Tailieumontoan com Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 Website tailieumontoan com I KIẾN THỨC CẦN NHỚ I HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1 Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m n+ cách thực hiện Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì ( ) ( ) ( )n A B n A[.]
Trang 1Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020
Trang 2I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:
I HAI QUY T ẮC ĐẾM CƠ BẢN:
1 Quy t ắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m
cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ
nhất thì công việc đó có m n+ cách thực hiện
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n A( ∪B)=n A( ) ( )+n B
2 Quy t ắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m n cách hoàn thành công việc
II HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1 Hoán vị :
a) Hoán vị là gì ? Cho tập A có n ( n 1 ≥ ) phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được
một hoán vị các phần tử của tập A
b) S ố các hoán vị : Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
= = − = −
n
P n! n n( 1) 1 1.2.3 (n 1) n
2 Ch ỉnh hợp :
a) Chỉnh hợp là gì ? Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ ≤ Khi lấy ra k phần tử của A k n
và s ắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
b) S ố các chỉnh hợp : Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤ ≤ là: k n)
k n
A =n n( −1)(n−2) (n k− + 1) (1)
Chú ý : • A n n=P n = • Qui ước: n! 0! 1,= A n0 = thì (2) đúng với 1 0 ≤ ≤ Khi k = n thì k n A n n=P n =n!
• Với 0 < < , ta có thể viết: k n k
A
n k
!
=
3 Tổ hợp :
a) Tổ hợp là gì ? Cho tập A có n phần tử và số nguyên k (1≤ ≤k n) Mỗi tập con của A có k phần tử đgl
một tổ hợp chập k của n phần tử của A
b) S ố các tổ hợp : Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤ ≤k n) là:
= =
−
k
n
A n
C
k k n k
!
! !( )!
D ẠNG TOÁN 1: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Trang 3Chú ý : • Qui ước : =0! 1,C n0 =1 thì (1) cũng đúng với 0 ≤ ≤ Ta có k n C k n k != A n k
• Với ≤ ≤0 k n ta có thể viết : C n k n
k n k
!
=
Dạng toán tìm số các số tạo thành: Gọi số cần tìm có dạng: abc , tuỳ theo yêu cầu bài toán: Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ
Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn
II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Đếm số (chỉ dùng một loại P hoặc A hoặc C)
Đếm số (kết hợp P-A-C)
Chọn người, vật (thuần hoán vị)
Chọn người, vật (thuần chỉnh hợp)
Chọn người, vật (thuần tổ hợp)
Chọn người, vật (kết hợp P-A-C)
Bài toán liên quan hình học
Tính toán, rút gọn biểu thức chứa P,A,C
PT-HPT đại số tổ hợp
Đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp
Hoán vị bàn tròn
…
BÀI T ẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020)Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm có 10 học sinh
A. 2
10
10
2
Phân tích hướng dẫn giải
1 D ẠNG TOÁN:Đây là dạng toán dùng quy tắc đếm hoặc tính số tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị
Trang 42 HƯỚNG GIẢI:
B1:Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 10 học sinh, số cách chọn bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử:
2
10
C
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lờigiải Chọn A
Chọn 2 học sinh bất kỳ trong số 10 học sinh, số cách chọn bằng số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử: 2
10
C
Bài t ập tương tự và phát triển:
M ức độ 1
Câu 1 Bạn Hoàng muốn đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại của mình Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn
Hoàng là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ 0 đến 9) Hỏi bạn Hoàng có bao nhiêu cách đặt mật khẩu cho chiếc điện thoại
A.2016 B.5040 C.10000 D.9000
L ời giải
Ch ọn C
Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn Hoàng là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ
0 đến 9) nên số cách đặt mật khẩu của bạn Toàn là 4
10 =10000
Câu 2 Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh
trong lớp học này đi dự trại hè của trường?
L ờigiải
Ch ọn C
Áp dụng quy tắc cộng:
Số cách chọn ra một học sinh trong lớp học này đi dự trại hè của trường là 25 20 45.+ =
Câu 3 Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh
nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường?
L ời giải
Ch ọn D
Áp dụng quy tắc nhân:
Số cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường là 25.20 500.=
Trang 5Câu 4 Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra một cây bút từ hộp bút đó?
Lời giải Chọn B
Áp dụng quy tắc cộng:
Số cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó là 8 6 10 24.+ + =
Câu 5 Từ thành phố A tới thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B tới thành phố C có 4 con
đường Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A tới C qua B ?
