Bất đẳng thức từ góc nhìn hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ LAN ANH BẤT ĐẲNG THỨC TỪ GÓC NHÌN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCPHẠM THỊ LAN ANH BẤT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ LAN ANH

BẤT ĐẲNG THỨC

TỪ GÓC NHÌN HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ LAN ANH

BẤT ĐẲNG THỨC

TỪ GÓC NHÌN HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

Chương 1 Sử dụng độ dài trong chứng minh bất đẳng thức 3

1.1 Các bất đẳng thức liên quan tới tam giác 3

1.2 Đường gấp khúc 8

1.3 Trung bình cộng và trung bình nhân 11

1.4 Một số bất đẳng thức về giá trị trung bình 16

1.5 Phép thế Ravi 23

1.6 Bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số 24

1.7 Một số bài toán khác 28

Chương 2 Sử dụng diện tích và thể tích chứng minh bất đẳng thức 33 2.1 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) 33

2.2 Bất đẳng thức Chebyshev 36

2.3 Bất đẳng thức AM- GM cho ba số 41

2.4 Bất đẳng thức Guha 47

2.5 Giá trị trung bình của hai phân số a b và c d 50

2.6 Bất đẳng thức Schur 52

2.7 Bất đẳng thức Cauchy -Schwarz 54

2.8 Bất đẳng thức Aczél (János Aczél) 57

2.9 Một số bài toán khác 60

Danh sách hình vẽ

1.1 Minh họa chứng minh phần thuận định lý về bất đẳng thức

tam giác 4

1.2 Minh họa chứng minh phần đảo định lý về bất đẳng thức tam giác 5

1.3 Minh họa bất đẳng thức √a + b < √ a +√ b 6

1.4 Minh họa ứng dụng của bất đẳng thức tam giác 6

1.5 Minh họa ứng dụng của bất đẳng thức tam giác 7

1.6 Hình hộp chữ nhật và bất đẳng thức 8

1.7 Minh họa bất đẳng thức bốn số không âm 9

1.8 Minh họa bất đẳng thức Minkowski 10

1.9 Minh họa bất đẳng thức AM- GM 11

1.10 Hình chữ nhật nội tiếp hình tròn 12

1.11 Minh họa bài toán Dido 12

1.12 Bài toán cực trị đầu tiên 13

1.13 Minh họa bất đẳng thức AM- GM 14

1.14 Minh họa nhận xét 1.2 15

1.15 Minh họa nhận xét 1.5 16

1.16 Minh họa các bất đẳng thức (??) 17

1.17 Hình thang và các giá trị trung bình 18

1.18 σN > σM khi và chỉ khi N nằm “cao hơn” M 20

1.19 Tam giác vuông và trung bình điều hòa 21

1.20 Tam giác vuông và các giá trị trung bình 22

1.21 Minh họa phép thế Ravi 23

1.22 Bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số 25

1.23 Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số 27

2.1 Minh họa 1 cho bất đẳng thức AM-GM 34

2.2 Minh họa 2 cho bất đẳng thức AM-GM 34

2.3 Minh họa bất đẳng thức ad + bc < ac + bd 35

2.4 Minh họa bất đẳng thức a2b + ab2 ≤ a3 + b3 35

2.5 Minh họa 1 của bất đẳng thức Chebyshev 37

2.6 Minh họa 2 của bất đẳng thức Chebyshev 37

2.7 Minh họa bất đẳng thức Voicu 40

2.8 Minh họa bổ đề 2.1 41

2.9 Minh họa 1 của bất đẳng thức AM-GM cho ba số 43

2.10 Minh họa 2 của bất đẳng thức AM-GM cho ba số 44

2.11 Hình trụ nội tiếp hình nón 45

2.12 Minh họa bất đẳng thức Guha 47

2.13 Tam giác nội tiếp đường tròn 49

2.14 Minh họa giá trị trung bình của hai phân số 50

2.15 Giá trị trung bình của phân số 51

2.16 Nghịch lý Simpson 52

2.17 Bất đẳng thức Schur 53

2.18 Minh họa 1 bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 55

2.19 Minh họa 2 bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 56

Mở đầu

Bất đẳng thức đóng một vị trí quan trọng trong toán học Bản thân bất đẳng thức (và đẳng thức) có ý nghĩa độc lập: Bất đẳng thức (đẳng thức) thể hiện mối quan hệ (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng nhau) giữa các đại lượng Nhiều bài toán tối ưu (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất), giải phương trình

và hệ phương trình, cần đến hoặc thực chất là đánh giá bất đẳng thức Bất đẳng thức cũng đóng vai trò quan trọng trong giảng dạy và phổ biến toán học trong các trường phổ thông và đại học Phần lớn các bất đẳng thức được chứng minh và sử dụng thông qua các phép biến đổi đại

số Theo tìm hiểu của tôi, hiện chưa có một tài liệu hoặc một luận văn cao học nào dành riêng trình bày các phương pháp hình học chứng minh bất đẳng thức Trong khi đó, nhiều bất đẳng thức có thể minh họa hoặc chứng minh bằng hình học Chứng minh hình học các bất đẳng thức thường đơn giản và trực quan hơn, vì vậy cho phép nhìn bất đẳng thức dưới góc nhìn sinh động hơn Theo một nghĩa nào đó, có thể coi chứng minh hình học là một phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá độc đáo

