Tuyển tập các chuyên đề đại số luyện thi vào lớp 10 chuyên toán

Tailieumontoan com  Điện thoại (Zalo) 039 373 2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020 Website tailieumontoan com 2020 1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo 039 373 2038 Website tailieumontoan com 2020 3 Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo 039 373 2038 Website tailieumontoan com 2020 4 Chương 1 CĂN THỨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Căn thức bậc hai • Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2x a • Cho số thực a không âm, căn bậc ha[.]

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ

LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020

x sao cho bình phương của nó bằng a

là căn bậc 2k số học của a) Căn bậc chẵn âm ký hiệu là  2k a; 2k a x x 0    và x 2k  a;

 2k a x x 0    và x 2k  a;

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TIÊU BIỂU:

Dạng 1 : Thu gọn các biểu thức đại số và tính giá trị của biểu thức:

Ph ương pháp:

trị tuyệt đối nếu có

Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006)

A 8 4 3 8 4 3   8 4 3 8 4 3 2 8 4 3 8 4 3     

 16 2.4 8  

         

  1 x 2  y 2 2 2xy 2 1 x 1 y   2  2   1 2(1 xy)   x 2  y 2 2 2 1 x 1 y  2  2 Hay 2(1 xy)  x 2  y 22 2 (xy 1)  2   (x y) 2   (1 xy)  (xy 1)  2   (x y) 2  | xy 1| 

b) Tìm các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện: x 1 −y2 +y 2 −z2 +z 3 −x2 = 3

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán – Trường chuyên ĐHSP Hà Nội, 2014) c) Tìm các số thực x y, thỏa mãn điều kiện: 2(x y− + 4 y x− 4)=xy

a, Cho số nguyên dương n≥ 2 Tính giá trị biểu thức sau theo n:

+

= +

(Tuy ển sinh Hà Nội 2018)

e) Cho số thực x thỏa mãn : 0 ≤ ≤x 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của;

Từ đó suy ra C≥ 24, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= 4,b= 16,c= 36.

Hay GTNN của C là 24 tại a= 4,b= 16,c= 36

g, Điều kiện ( )( )

2 2

5x−x ≥ 0 với mọi x thỏa mãn 0 ≤ ≤x 5 nên

−

=

d, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:D= 9 − +x x.

e, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 ( )( )

Chú ý:Học sinh hay mắc sai lầm khi đưa về 1

B mà không xét x= 0. (Biểu thức 1

B chỉ xác định khi x> 0)

E≤ − +x + x = + x−x = − x− ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 2.

Vậy GTLN của E bằng 24 tại x= 2.

2 2

+

=

2P 5 − > 2P 6 − nên điều kiện 2P 5 2P 5 0 5

III M ỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

b) Khi 1 1

1 9 325 36

1 366.

x

 − ≤  <

Vậy P ≤ 4 khi và chỉ khi 0 ≤ <x 4 hoặc x> 9.

Vì x≥ 0 nên x ≥ 0 suy ra điều kiện là ( x− 1)( x+ ≥ ⇔ 1) 0 x− > ⇔ 1 0 x > ⇔ > 1 x 1.

Vậy để A ≥ B thì điều kiện là : x> 1.

b) Với ( )2

2 2

b, Tính giá trị của P khi x= 4

c, Tìm các giá trị của x để P là số tự nhiên

{ } 5 { } 5 5 5

3; 4;5; 6; 7 3; 4;5; 6; 7 1 5; ; ; ;1

2 3 4 1

0

m m

c,Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a2

L ời giải

a, Ta có

Bài 11: Cho biểu thức P = 2 : 1 2

Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi 25 ( )2

Bài 12 Cho biểu thức A = 1 , 1

1 1

B x

∆ = + + ≥ ⇔ ≥ − Khi đó theo hệ thức vi ét ta có: t1+t2 =1> 0 suy ra trong hai

Kết hợp với điều kiện đề bài ta suy ra 1 1 ( )2

−

≥ ⇒ ≥ , Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=1

Chia hai vế cho 2

4 0

x + > ta thu được:1+ 2 2

2 3

b Trên tập số thực, hàm số y=ax+b đồng biến khi a> 0 và nghịch biến khi a< 0

3 Đồ thị hàm số: y=ax b a+ 0( ≠ )

a

− + a gọi là hệ số góc của đường thẳng y=ax+b

4 Cách v ẽ đồ thị hàm sốy=ax+b

a

− 

+ Chú ý: Đường thẳng đi qua M m( ; 0) song song với trục tung có phương trình: x m− = 0

6 Điều kiện để hai đường thẳng song song Hai đường thẳng vuông góc

Chú ý: Gọi ϕ là góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b và trục Ox, nếu a> 0 thì tan = a ϕ

II M ỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT TỌA ĐỘ

b Gọi A là điểm thuộc đường thẳng ( )d1 có hoành độ x= 2 Viết phương trình đường

thẳng (d3 ) đi qua A vuông góc với ( )d1

c Khi ( ) // (d ).d1 2 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( ), (d1 d2 ).

d Tính khoảng cách từ gốc tọa O đến đường thẳng ( )d1 và tính S∆OMN với M N, lần lượt

là giao điểm của ( )d1 với các trục tọa độ Ox Oy,

( ) vµ (d )d cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm A B, lần

lượt thuộc ( ) vµ (d )d1 2 sao cho AB⊥ ( );d1 AB⊥ (d2).

Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d3 ) và ( )d2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d2 )và ( )d3 là

Chú ý: Nếu tam giác OMNkhông vuông cân tại O Ta có thể tính OH theo cách:

Trong tam vuông OMNta có:

+ Tìm các giao điểm M N, của ( )d với các trục tọa độ

thức (*)) để tính đoạn OH

c Tìm m để đường thẳng ( )d cắt các trục tọa độ Ox Oy, lần lượt tại A B, sao cho tam giác OAB cân

vuông tại O Suy ra hệ số góc của đường thẳng ( )d phải bằng 1 hoặc -1 và đường thẳng ( )d

1 1

Giá trị m= 1 không thỏa mãn,

do đường thẳng ( )d đi qua gốc tọa độ

2

m=

Ví d ụ 3:

Cho hai đường thẳng ( ) :d1 mx+ (m− 1)y− 2m+ = 1 0, (d ) : (1 2 −m x) +my− 4m+ = 1 0

a Tìm các điểm cố định mà ( ), (d1 d2 ) luôn đi qua

mà ( ), (d1 d2)đi qua

L ời giải

a Ta viết lại ( ) :d1 mx+ (m− 1)y− 2m+ = ⇔ 1 0 m x( + − + − =y 2) 1 y 0. Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng ( )d1 luôn đi qua điểm cố định A(1;1)

Tương tự viết lại (d2 ) : (1 −m x) +my− 4m+ = ⇔ 1 0 m y( − − + + =x 4) 1 x 0 suy ra (d2) luôn đi qua điểm cố định: B( 1;3) −

b Để ý rằng đường thẳng ( )d1 luôn đi qua điểm cố định: A(1;1). Gọi H là hình chiếu vuông góc của Plên ( )d1 thì khoảng cách từ A đến ( )d1 là PH ≤PA

Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi P≡H ⇔PH ⊥ ( ).d1 Gọi y = a + bx là phương trình

(d1), (d2) luôn vuông góc và cắt nhau tại điểm I Mặt

khác theo câu a) ta có (d1), (d2) lần lượt đi qua hai

điểm cố định A, B suy ra tam giác IAB vuông tại A

giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB là 2 khi và

Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN

x=m ho ặc x=n Nói cách khác: min ( ) min{ ( ); ( )}

+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y= f x( ) =ax+bcó f m( ), ( )f n ≥ 0 thì

+ f(0) = 2(y+ −z) yz− = 4 (y− 2)(2 − ≤z) 0 với y,z thỏa mãn: 0 ≤ y z, ≤ 2

+ f x( ) = 2(2 − − +y z) 2(y+ −z) yz− = − ≤ 4 yz 0 với y,z thỏa mãn: 0 ≤ y z, ≤ 2

a= = =b c

III HÀM S Ố BẬC HAI KIẾN THỨC CẦN NHỚ

( 0) :

Tính chất biến thiên:

+) Nếu a> 0 thì hàm số đồng biến khi x> 0, nghịch biến khi x< 0

+) Nếu a< 0 thì hàm số đồng biến khi x< 0, nghịch biến khi x> 0

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng Khi a> 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi a< 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới

P y=ax với a< 0 là hình biểu diễn cổng mà

(Trích đề tuyển sinh vào 10 – trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015 – 2016)

Lời giải

dụng định lí Pitago ta tính được: OA= 4 vậy M(2; 4 , − ) (N − − 2; 4) Do M(2; 4 − ) thuộc parabol

Đường thẳng này cắt Parabol tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

Suy ra tọa độ hai giao điểm là 3 2 3 3 2 3

1

1 : 4

I

a x

Rút gọn hai vế ta được: ab= − 1 Gọi I x y( I; I) là trung điểm đoạn AB Khi đó:

(AB) :y= (a+b x) −ab= (a+b x) + 1. Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng (AB) :y= (a+b x) + 1

luôn luôn đi qua điểm cố định (0;1).

( )P lấy hai điểm A( 1;1) − , B(3;9).

a, Tính diện tích tam giác OAB.

b, Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của ( )P sao cho

diện tích tam giác ABC lớn nhất

C c c thuộc cung nhỏ ( )P với − < < 1 c 3.

