Tổng quan kiến thức chương trình Toán 8 học kỳ 2 qua những bài toán hay

"Tập hợp tắt cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kỷ hiệu bởi chữ S.. "_ Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm hay tìm tậ

"_ Nếu xạ là một giá tri sao cho A(X) = B(xu) là một đẳng thức đúng thì

x =xụ được gọi là một nghiệm của phuong trinh A(x) = B(x)

"_ Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, ., vô

số nghiệm, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình vô nghiệm)

"Tập hợp tắt cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kỷ hiệu bởi chữ S

"_ Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó

"_ Số nghiệm của phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giác trị

của ẩn trên tập hợp số nào

Tlai phường trùnh tương đương,

a) Định nghĩa: Hai phương trình gọi là trơng đương với nhau khi chúng

có chung một tập hợp nghiệm

= Su tương đương ký hiệu bởi dấu © Phương trình (1) tương đương

với phương trình (2), ta viết: (1 © (2)

= Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương (tập nghiệm

b) Hai qui tắc biến đổi tương đương:

"_ Qui tắc chuyển vế: Nếu chuyển một hạng tử từ về này sang về kia

của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử áy thì được một

phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

A(x) = B(x) + C(x) <= A(x) —C(x) = B(x)

"_ Qui tắc nhân: Nếu ta nhân (hay chia) một số khác 0 vào 2 về của

một phương trình thì được một phương trình mới trơng đương với phương trình đã cho

a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là x = 2

b) Chứng minh: x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2) c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không, vì sao ?

Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:

Khia) Ans6 x chỉ nhận những giá trị trên tập N

b) An sé x chi nhận những giá trị trên tập Z

c) An sé x chi nhận những giá trị trên tap Q

d) Ấn số x chỉ nhân những giá tri trén tap R

Tim giá trị của k sao cho:

a) Phuong trinh: 2x +k=x-1 có nghiệm x = - 2 b) Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) - 5x +2)=40 có nghiệm x=2

c) Phương trình: 2(2x + I) + I§=3(x + 2)(2x+k) có nghiệm x= lI

d) Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1)— 4(1 + 2x)= 80 có nghiệm x =2 Tìm m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương:

a) m-(m+l)x+l=0_ và (x—1)2x-1)=0

b) (x—3)(ax +2) =0 và (2x+b)\x+l)=0

3.13 Giải các phương trình sau:

2futerg trùứvtícf

Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng:

A(x)xB(x)x xC(x)=0 (D trong do A(x), B(x), ., C(x) la nhitng biéu thite an x

n) (5x*-2x + 10)’ = (3x? + 10x — 8Ÿ

b) x°-5x+6=0 d) 2x?-6x+1=0

f) 2x°+5x+3=0

h) xX-4x+3=0

j) x +6x—-16=0 b) 9x? — 30x + 225 =0

Cho phương trình (Ấn x): 4x”— 25 + k” + 4kx = 0

a) Giải phương trình với k= 0

b) Giải phương trình với k =— 3

e) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = - 2 làm nghiệm

Cho phương trình (ấn x): xÌ + ax”— 4x 4= 0

a) Xác định m đề phương trình có một nghiệm x = 1

3.18

3.19

3.20

3.21

b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình

Cho phương trình (Ân x): x`— (m”— m + 7)x - 3(m” - m— 2) =0

a) Xác định a đê phương trình có một nghiệm x = — 2

b) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình

Cho biểu thức hai biến: f(x, y) = (2x - 3y + 7)(x + 2y~ 1)

a) Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (an x) f(x, y) = 0 nhận

Phuong trink chita dn ở mẫu

Phương trình chứa ấn ở mẫu: ngoài những phương trình có cách giải đặc

biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau:

"_ Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

"- Quy đông mẫu thức và bỏ mẫu

"- Giải phương trình sau khi bỏ mẫu

"_ Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không Chú ÿ chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa

" Két luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa

4 2x-5_ 2x 1 3x? 2x

© = X+2x-3 = x+3 — x-l f) x-l x-l gd a x+x+*l 2

2 = x-l_x+3 = h 2 7 3 - 1

kh -x?+6x-8 x-2 x-4 ) x2 -xai I-x” x+l i) bg 2x x p 5 4X43 _9

Phuong trinh cé he v6 chita tham v6

I Phường trình có hệ aố có chuu tham sé:

Các hệ số bằng chữ trong phương trình còn được gọi là tham số

Với mỗi giá trị của tham só, ta được l phương trình khác, do đó

nghiệm và số nghiệm của các phương trình có thể khác nhau

Giải và biện luận phương trình theo tham số là khảo sát nghiệm và số nghiệm của phương trình đó theo các giá trị khác nhau của tham số Khi giải phương trình có hệ số chứa tham số ta cân chú ý: Khi chia cho một biểu thức chứa tham số phải đặt điều kiện cho các tham số để

biểu thức áy khác 0

2 Giải uà biện luận phường trình có hệ 36 chứ tham aố

Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một về, các hạng tử khác sang một về, thu gon để đưa vê phương trình dạng Ax = B (1) Phân tích A, B thành nhân tử (nếu được)

Biện luận:

Nếu 4 #0: phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 7

Y Néu A =0, phuong trinh (1) cb dạng: 0x = B

+ Nếu B = 0, (1) © Ox = 0: phương trình (1) có nghiệm tùy ý + Nếu B <0: phương trình (1) vô nghiệm

3 Phường trình cớ nghiệm theơ điêu kiện:

Trong thực hành, đôi lúc dé không yêu câu giải và biện luận mà chỉ yêu

cầu một phân nhỏ trong phân giải và biện luận

"_ (1) có nghiệm khi © A#0 hoặc _

3 Minh họa giải uà biện luận phường trình bằng aơ đồ aau:

Giải bài toán bằng cách tập plương trình

I Các buốc giải

"_ Bước I: Lập phương trình:

Y Chon din sé và đặt điều kiện thích hợp cho an số

v_ Biểu diễn các đại lượng chị biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

* Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

2 fllột aố kiến thưứt cần lưu Ú

4) Loại toán cầu tạo số:

v Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab

Giá trị của số: ab = 10a + b; (Dk: 1<a <9 và 0<b <9, abe N)

vˆ Số có ba, chữ số được ký hiệu là abe

abe = 100a +10b + c, (Đk: 1 Sa $9 va 0 Sb, cS9; a,b,c EN)

b) Loại toán chuyển động:

* Có 3 đại lượng là quãng đường (9), vận tốc (v) và thời gian (0) liên

hệ bởi công thức: s = v.t

* Chuyển động trên dòng nước chảy:

4& Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng

3# Vận tốc xuôi dòng = vận tóc riêng + vận tóc dòng nước

4k Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng — vận tốc dòng nước

©) Loại toán “làm chung — làm riéng” mét công việc hoặc với “voi

nước chảy chung — chảy riêng” đây bê:

Có 3 đại lượng:

- Néu voi nào chảy riêng một mình đây bể trong x (giỏ) thi trong

1 giờ vòi đó chảy được 1 (bé)

#

3 Mét 6 vi du minh hea cach chọn ẩn

a) Thông thường ta hay chọn ấn số dựa vào câu hỏi của đề bài Bai

toán hỏi điều gì, ta chọn điều đó làm ấn số

Ví dụ: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 450m Nếu tăng chiêu dài

thêm : chiều dài cũ và giảm chiều rộng đi : chiêu rộng cũ thì chu vi khu đất không thay đổi Tính diện tích khu đất lúc đâu

Giải:

= Mia chu vi khu đất là: 452 : 2 = 225 (m)

= Goi chiéu dài khu đất là x (m) Điều kiện: x > 0

Khi đó:

- Chiều rộng của khu đất là: 225 —x (m)

-_ Chiều dài khu đất sau khi tăng thêm là: x+ ix (m)

- Chiéu réng khu dat sau khi giam di la: (225-—x)- 2(225 —x) (m)

"_ Theo đề bài, ta có phương trình (lập PT theo chu vi):

(*+zz)*((2z~2-z(za~») =225

© ©x=125 (thỏa điều kiện)

"Vậy: Chiều dài của khu đất là: 125 (m)

Chiều rộng của khu đất là: 225 — 125 = 100 (m)

Diện tích khu đất là: 100 x 125 = 12500 (m”) b) Trong một số trường hợp, ta có thể chọn ẩn số là một đại lượng

trung gian để được phương trình đơn giản hơn, dễ giải hơn

Ví dụ: Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mắt 4 giờ và ngược dòng từ bến B đến A mắt Š giờ Tính khoảng cách giữa hai bến, biết