Trong khuôn khổ luận văn này tôi xin được trình bày đề tài: “Bất đẳng thức từ góc nhìn hình học” Luận văn được tổng hợp từ cuốn sách của Claudi Alsina, Roger B Nelsen [2] và tham khảo thêm một số tài liệu khác (thí dụ, [4], [5])

Mục đích của luận văn này là trình bày phương pháp sử dụng hình học

để chứng minh các bất đẳng thức

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các tài liệu tham khảo, bố cục của luận văn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Sử dụng độ dài trong chứng minh bất đẳng thức Chương 1 trình bày sử dụng độ dài trong chứng minh các bất đẳng thức, như bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình bình phương

Chương 2 Sử dụng diện tích và thể tích chứng minh bất đẳng thức Nhiều bất đẳng thức có thể được chứng minh nhờ công cụ diện tích và thể tích Chương này trình bày phương pháp diện tích và thể tích chứng minh bất đẳng thức

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm

và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Học viên Phạm Thị Lan Anh

Chương 1

Sử dụng độ dài trong chứng minh bất đẳng thức

Chương này gồm bảy mục, trình bày một số bất đẳng thức cơ bản được

sử dụng liên quan tới nội dung nghiên cứu của đề tài và ứng dụng các bất đẳng thức này để chứng minh, vận dụng vào các hệ quả, ví dụ cụ thể Nội dung của chương dựa chủ yếu theo tài liệu [2] và tham khảo thêm một số tài liệu khác (thí dụ, [4], [5])

1.1 Các bất đẳng thức liên quan tới tam giác

Định lý 1.1.1 (Bất đẳng thức tam giác) Ba số dương a, b, c tạo thành

độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi a + b > c, b + c > a và

a + c > b

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức thứ hai, hai bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự Gọi a, b, c là các chiều dài cạnh của tam giác

ABC như trong Hình 1.1 Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho

AD = AC Trong tam giác BCD, ta sẽ so sánh BD với BC

Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên

\

BCD > ACD.\ (1.1)

a

B

C

b c

b A

D

Hình 1.1: Minh họa chứng minh phần thuận định lý về bất đẳng thức tam giác

Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên

\

ACD = ADC(=\ BDC).\ (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) suy ra:

\

BCD > BDC.\ Trong tam giác BCD, ta có \BCD > BDC\ nên theo định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác, ta suy ra

AB + AC = BD > BC,

hay c + b > a Tương tự ta cũng chứng minh được a + b > c và a + c > b Ngược lại, nếu a + b > c, b + c > a, a + c > b ta chứng minh tồn tại tam giác ABC sao cho AB = c, BC = a, AC = b Thật vậy, dựng đường tròn tâm A bán kính bằng b và đường tròn tâm B bán kính bằng a Nếu tồn tại tam giác ABC thì hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm (điểm C)

Hình 1.2: Minh họa chứng minh phần đảo định lý về bất đẳng thức tam giác

Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử hai đường tròn này không cắt nhau, khi đó hai đường tròn tiếp xúc hoặc rời nhau

+ Trường hợp 1: Hai đường tròn tiếp xúc

- Hai đường tròn tiếp xúc trong thì b = a + c (nếu đường tròn tâm A

chứa đường tròn tâm B) hoặc a = b + c (nếu đường tròn tâm B chứa đường tròn tâm A)

- Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì c = a + b

+ Trường hợp 2: Hai đường tròn rời nhau

- Hai đường tròn chứa nhau thì b > c + a (nếu đường tròn tâm A chứa đường tròn tâm B) hoặc a > c + b (nếu đường tròn tâm B chứa đường tròn tâm A)

- Hai đường tròn nằm ngoài nhau thì c > a + b

Như vậy, tất cả các trường hợp xảy ra đều mâu thuẫn với giả thiết Do

Từ bất đẳng thức tam giác, có thể suy ra nhiều bất đẳng thức thú vị

Ví dụ 1.1.2 ([2], p.3) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có thể nhìn bất đẳng thức đại số √a + b ≤√a +√

b dưới các cạnh của một tam giác vuông (Hình 1.3, coi a = 0 là trường hợp tam giác suy biến thành đoạn thẳng)