Diện tích tam giác: S ABC =S ABB A′ ′−S ACC A′ ′−S BCC B′ ′.

Các tứ giác ABB A AA C C CBB C′ ′ , ′ ′ , ′ ′ đều là hình thang vuông nên ta có:

IV M ỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

2

b x a

+ Nếu ∆ < ′ 0 thì phương trình vô nghiệm

2 S ự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai

0,

cách chứng minh ∆ ≥ 0 ta còn có cách khác như sau: “Chỉ ra số thực α sao cho a f. ( )α ≤ 0

hoặc hai số thực α β , sao cho: f ( ) ( )α f β ≤ 0”

Th ật vậy ta có thể chứng minh điều này như sau:

a, Cho các số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a+ 2b+ 3c= 1. Chứng minh rằng có ít nhất một

4x − 4 2a+ 1 x+ 4a + 192abc+ = 1 0 và

b, Cho các số a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c+ + = 6. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba

c, Nếu trong ba số a b c, , có một số bằng 0, chẳng hạn a= ⇒ 0 (2) có nghiệm x= 0.

Ta xét a b c, , là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai

tồn tại số nguyên k để được f k( )= f (2015 ) (f 2016 )

.

f x =x +bx c+ Giả sử phương trình f x( )=x có hai nghiệm phân

b+ > b+ +c

Lời giải:

a, Để chứng minh sự tồn tại của số k ta cần chỉ ra tính chất:

Cách 2: Gọi f x( ) là vế trái của phương trình (1) Ta có:

⇒ trong bốn số ⇒ f ( ) ( ) ( ) ( )0 , f a , f b , f c luôn tồn tại hai số có tích không dương

không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm

Cách 4: Tại sao ta chỉ ra được 3

4

- Nếu a= ⇒ = ⇒ 0 b 0 f x( ) là đa thức không, do đó f x( ) sẽ có nghiệm trong ( )0;1

+ +

= + + với 2

− ≠ ⇔ ≠ thì (*) là phương trình bậc hai ẩn x. Điều kiện để phương trình

a f x ≥ ⇔a f x luôn cùng dấu Một kết quả thường xuyên sử dụng trong giải toán là:

một giá trị của biểu thức khi đó ta có: (*)

28

3

y x

2 2

t= − suy ra A0 = 2 là một giá trị của biểu thức nhận được

+ Nếu A0 ≠ 2 thì (*) là một phương trình bậc hai có

Nhận xét p= 1 là một giá trị của biểu thức

Khi p≠ 1 *( ) là phương trình bậc hai của x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là

b

x x

a c

+ Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai

Nếu a b c+ + = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 1;x2 c.

1 , 2

x x của phương trình ( )* :

Bước 1: Kiểm tra điều kiện ∆ ≥ 0, sau đó áp dụng định lý Vi-ét

Bước 2: Biểu diễn biểu thức g x x( 1 , 2) theo S= +x1 x P2, =x x1. 2 từ đó tính được g x x( 1 , 2)

• M ột số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp

Bước 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 (thường sử dụng phương pháp thế) để tìm m, sau

• Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử: Nếu phương trình ( )* có hai nghiệm x x1 , 2 thì

2

ax +bx c+ =a x−x x−x

ý đến các điều kiện ràng buộc sau:

Bài toán 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ac< 0.

Bài toán 2: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối

bé hơn (hoặc nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn) 0.

0

ac S

<



⇔  <

Bài toán 3: Phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương có giá trị tuyệt đối

0

ac S

S P

S P

Bài toán 9: Phương trình có đúng một nghiệm dương:

Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu

2

b a

⇔ ∆ = − >

Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

Bài toán 10: Phương trình có đúng một nghiệm âm ⇒ Giải tương tự như bài toán 9.

Chú ý: Nếu chỉ là phương trình có nghiệm mà không nói phân biệt thì thay ∆ > 0 bằng

Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ ⇔ − ' 0 2m+ ≥ ⇔ ≤ 4 0 m 2.

a) Giải phương trình khi m= − 1.

phương nghiệm còn lại

+ Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x1 + = 4 x2

Trường hợp 2: x1 = +m 1;x2 = −m 3 điều kiện bài toán trở thành: m+ = 4 m− 3

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình: 2 ( ) 2

a Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

là:

b Xét phương trình:

biệt

tìm điều kiện để hai nghiệm của phương trình khác 0 Tức là

Ví d ụ 10:

1 m 3

L ời giải:

Quy đồng và rút gọn bất đẳng thức trên tương đương với:

(Điều này hiển nhiên đúng) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Ví d ụ 12 :

L ời giải :

b c 9

Đẳng thức xảy ra hay hoặc

Ví dụ 13*:

Xét đa thức f(x)=5x(x – 1) + 1 ta thấy f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví d ụ 14 *