Lời giải:
Chọn D
Từ A đến B có 3 cách chọn đường đi, từ B đến C có 4 cách chọn đường đi
Vậy số cách chọn đường đi từ A đến C phải đi qua B là : 3.4 12= cách
Câu 6 Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5?
A 4
5
5
L ời giải:
Ch ọn A
Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5 là một chỉnh
hợp chập 4 của 5 phần tử
Vậy có 4
5
A số cần tìm
Câu 7 Cho đa giác lồi n đỉnh (n>3) Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là
3
3!
n
C
D n!
L ời giải:
Ch ọn B
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là số tổ hợp chập 3 của n phần tử
Số tam giác lập được là 3
n
C
Câu 8 Số tập con của tập hợp gồm 2020 phần tử là
A 2020 B 2020
2 C 20202 D 2.2020
L ời giải:
Ch ọn B
Số tập con của tập hợp có 2017 phần tử là 2017
2
Trang 6Câu 9 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau?
L ời giải:
Ch ọn D
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi một khác nhau là một chỉnh hợp chập 5
của 9 phần tử
Vậy số các số tự nhiên thỏa đề bài là 5
9
A số
Câu 10 Trên đường thẳng d cho 5 1 điểm phân biệt, trên đường thẳng d song song v2 ới đường thẳng
1
d cho n điểm phân biệt Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ (n+5)
điểm trên Giá trị của n là
A n=10 B n=7 C n=8 D n=9
L ời giải:
Ch ọn B
Để tạo thành một tam giác cần 3 điểm phân biệt
Trường hợp 1: chọn 1điểm trên đường thẳng d và 1 2 điểm trên đường thẳng d có 2 1 2
5 n
C C Trường hợp 2: chọn 2 điểm trên đường thẳng d và 1 1điểm trên đường thẳng d có 2 C C52 n1
Số tam giác được tạo thành là 1 2 2 1
(5 ! ) (10 !) 175
2! 2 ! 1! 1 !
n n
n n
− −
5 1
10 175 2
n n
n
−
5n 15n 350 0
⇔ + − =
( )
7 10
n
=
M ức độ 2
Câu 1 Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt A A1, 2, ,A 10 trong đó có 4 điểm A A A A th1, 2, 3, 4 ẳng
hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy
trong 10 điểm trên?
A 116 tam giác B 80 tam giác C 96 tam giác D 60 tam giác
L ời giải
Ch ọn A
Số tam giác tạo từ 10 điểm là 3
10
C tam giác
Do 4 điểm A A A A th1, 2, 3, 4 ẳng nên số tam giác mất đi là 3
4
C
Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3 3
C −C = tam giác
Câu 2 Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp
12C.Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
Trang 7A 120 B 98 C 150 D 360
L ời giải:
Ch ọn B
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh 5
9
C cách
Số cách chọn 5 học sinh chỉ có 2 lớp: 5 5 5
C +C +C
Vậy số cách chọn 5 học sinh có cả 3 lớp là 5 ( 5 5 5)
C − C +C +C =
Câu 3 Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có 4 chữ số đôi một khác nhau?
A 2520 B 50000 C 4500 D 2296
L ời giải
Ch ọn D
Số có 4 chữ số khác nhau đôi một: 3
9
Số có 4 chữ số lẻ khác nhau đôi một: 2
8
Vậy số có 4 chữ số chẵn khác nhau đôi một: 3 2
Câu 4 Giải phương trình 3 2
14
x
x x
A +C − = x
A x=3 B x=6 C x=5 D x=4
Lời giải Chọn C
Cách 1: ĐK: x∈;x≥3
Có 3 2
14
x
x x
2
x x
x x x − x x x x
⇔ − − + = ⇔ − − + − =
2 5 25 0 5;
2
x x x x
⇔ − − = ⇔ = = −
Kết hợp điều kiện thì x= 5
Cách 2: Lần lượt thay các đáp án B, C, D vào đề bài ta được x= 5
Câu 5 Từ các chữ số 0 , 1 2, 3 , 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?
Lời giải
Chọn C
Trang 8Gọi số cần tìm dạng: abcd , (a≠0)
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: 3
4
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5: 3 2
A + A =42
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: 96 42 54− = số
Câu 6 Một đoàn tàu có bảy toa đỗ ở sân ga Có năm hành khách bước lên tàu Có bao nhiêu trường
hợp có thể xảy ra về cách chọn toa tàu của năm hành khách, biết rằng không có toa nào chứa nhiều hơn một hành khách?