- Van téc canô lúc xuôi dòng là: x + 2 (km/h)

- Van téc canô lúc ngược dòng là: x — 2 (km/h) -_ Quãng đường canô đi xuôi dòng (khoảng cách từ A đến B) là: 4(x + 2) (km)

-_ Quãng đường canô đi ngược dong (cũng là khoảng cách từ A

đến B) la: 5(x — 2) (km)

"_ Ta có phương trình:

3(x-2)=4(x+2)

© ©x=18 (thỏa điều kiện)

"_ Vậy khoảng cách giữa hai bến là: 4(18 + 2) = 80 km

Nếu tôi lấy của cậu một bao thì hành lý của tôi nặng gấp đôi của cậu Còn

nếu cậu lấy của tôi một bao thì hành lý của cậu mới bằng của tôi” Hỏi

Ngựa và La mỗi con mang bao nhiêu bao ?

âu than thở nỗi gi?

Nam 1999, bé 39 tuổi, con 9 tuổi Hỏi năm nào thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi

con?

Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi Hỏi năm nay Phương

bao nhiêu tuổi ?

Ông của Bình hơn Binh 58 tuổi Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người là 130 Hãy tính tuổi của Bình

An hỏi Bình: “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?° Bình trả lời:

“Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi Trước đây khi tổng số tuổi của bố và mẹ tôi là

104 tuổi thì tuổi của 3 anh em chúng tôi là 14, 10 và 6 Hiện nay tổng số

tuổi của cha mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của 3 anh em chúng tôi” Tính

xem tuổi của cha và mẹ Bình là bao nhiêu ?

Tim hai sé, biết tổng của hai số bằng 65 và hiệu của chúng là 11

Tim hai só, biết tổng của hai số bằng 75 và số này gap di sé kia

Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5 Hiệu của số đó và chữ

số hàng chục của nó bằng 68 Tìm số đó

Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 22 đơn vị, biết rằng nếu thêm 5 đơn

vị vào tử và bớt 2 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số >

Tim phan sé da cho

Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 11 đơn vị, biết rằng nếu thêm 3 đơn

vị vào tử và bớt 4 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số Tim phân số đã cho

Tìm 2 số nguyên, biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng ễ: Nếu

chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ hai cho 6 thì thương thứ nhất bé hơn

thương thứ hai là 3 đơn vị Biết rằng các phép chia nói trên là các phép

chia hết

Tìm 4 số tự nhiên có tổng 2007 Biết rằng nếu số I bớt đi 2, số II thêm 2,

số III chia cho 2 và số IV nhân với 2 thì được kết quả bằng nhau Tìm 4 số

đó

Tìm số tự nhiên có hai chữ só, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào

bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153

lần số ban đầu

Tìm một số có hai chữ số Biết tổng hai chữ số là 10 và nếu đổi chỗ hai

chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số cần tìm là 18 đơn vị

Tìm một số có hai chữ số Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đó thì được

một số lớn hơn 153 đơn vị so với khi thêm chữ số 5 ở bên phải số đó.

Chu vi một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 80m Nếu giảm chiều

rộng 3m và tăng chiều dai 8m thì diện tích tăng thêm 32m” Tính kích thước miếng đất

Hoc ki I, s6 hoc sinh gidi của lớp 8A băng 3 sô học sinh cả lớp Sang học

kì II, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh? Trong môt buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành 2 tốp: tốp

thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh Tốp trồng cây đông hơn tốp

làm vệ sinh là 8 người Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu học sinh ?

Hai chiếc ôtô khởi hành từ hai tỉnh A và B, ngược chiều nhau Chiếc xe đi

từ A có vận tốc 40km/h, chiếc xe đi từ B với vận tốc 30km/h Nếu chiếc

xe đi từ B khởi hành sớm hơn chiếc xe đi từ A là 6 giờ thì 2 xe gặp nhau ở

địa điểm cách đều A và B Tìm quãng đường AB ?

Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40km/h Sau 2 giờ nghỉ

lại ở Thanh hóa, ôtô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30km/h tổng

thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ) Tính quãng

đường Hà Nội — Thanh Hóa

Một ôtô phải đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định Ôtô đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10km/h và đi nửa

sau quãng đường với vận tốc kém hơn dự định 6km/h Biết ôtô đến B

đúng thời gian đã định Tính thời gian ôtô dự định đi quãng đường AB

Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B Vận tốc ôtô I bằng ; van téc ôtô II Nếu ôtô I tăng van téc Skm/h, con ôtô II giảm van téc Skm/h thì

sau 5 giờ quãng đường ôtô I đi được ngắn hơn quãng đường ôtô II đã đi là

25km Tính vận tốc của mỗi ôtô

Ôtô I đi từ A đến B Nửa giờ sau, ôtô II đi từ B đến A với vận tốc gấp rưỡi

vận tốc ôtô I Sau đó 45 phút hai ôtô gặp nhau Tính vận tốc của mỗi ôtô, biết quãng đường AB dài 95 km

Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 gid sang, dy kién dén Hai Phong vao lic 10

giờ 30 phút Nhưng mỗi giờ ôtô đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mai dén 11 gid 20 phút xe mới tới Hải Phòng Tính quãng đường

Hà Nội — Hải Phòng

Hai người cùng khởi hành một lúc từ A đến B dài 60 km Vận tốc người I

là 12kmih, vận tốc người II là I5km/h Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì

người I cách B một quãng đường gắp đôi khoảng cách từ người II đến B ?

Một tàu chở hàng từ ga Vinh đi Hà Nội, sau đó 1,5 giờ, một tàu chở khách xuất phát từ ga Hà Nội đi Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu chở hàng

là 7km/h Khi tàu khách đi được 4 giờ thì nó còn cách tàu hàng là 25km

Tính vận tốc mỗi tàu, biết rằng hai ga cách nhau 319km

Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Tp Hồ Chí Minh 1 giờ 48 phút sau, một

đoàn tàu khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Tp Hồ Chí Minh với vận

tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5 km/h Hai đoàn tàu gặp

nhau (tại một ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ lúc đoàn tàu thứ nhất khởi hành Tính vận tốc mỗi đoàn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên

đường từ Hà Nội đi Tp Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội là 87 km

Ôtô I đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h Sau đó 1 giờ, ôtô II đi

từ tỉnh B đến tỉnh A với vận tốc 65 km/h Hai ôtô gặp nhau khi ôtô I mới

đi được 5 quãng đường AB Tính quãng đường AB

Lúc 6 giờ một ôtô khởi hành từ A Lúc 7 giờ 30 phút, ôtô II cũng khởi hành từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô I là 20 km/h và gặp ôtô I lúc 10

giờ 30 phút Tính vận tốc mỗi ôtô

Một người đi xe đạp từ A đến B Lúc đầu, trên đoạn đường đá, người đó

đi với vận tốc 10 km/h Trên đoạn đường còn lại là đường nhựa, dài gấp

rưỡi đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 15 km/h Sau 4 giờ người đó

đến B Tính độ dài quãng đường AB

Hai ôtô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163km

Trong 43 km đầu, hai xe có cùng vận tốc Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất

tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai

vẫn duy trì vận tốc cũ Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ

hai 40 phút Tính vận tốc ban đầu của hai xe.

Một xe tai đi từ A đên B với vận tôc 50 km/h Đi được 24 phút thì gặp

đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h Vì vậy đã đến nơi chậm mắt 18 phút Tính quãng đường AB

Anh Nam đi xe đạp tờ A đến B với vận tốc 12 km/h Đi được 6 km, xe

đạp hư, anh Nam phải đi bằng ôtô và đã đến B sớm hơn dự định 45 phút

Tính quãng đường AB, biết vận tốc của ôtô là 30 km/h

Hai ôtô khởi hành cùng lúc ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ Ôtô I

đi từ A với vận tốc bằng : vận tốc của ôtô II đi từ B Hỏi mỗi ôtô đi cả

quãng đường AB thì mat bao lâu ?

Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h Nhưng sau khi đi được một

giờ với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút Do đó để kịp đến B

đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 kmíh Tính quãng đường AB

Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và quay từ B về A với vận tốc

40 km/h Tính vận tốc trung bình của ôtô

Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/h Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút Tính quãng

đường AB

Một canô xuôi dòng từ A đến B mit 4 giờ và ngược dòng từ B về A mắt 5

giờ Tìm đoạn đường AB, biết vận tốc của dòng nước là 2 km/h

Lúc 7 giờ sáng, một canô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36 km, rồi

ngay lập tức quay trở về và đến A lúc 11 giờ 30 phút Tính vận tốc của canô khi xuôi dàng, biết vận tốc của dòng nước là 6 km/h

Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn

than Do đó, đội không những đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày mà

còn vượt mức 13 tấn than Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu

tấn than ?

