Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 117

So117 Full re pdf

NĂM THỨ MƯỜI BA ISSN 1859-2740

Children’s Fun Maths Journal

Thư kí tòa soạn:

NGUYEN XUAN MAI

TS NGUYEN MINH DUC

ThS NGUYEN ANH DUNG

PHAM VAN TRONG

ThS HO QUANG VINH

TOA SOAN:

Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh,

quận Thanh Xuân, Hà Nội

Điện thoại (Tel): 04.35682701

Điện sao (Fax): 04.35682702

Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn

Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn

DAI DIEN TAI MIEN NAM:

TRAN CHi HIEU

Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO,

NGUYEN NGOC HAN, PHAN HƯƠNG

Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG,

MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH

Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN

Mĩ thuật: TÚ ÂN

CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN

Chi tich HBTY hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam:

NGUT NGO TRAN Al

Tong bién tap kiém Pho Ting Giam dic NXBGD Vidt Nam:

TS NGUYEN QUY THAO

® Giải toán thế nào?

Thêm một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

® Vào thăm vườn Anh

Tu nao?

Ta quy ước gọi một tam giác có độ dài các

cạnh là các số nguyên dương liên tiếp là fam giác

nguyên liên và nếu cạnh nhỏ nhất của tam giác

là n (với n c Z) thì đó là tam giác nguyên liên thứ n

Chúng ta cùng tìm hiểu một số tính chất của

tam giác đặc biệt này

I) Các tính chất cơ bản

Dưới đây ta xét tam giác ABC là tam giác

nguyên liên có các cạnh thỏa mãn AB < BC < CA

Ta thấy nếu n = 1 thì độ dài các cạnh không thỏa

mãn bất đẳng thức tam giác nên chỉ xét n > 1

Tính chất 1

- Với n = 2 thì tam giác ABC tù và đây là fam

giác nguyên liên tù duy nhất

- Với n = 3 thì tam giác ABC vuông và đây là

tam giác nguyên liên vuông duy nhất

- Với n > 3 thì tam giác ABC nguyên liên nhọn

Chứng minh Ta thấy rằng trong tam giác

Ta có các kết quả quen thuộc sau:

- Tam giác ABC tù tại B khi và chỉ khi

` TAM GIÁC ĐẶC BIỆT

LÊ PHÚC LỮ (SV Đại học FPT TP Hồ Chí Minh)

t>0©(n-1)^>4e©sn-1>2en>3

Các tính chất tiếp theo dưới dây được xét

trong tam giác nguyên liên nhọn

Tính chất 2 Trong fam giác nguyên liên nhọn

ABC, phân giác AD chia đoạn BC thành hai đoạn

lần lượt có độ dài bằng nửa cạnh AB, AC

Chứng minh Theo tính chất đường phân giác

trong tam giác, ta có

Tính chất 3 Trong fam giác nguyên liên nhọn

ABC, đoạn thẳng nối trọng tâm G và tâm đường

tròn nội tiếp Ì song song với cạnh BC

Chứng minh Gọi H, E lần lượt là hình chiếu

cua A va l lên đoạn BC

Ta thấy IE chính là bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác ABC

1

Ta có Saac = -AHBC = IE(AB +BC+CA)

© AHfn + 1) = IE(3n + 3) © IE = SẠH (1)

2)

Mặt khác, vì G là trọng tâm tam giác nên

Do đó G cũng cách BC một khoảng bằng Ta co dpem

T1 AH (2) Tính chất 6 Néu goi H, D,M là chân đường

Từ (1) và (2) suy ra IG // BC (dpcm) tam giác ABC và E là tiếp điểm của đường tròn

Tính chất 4 Độ dài đoạn thẳng IG không đổi nội tiếp với cạnh BC thì khoảng cách giữa các

Chứng minh Kéo dài AI, AG cắt BC tương điểm này không đổi

Chứng minh Ta có

Zno tai inh chat 2 thi BD -2

Ung tai D, M Theo tinh chat 2 thi BD = 2 CA+CB-AB n+3

Theo tính chất 3, đoạn IG song song với DM

nên theo định lí Talét ta có

B DM C Mà MG=———,C€D=-—=———

Vậy IG có độ dài không đổi nên HE = HC - EC = 1, HM = HC - MC -= 2 và

Tính chất 5 Nếu H là chân đường cao kẻ tỪA HDb =Hc-CD - Š

xuống BC thì HC - HB không đổi ˆ

Chứng minh Vì các tam giác ABH và ACH Vậy khoảng cách giữa các điểm H, D, M, E

đều vuông ở H nên theo định lí Pytago, ta có không đổi (đpcm)

3)

oXinay Cain gi wita khong?

Trong một cuốn sách tham khảo có bài toán sau:

Bài toán Cho hàm số y = (m + 4)x — m + 6 (d) Chứng minh rằng khi m thay

đổi thì các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải Giả sử đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x,; Y,) cố định với mọi m

- Với m= 1 thì y„ = (1+ 4)x, -1+6 ©y, =5x, +5 (1)

- V6i m =-1 thiy, = (-1+ 4)x,+1+6 ey, = 3x, +7 (2)

Tu (1) va (2) suy ra 5x, + 5 = 3x, + 7 @ 2x, =20%, =1

Khi đó từ (1) ta có y„ = 10

Vậy khi m thay đổi các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định M(1; 10)

Bạn thấy lời giải đó thế nào? Có cần thêm gì không?