A.2520 B.78125 C.16807 D.21
L ời giải
Ch ọn A
Không có toa nào chứa nhiều hơn một hành khách nên ta làm như sau:
- Chọn 5 toa tàu trong số 7 toa tàu ta có: 5
7
C cách chọn
- Sắp thứ tự cho 5 hành khách lên 5 toa tàu đã chọn ta có 5! =120 cách
- Vậy số cách chọn toa tàu của 5 khách là 5
7
120.C =2520cách
Câu 7 Có 3 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp vào một ghế dài có 6 vị trí Hỏi có bao nhiêu cách xếp
sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau?
L ời giải
Ch ọn B
Giả sử ghế dài được đánh số như hình vẽ
Có hai trường hợp: Một nữ ngồi ở vị trí số 1 hoặc một nam ngồi ở vị trí số 1 Ứng với mỗi trường hợp sắp xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau có 3!.3!
Vậy có 2.3!.3! 72.=
Câu 8 Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các chữ số 0 , 1 2, 3 , 4?
L ời giải
Ch ọn A
Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 bao gồm các số tự nhiên có 1 2, 3 chữ số
Gọi số cần tìm là abc (a b c, , ∈{0;1; 2;3; 4} ) (không nhất thiết các chữ số đầu tiên phải khác 0 )
a có 5 cách chọn
b có 5 cách chọn
Trang 9c có 5 cách chọn
Vậy có 5.5.5 125= số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán
Tập xác định D= \{ }1 Đồ thị ( )C có tiệm cận đứng khi và chỉ khi x= không là nghiệm 1
của ( ) 2 2
2 1
g x =x − x+m + ⇔ g( )1 ≠0 2
Câu 9 Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ
phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau
A 310080 B 930240 C 1860480 D 15505
L ời giải:
Ch ọn A
Có 20 cách để chọn 1 tổ trưởng từ 20 người
Sau khi chọn 1 tổ trưởng thì có 19 cách để chọn 1 tổ phó
Sau đó có 3
18
C cách để chọn 3 thành viên còn lại
Vậy có 3
18
Câu 10 Trong mặt phẳng có 2019 đường thẳng song song với nhau và 2020 đường thẳng song song
khác cùng cắt nhóm 2019 đường thẳng đó Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành
có đỉnh là các giao điểm nói trên
A 2019.2020 B 4 4
2019 2020
C C D 2019 2020+
L ời giải:
Ch ọn C
Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song nhau Vì vậy số hình bình hành tạo thành chính là số cách chọn 2 cặp đường thẳng song song trong hai nhóm đường thẳng trên
Chọn 2 đường thẳng song song từ 2019 đường thẳng song song có 2
2019
C (cách)
Chọn 2 đường thẳng song song từ 2020 đường thẳng song song có 2
2020
C (cách)
Vậy có 2 2
2019 2020
C C (hình bình hành)
M ức độ 3
Câu 1 Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 5 đứng liền
giữa hai chữ số 1 và 4?
L ời giải:
Ch ọn B
Chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4nên ta có thể có 154 hoặc 451
Gọi số cần tìm là abc (các chữ số khác nhau từng đôi một và a, b , c thuộc {0, 2, 3, 6, 7,8, 9 ), }
sau đó ta chèn thêm 154 hoặc 451 để có được số gồm 6 chữ số cần tìm
Trang 10TH1: a≠ , số cách chọn 0 a là 6 , số cách chọn b và c là 2
6
A , sau đó chèn 154 hoặc 451 vào
4vị trí còn lại nên có 2
6
6.A 4.2 cách
TH2:a= , số cách chọn 0 a là 1, số cách chọn b và c là A62, sau đó chèn 154 hoặc 451 vào vị trí trước a có duy nhất 1 cách nên có 2
6.2
A cách
Vậy có 2 2
Câu 2 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chọn từ tập A={1; 2;3; 4;5} sao
cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 3
L ời giải
Ch ọn B
Gọi số tạo thành có dạng =x abc , v ới a , b , c đôi một khác nhau và lấy từ A
Chọn một vị trí ,a b ho ặc c cho số 3 có 3 cách chọn
Chọn hai chữ số khác 3 từ A và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của x có 2
4
A cách
Theo quy tắc nhân có 2
4
3.A =36 cách
Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu
Vậy có 36 số cần tìm
Câu 3 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa
mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2?