Đầu năm học một tổ học sinh được mua một số sách vở, phải trả 72.000đ

Nếu bớt đi 3 người thì mỗi người còn lại phải trả thêm 4000đ Hỏi tổ có

bao nhiêu người ?

Một xí nghiệp ký hợp đồng dệt một số tắm thảm len trong 20 ngày Do cải

tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20% Bởi vậy, chỉ trong

18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn

dệt thêm được 24 tắm nữa Tính số tắm thảm len mà xí nghiệp phải dệt

theo hợp đồng

Một đội sản xuất dự định phải làm một số dụng cụ trong 30 ngày Do mỗi

ngày đã vượt năng suất so với dự định 10 dụng cụ nên không những đã

làm thêm được 20 dụng cụ mà tổ đó còn làm xong trước thời hạn 7 ngày

Tính số dụng cụ mà tô sản xuất đó phải làm theo kế hoạch

Một vòi nước chảy vào bể không có nước Cùng lúc đó, một vòi chảy từ

bể ra Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng : lượng nước chảy vào Sau Š giờ, nước trong bể đạt tới ; dung tích bể Hỏi nếu bể không có nước và chỉ mở vòi chảy vào thì trong bao lâu thì đầy bê ?

Hai người cùng làm một công việc trong 3 giờ 20 phút thì xong Nếu người I làm 3 giờ và người II làm 2 giờ thì tất cả được : công việc Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong công việc đó ?

Bài toán cổ:

Một đàn em nhỏ đứng bên sông

To nhỏ bàn nhau chuyện chia bòng Mỗi người năm quả thừa năm quả

Mỗi người sáu quả một người không

Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước:

Có mấy em thơ, mây quả bòng ?

Bài toán cổ Trung Hoa:

Cành sen nhỏ mọc trong hồ nước

Bông sen tròn nửa thước nhô lên

Bỗng đâu gió thỏi sang bên

Bông hoa dạt xuống nằm trên mặt hồ

Cách cành cũ được vừa hai thước (Cứ sát theo mặt nước mà đo)

Nhờ ai thạo tính giúp cho

Hồ sâu bao thước, lí do thế nào 2

a) Giải phương trình với a =— 3

b) Giải phương trình với a = 1

c) Giải phương trình với a = 0

đ) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = ; lam nghiém

Cho phuong trinh: m?(x -1) = 4(x —m-3)

a) Dinh m đê phương trình có nghiệm x = 3

b) Định m đề phương trình vô nghiệm

Tìm 2 số nguyên, biết hiệu của 2 số đó là 99 Nếu chia số bé cho 3 và số

lớn cho 11 thì thương thứ nhất hơn thương thứ hai 7 đơn vị Biết các phép

chia nói trên là các phép chia hết

Chu vi một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài bằng chiều rộng Nếu giảm mỗi chiều đi 4m thì diện tích tăng thêm 164m” Tính kích thước miếng đất

Thùng thứ nhất chứa 60 gói kẹo, thùng thứ hai chứa 80 gói kẹo Người ta lấy ra từ thùng thứ hai số gói kẹo nhiều gấp ba lần số gói kẹo lấy ra từ

thùng thứ nhất Hỏi có bao nhiêu gói kẹo được lấy ra từ thùng thứ nhất,

biết rằng số gói kẹo còn lại trong thùng thứ nhất nhiều gấp hai lần số gói kẹo còn lại trong thùng thứ hai ?

¡ sản xuất dự định phải làm 1500 sản phẩm trong 30 ngày Do mỗi

ngày đã vượt năng suất so với dự định 15 sản phẩm Do đó đội đã không

những đã làm thêm được 255 san phâm mà còn làm xong trước thời hạn

Hỏi thực tế đội sản xuất đã rút ngắn được bao nhiêu ngày ?

Hai vòi nước cùng chảy vào một bề thì sau 2 giờ bể đầy Mỗi giờ lượng

nước vòi I chảy được bằng > lượng nước chảy được của vòi II Hỏi mỗi vòi chảy riêng trong bao lâu thì đầy bể?

