậy với tỉ số thứ ba

 Trình bày lời giải

 Trình bày lời giải

Đặt chiều rộng và chiều dài khu đất là x và y (mét; x,y > 0)

Theo đề bài , ta có : 

5 8

và xy 1960

Đặt  

5 8

k (điều kiện k > 0 ) , suy ra : x 5 ,k y 8k

Theo giả thiết :     2   

Ví dụ 8: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào, biết nếu cộng lần

lượt từng độ dài hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỉ lệ với 7; 6 ; 5

5.14 Cho dãy tỉ số bằng nhau : 1  2   2019  2020

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 5.1

b) Giải tương tự câu c, ta được : 

Vậy biểu thức A luôn có giá trị là số nguyên

2 Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5

thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

 Nếu một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

3 Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ

4 Quy ước làm tròn số

 Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ

nguyên bộ phận còn lại.Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0

 Trường hợp 2: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta

cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại Trong trường hợp số nguyên thì

Ví dụ 2: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

n

a a a

a a a

Dựa vào kiến thức đó,ta có lời giải sau:

 Trình bày lời giải

13

15

15

21 4242 646464

b x

a b b b

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 6.1 )211



b b

A Kiến thức cần nhớ

1 Số vô tỉ Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I

2 Khái niệm về căn bậc hai

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho 2

* Cách so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân

* Trong tập hợp các số thực cũng có các phép toán với các tính chất tương tự như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tính và so sánh:

a) 4.9 và 4 9; b) 9.36 và 9 36

c) 25.81 và 25 81 d) 0,64.0,25 và 0,64 0,25

 Tìm cách giải Thực hiện phép tính chứa căn bậc hai và phép tính cộng, trừ, nhân, chia,

chúng ta thực hiện theo thứ tự phép tính: khai căn bậc hai trước, sau đó nhân, chia cuối

 Tìm lời giải Chúng ta lưu ý: A0 với mọi A0 Đẳng thức xảy ra khi A0

 Trình bày lời giải

a) Ta có: A2019 2x 3 2019

Dấu bằng xảy ra khi x 1,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2019 khi x 1,5

b) Ta có: B21 10 x 2 21 Dấu bằng xảy ra khi x 2

Vậy giá trị lớn nhất của B là 21 khi x 2

2020 2020

 Tìm lời giải Một số thực chỉ có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỉ Do vậy để chứng minh 2

là số vô tỉ, chúng ta nên dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng:

 Bước 1: Phủ định kết luận Giả sử 2 là số hữu tỷ

 Bước 2: Lập luận logic, suy ra mâu thuẫn với một điều đã biết, một tính chất hiển

nhiên

 Bước 3: Vậy giả sử là sai Suy ra kết luận là đúng

 Trình bày lời giải

Giả sử 2 là một số hữu tỉ, như vậy 2 có thể viết 2 m

n

,

m nN và ƯCLN ( , n) 1.m 

Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 2 trái với ƯCLN ( ,n) 1.m 

Vì vậy 2không thể là số hữu tỉ, do đó 2 là số vô tỉ

Mà 12 5 5 12 5.2 22 Từ đó suy ra điều phải chứng minh

7.14 Giả sử 3 là số hữu tỷ, suy ra 3 m

Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 3 trái với ƯCLN ( , ) 1m n 

Vì vậy 3 không thể là số hữu tỷ, do đó 3 là số vô tỉ

7.15 Đáp số:

Hơn nữa cách viết trên là duy nhất Ta gọi số nguyên n là phần của x và kí hiệu là  x ; còn

y được gọi là phần lẻ của x và kí hiệu là  x

Từ phân tích trên, ta rút ra định nghĩa

 Định nghĩa Phần nguyên của x, kí hiệu là  x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x; phần lẻ của x là x x được kí hiệu là  x