A 720 số B 360 số C 288 số D 240 số
L ời giải
Ch ọn D
Gọi số có sáu chữ số cần tìm là n=abcdef , trong đó sáu chữ số khác nhau từng đôi một, c> 2
và f là số chẵn
Trường hợp 1: Nếu f = ⇒ =2 n abcde2
Có 4 cách chọn c, nên có 4.4! 96= số
Trường hợp 2: Nếu f = ⇒ =4 n abcde4
Có 3 cách chọn c, nên có 3.4! 72= số
Trường hợp 3: Nếu f = ⇒ =6 n abcde6
Có 3 cách chọn c, nên có 3.4! 72= số
Vậy số các số cần tìm là 96 72 72 240+ + = số
Trang 11Câu 4 Sắp xếp 20 người vào 2 bàn tròn ,A B phân biệt, mỗi bàn gồm 10 chỗ ngồi Số cách sắp xếp
là
A
10
20.9!.9!
2
C
B 10
20.9!.9!
20
20.10!.10!
C
L ời giải
Ch ọn B
Giai đoạn 1: Chọn 10 người từ 20 người xếp vào bàn A nên có C2010 cách chọn người Tiếp theo là 10 người vừa chọn này có 9! cách chọn chỗ ngồi Vậy giai đoạn 1 có 10
20.9!
C cách
Giai đoạn 2: 10 người còn lại xếp vào bàn B, 10 người này có 9! cách chọn chỗ ngồi Vậy giai đoạn 2 có 9! cách
Vậy có tất cả 10
20.9!.9!
C cách thỏa mãn bài toán
Câu 5 Cho đa giác đều A A A1 2 3….A30 nội tiếp trong đường tròn ( )O Tính số hình chữ nhật có các
đỉnh là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó
A 105 B 27405 C 27406 D 106
L ời giải:
Ch ọn A
Trong đa giác đều A A A1 2 3….A30 nội tiếp trong đường tròn ( )O cứ mỗi điểm A có m1 ột điểm
i
A đối xứng với A qua O 1 (A1≠ A i) ta được một đường kính, tương tự với A 2, A3, , A Có 30
tất cả 15 đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều A A A1 2 3….A30 Cứ hai đường kính đó
ta được một hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có 2
C = hình chữ
nhật tất cả
Câu 6 Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0 , không có hai chữ số 0 nào
đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần
A 786240 B 846000 C 907200 D 151200
L ời giải:
Chọn D
Cách 1: Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1đến 9) và sắp xếp chúng theo thứ tự có
5
9
A cách
Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí)
Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0
Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có 3
5
C cách
Vậy có 5 3
A C = số cần tìm
Trang 12Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 8
+) Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí (trừ a ) Vì gi1 ữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ
số khác 0 nên chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0 , sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa
Suy ra số cách chọn là 3
+) Chọn các số còn lại, ta chọn bộ 5 chữ số trong 9 chữ số từ 1đến 9, có 5
9
A cách chọn
Câu 7 Từ các chữ số thuộc tập hợp S ={1; 2;3; ;8;9} có bao nhiêu số có chín chữ số khác nhau sao
cho chữ số 1đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ
số 6 ?
A 36288 B 72576 C 45360 D 22680
L ời giải:
Ch ọn C
Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 1 2 (số 1đứng trước 2): có C92 cách
Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 3, 4 (số 3 đứng trước 4): có 2
7
C cách
Chọn 2 vị trí để xếp 2 chữ số 5, 6 (số 5 đứng trước 6 ): có 2
5
C cách
3 chữ số còn lại có 3! cách
Vậy có 2 2 2
3!.C C C =45360 số
Câu 8 Có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ được xếp vào 9 ghế theo hàng ngang Số cách xếp sao
cho các bạn nam luôn ngồi cạnh nhau và các bạn nữ luôn ngồi cạnh nhau là
L ời giải:
Ch ọn B
Cách 1: Lấy 4 ghế xếp liền nhau coi là nhóm ghế A, lấy 3 ghế xếp liền nhau coi là nhóm B Khi đó còn 2 ghế xếp xen kẽ giữa hai nhóm ghế ,A B Giả sử xếp nhóm ghế A trước rồi mới đến xếp nhóm ghế B thì có 6 trường hợp xen giữa khoảng trốngA và B mô tả như bảng sau:
A B
A B
A B
Vì vai trò A và B như nhau nên số cách xếp ghế thỏa mãn bài toán là 6.2.4!.3! 1728= (cách)