L ời giải

Ví d ụ 15*

b 6a a

9 a

b 3a a

0 a

Ta có do neen phương trình

VII CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

KI ẾN THỨC CẦN NHỚ

Trong trường hợp đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại 2 điểm phân biệt A, B thì:

Khi đó ta có:

ta đều quy về định lí Viet

Chú ý: Đường thẳng (d) có hệ số góc a và đi qua điểm thì có dạng

Ví d ụ 1:

lượt là hình chiếu vuông góc của M,N trên Ox

hoặc x=-4 Vậy (d) cắt (P) tại 2 giao điểm là

từ giả thiết suy ra

Ví dụ 2:

tung

Tìm m để hai tam giác AOC và BOD có diện tích bằng nhau

L ời giải

(*)

16 16

S m

Ví d ụ 3:

L ời giải

Ví d ụ 4:

TH1 : thay vào điều kiện ta có:

kiểm tra lại ta thấy cả 2 giá trị m đều thỏa mãn

Ví dụ 5:

Ví dụ 6 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol và đường thẳng

( là tham số )

(*)

Theo hệ thức Vi-et ta có :

Ví d ụ 7 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và

Giải

(*)

a Khi thay vào (*) ta có:

(3)

Đối

Ví d ụ 8 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng

Giải

với mọi nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt, suy ra đường

Để ý rằng đường thẳng luôn đi qua điểm cố định nằm trên trục tung Ngoài ra

Ví dụ 9 Trên hệ trục tọa độ cho parabol: và đường thẳng

a Khi , chứng tỏ rằng luôn cắt tại điểm phân biệt Từ đó tính

1; 1 , 2 2)( ) ( ;

C S OAB = S ABCD−S ADO−S BCO

Giải

Khi đó hai điểm gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của

ta có:

, yêu cầu bài toán tương đương với

Ví d ụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol có phương trình Gọi là

1; 1 , 2 2)( ) E( ;

13

tại hai điểm phân biệt

Ví d ụ 11 Cho parabol và đường thẳng Tìm để đường

Giải

(*)

hay

L ời giải

nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

N

Ta giả sử với

Ví d ụ 13

Lời giải

Ta có:

(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Ví d ụ 14

2 3

m = ⇔ m =

m = 2

b) Gọi và là giao điểm của (d) và (P) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

L ời giải

2 điểm phân biệt có hoành độ , sao cho , là độ dài 2 cạnh của tam giác vuông có

Lời giải:

Điều kiện này luôn đúng nên suy ra phương trình có

ta cũng có:

Ví d ụ 16

Lời giải:

Do nên hai điểm nằm về hai phía trục tung Yêu cầu bài toán tương đương với

Ví dụ 17

2 B ; 

 

9 3 2

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Ví d ụ 19: Cho parabol và đường thẳng

L ời giải

(dùng phương pháp miền giá trị hàm số Xem thêm phần ứng dụng trong bài

(Trích đề thị vòng 1 THPT chuyên – TP Hà Nội, năm học 2005 – 2006)

Lời giải

giá trị

Lời giải

a Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

Ví d ụ 22

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Hà Nội, năm 2014)

L ời giải

nguyên dương.là nghiêm

L ời giải

bằng phản chứng

− + +

⇒ = ≤ = − + < x1+y0 <x0+y0 x0 =y0

2

0 0

=

 +

nghiệm ta phải có:

được các giá trị tương ứng của suy ra nghiệm của phương trình là:

hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình

+ Phương pháp cụ thể: chúng ra thường dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại

M ột số ví dụ

Ví d ụ 1 Xác định các hệ số của hàm số để

Từ đó suy ra:

Ví đụ 3 Giải các hệ phương trình sau:

1

1 1

1

1

x y x

y x

2

x

x y x

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là

1 5

2 2

u u v v v

+ Với thay vào phương trình ta tìm được ta có hệ phương trình

Ví d ụ 4 Cho hệ phương trình

x y xy

x y x

m=

Cho hệ phương trình:

L ời giải:

Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

Trường hợp 1: Khi đó hệ có nghiệm duy nhất

Trường hợp 2: Khi đó phương trình (3) trở thành:

Trường hợp 3: khi đó phương trình (3) thành:

m y

Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất

Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ theo cách khác: Khi hệ phương trình

của hệ ta thu được:

Ví d ụ 6

L ời giải:

trình cho nhau ta được:

Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:

Vậy

2 2

II M ỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

1 H ệ đối xứng loại I:

b) Tính chất

Chú ý:

S P

x y

x y

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm

thành

e) Hệ phương trình trở thành Ta viết lại phương trình thành:

Ngoài ra, ta cũng có thể giải một cách ngắn gọn hơn như sau:

6

P S

2 2