Bài toán cổ Trung Hoa:

Một đoạn dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì thừa ra một đoạn dây dài

0,5 m Nếu kéo căng sợi dây và cho đầu dây chạm mặt đất thì đầu dây đó

cách gốc cây 2,5 m Tính chiều cao của cây.

3 Néuséa không nhỏ hơn số b thì a > b hoặc a = b Kí hiệu: a >b

4 Néu số a không lớn hơn số b thì a < b hoặc a = b Kí hiệu: a <b

> a>bea-b>0 (cong 2 vé voi —b)

4 Cộng 2 bắt đẳng thức cùng chiều: (Chú ý: Không có trừ)

a<b

©a+c<b+d c<d

7 Nang lén lity thiva:

V Phwong phap ching minh bắt đẳng thức

1 Dung dinh nghia

Nếu bắt đăng thức (2) hiển đúng thì bắt đăng thức (1) là đúng

Ding bat dang thuứa trung gian

Từ bắt đẳng thức này, kết hợp với các tính chat để suy ra bắt đẳng thức phải chúng mình

a) Tổng của -3 và I nhỏ hơn hoặc bằng -2

b) Hiệu của 7 và —I5 nhỏ hơn 20

c) Tích của -4 và 5 không lớn hơn —18

d) Thương của 8 và -3 lớn hơn thương của 7 và -2

Cho a < b, hãy so sánh:

8) a+lvàb+l b)a-2vàb-2 c) a-Svab-5

d) 2a+1va2b+1 e) 2a+1va2b+3 Ð 4-3a và 2—3b

a) 2a va 2b b) 2avàa+b c) -ava—b

d) 5a va 5b e) — 3a và — 3b ? a+bvà 2b

a) 3a+1<3b+1 b)-2a-5>-2b-5 c) 2a-3<2b-3

d) 2a-—3<2b+5 e) 2a+1<2b+1 f) 4(a—2) <4(b-2) g) 3-6a>3-6b h) l+a<3+b i) 3a<2+3b

Số a và b là âm hay dương nếu:

a) 12a< l5a b) 4a<3a ©) -3a>—5a

Đốtplufeng trùdk một tu Đốt phương trù bậc nhất một ain

1 Bất phương (rình n

I Cho A@) và B4) là hai biểu thức chứa một biến x Khi đó ta gọi hệ

thie A(x) < B(x) (hay A(x) > B(x), A(x) = BCX), A(x) < B(x) là bắt

phương trình một ẩn với Gn Id x A(x) la ve trai, B(x) la vé phai cia

bat phuong trinh

2 Giá trị của ẩn làm cho phương trình trở thành bất đẳng thức đúng gọi

là nghiệm của bất phương trình

8 Tap hop tat cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình

4 Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bat phương tình đó

IL Bất phương trình (ương đương;

2 Tai quụ tắc biến đổi tương đường bất phường trình:

" Quy tic chuyén vé: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ

về này sang về kia của một bắt phương trình ta phải đổi dấu hạng

từ đó để được bắt phương trình tương đương

A(x)+ B(x)>C(x)© A(x)>C(x)~ B(x)

" Quy tắc nhân: Khi nhân 2 về của một bắt phương trình với một số

khác 0, đề được một bat phương trình tương đương ta phải:

* Giữ nguyên chiều của bắt phương tình nếu số đó dương

—> Với m > 0, ta có: A(x)> B(x)© m.A(x)>m.B(x)

—> Với m < 0, ta có: A(x)> B(x)© m.A(x)<m.B(x)

»x Chú ý: Chia cho một số khác 0 tức là nhân với số nghịch đảo của nó,

nên khi chia ta vận dụng như quy tắt nhân

b) Giải bất phương trình đưa được về dạng ax + b <0 (ax + b > 0,

ax +b <0, ax +b30):

v Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một về, các hạng tử còn lại sang một về Thu gọn và đưa bắt phương tình về dang A(x) < B(x) (I) (hay A(x) > B(x), A(x) = B(x), A(x) <B@))

Y Néu A > 0, bat phương tình (1) có nghiệm là x <4 Nếu A < 0, bat phương tình (1) có nghiệm là x >=

Nếu A = 0 thì (1) © 0x < B, khi đó:

+ Nếu B <0 thì bắt phương trình (1) vô nghiệm

ok Nếu B > 0 thì bất phương trình (1) có nghiệm tùy ý

Thông thường một bát phương trình có vô sô nghiệm nên không thê

kiệt kê hêt được Người ta chọn cách thê hiện tập nghiệm bang cách

Y x ER (vô số nghiệm) mm ps (10) x €/Ø(ô số nghiệm) ah amit

x Chú ý: Tại a, biểu diễn ngoặc vuông “, ]” tức trong tập nghiệm có

xX =a, con ngược lại biéu dién ngoặc đơn “(, )” khi x = a không thuộc tập nghiệm

a) Tổng của một số nào đó và 5 nhỏ hơn 5

b) Hiệu của 9 và một số nào đó nhỏ hơn —12

c) Tông của hai sô nào đó và 3 lớn hơn 12

đ) Hiệu của Š và 3 lân số đó nhỏ hơn 10

e) Tổng của số nào đó với hai lần số đó không vượt quá -5

Giải các bất phương trình sau:

3 a) xol_ 7x43 2x41 3-2x

Tìm các giá trị của x sao cho:

a) Giá trị của biểu thức 2x — 5 không âm

b) Giá trị biểu thức — là âm

3x—18

8x -15

c) Giá trị biểu thức là dương

đ) Giá trị biểu thức Š— * +2 là không dương

e) Giá trị của biểu thức — 3x không lớn hơn giá trị của biểu thức — 7x + 5

5-2x 5x-2 f) Gia tri phân thức lớn hơn giá trị phân thức —

ø) Giá trị phân thức >Š ~ nhỏ hơn giá trị phân thức — l

h) Giá trị phân thức HO lớn hơn giá trị phân thức x(10x —3) ‘+x

a) x<5©(a—b)x<5(a—b) b) x>2€©(a—b)< 2(a—b)

Với giá trị nào của m thì phương trình ân x:

a) x—3=2m+ 4 có nghiệm dương b) 2x —- 5 =m + 8 có nghiệm âm.

2 tương trình chứa đầu giá trị tuyệt đốt

é la| +|b| >|a+b| é la| -|ls|[ <la—b|

# lal.lsl = la2l 4 Jl-|# lo] |e

38 Giải một phường trùnh cớ chứu dấu giá trị tuyệt đối

Để giải một phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta quy về việc giải hai phương trình ứng với biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối âm hay dương Sau khi giải xong từng phương trình kiểm tra lại nếu nghiệm thỏa

điều kiện thì nhận không thì thôi

1 Các dạng phường trình chứu dấu giá trị truột đốt thung gặp:

“ Dạng 1: |A| =B (1) đới B là một số thực không chứa biến)

e_ Nếu B<0: phương trình vô nghiệm

© Nóu B>0:(1) A= Bhoặc A=—B

+ Dang 2: |A| =B (2) đới B là một biểu thức có chứa biến)

có nghiệm là (**)

Vậy nghiệm của phương trình là: (lây nghiệm của hai trường hợp trên)

“+ Dang 5: Phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt dối:

© Tim giá trị của ăn để biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối bang 0

Các giá trị này khi biểu diễn lên trục số sẽ chỉa trục số thành nhiều

khoảng giá trị của ẩn

© Cho An lay giá trị trên từng khoảng, trên từng khoảng đó dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối sẽ âm hoặc dương Dựa

vào đó mà bỏ dấu trị tuyệt đối

© Giải phương trình, giá trị tìm được phải nằm trong khoảng đang xét mới nhận làm nghiệm

© Nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm vừa tìm được trên từng khoảng

4.29 Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:

4) A=3x+2+ |5x| trong hai trường hợp: x > 0 và x < 0

b) B= |-4x_| — 2x + 12 trong hai trường hợp: x < 0 và x > 0

4.30

743)

h) H=x+5-—_—— i

x +3 Giải các phương trình sau:

®

h) ) )

4x +3] =0 5x —2x| =1 3212x - 1994|=— 5

x+4| =2x-5 9+x| =2x x+6| =2x+9

x—4| +3x=5

4+2x| =-4x

3x-1|=x-2 x-3|=4-x x-7|-3=x x-8§| =x|

5-2x| =1-x x+15| =3x-1