PHẠM LIÊN (GV THCS Mai Dịch, Cầu Giấy, Hà Nội)

© Két qua CACH GIA BA TUYET VOU CHUA? crite 25.115

Nhận xét Câu hỏi kì này tương đối khó, đa số

chỉ được chỗ sai nhưng không có nhiều bạn sửa

cho đúng

Lời giải trên sai ở chỗ: Đã coi vận tốc của An

bằng = vận tốc của Bình trên cả quãng đường

Cụ thể khi Bình đã lên tới đỉnh dốc (lên được

700m) và bắt đầu xuống dốc với vận tốc tăng lên

gấp đôi, An mới lên được: 700 < = 600 (m)

Khi đó An còn phải lên dốc tiếp 100 m nữa với

vận tốc lúc này chỉ bằng 8 hay 3 vận tốc của

Sau đó Bình quay lại với vận tốc gấp đôi nên

khi An đi nốt 700 — 600 = 100 (m) lên dốc thì

Bình xuống dốc được một đoạn đường là:

An cách Bình một đoạn là: 700 — 400 = 300 (m) Phần thưởng kì này được trao cho các bạn: Phạm Anh Quân, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Việt Anh, 6A5, THCS

Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Vũ Đức Văn, 6l,

THCS Ba Đình, Ba Đình, Hà Nội; Cao Hữu Dat, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm

ANH KINH LUP

4)

` w

e Kin FINA LAP a

Bạn hãy chọn một trong năm hình A, B, C, D, E để điền vào dấu hỏi chấm cho

Quy luật Bắt đầu từ góc cuối cùng bên trái,

đi theo kiểu “rắn trườn” từ hàng dưới lên hàng

trên cùng, các số 38219 lặp đi lặp lại Bảng phải

chọn là bảng B

Các tập thể và cá nhân sau nhận giải kì này:

Nguyễn Văn Cường, 8A1, THCS Sông Lô, Sông

Lô; Nguyễn Khả Quang Huy, 8B, THCS Lý Tự

Trọng, Hương Canh, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc;

Khen các bạn sau cũng có lời giải tốt: Đào Thị

Thúy Hằng; 9D, Lê Thị Dung 7E1; Đỗ Văn

Quyết, 8C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh

Phúc; Nguyễn Đức Thuận, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ -

NGUYÊN XUÂN MAI

LOW TAM SU CUA BO THI creo tnoo rene 20

kinh tế văn hóa của khu vực và nay là trung tâm

vùng, góp phần hình thành và tỏa sáng nhiều giá

trị nhân văn của dân tộc, thực sự là địa linh nhân

kiệt

Kì này ta đố các cháu: Hãy nói về các quốc lộ

21, 10, 1, 38 có nhắc đến trong câu chuyện của

ta Điểm bắt đầu, các đô thị chính nó đi qua, điểm

kết thúc, chiều dài toàn tuyến? Hãy sắp xếp thứ tự

tính từ Hà Nội các địa điểm sau: Ninh Bình, Cầu Giẽ, Pháp Vân, Liêm Tuyền, Cao Bồ, Đại Xuyên

trên tuyến cao tốc mới khánh thành

VŨ THANH THÀNH

DAT MUA TAP CHi CA NAM HOC 2012 - 2013 TAI CAC CO SO BUU BIEN TRONG CA NUUC

5)

qe THEM MOT SO BAI TORN

as” CO CHUA DAU GIA TRI TUYET AO ĐINH VĂN ĐÔNG (GV THCS Thanh An, Thanh Hà, Hải Dương)

Tạp chí TTT2, tháng 3.2011 có bài viết Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt

đối để giải phương trình Trong bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu thêm một

số bài toán có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối

Bài toán 1 Giải phương trình

Do đó phải xảy ra dấu bằng ở các bất đẳng

thức trên Điều này được thực hiện khi và chỉ khi

x= 15

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 15

Bài toán 2 Giải phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4

Bài toán 3 Giải phương trình

Vậy MinF(x) = 15 tai x = 4

Bài toán 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy MinA = 1012036 khi 1006 < x < 1007

Bài toán 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B = |x| + |2x + {1| + |3x + 2| + + |98x + 97| +

[99x + 98]

6)

,PLEASE MAKE OFFERS

93536 — 86753 = 6783

7460 + 7547 = 15007

842 + 2688 + 54 = 3584 74+ 74 + 944 = 1092

Nhận xét Hầu hết các bạn điền đúng số thay

| cht TTT uu tiên hơn những bạn có lí giải Các

- bạn sau nhận thưởng kì này: Vũ Đức Văn, 8l,

| THCS Ba Dinh, Ba Đình; Vương Tiến Đạt, 7B,

- THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội;

| Dang Thi Ngoc Minh, 7C8, THCS Truong Cong

Định, Lê Chân, Hải Phòng; Đỗ Đăng Dương,

KÌ 6G

Bạn hãy thay mỗi chữ cái bởi một chữ số sao cho được phép tính

đúng, biết rằng các chữ cái khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau

TRƯƠNG CÔNG THÀNH (Hà Nội)

Bai tap tu luyén

Bài 1 Giải phương trình

Ix — 1] + |x- 2| + |x - 3| + + |x - 100|

= 100x - 5072 + 100Vx —100 + 2Vx + 21

Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

= |X| + |2x + †1| + |3x + 2| + |4x + 3| + |5x + 4 + |Bx + 5| + |7x + 6]

7

Bài 1 (E) Đó là số duy nhất nhỏ hơn 1

Bài 2 (D) Ngoài (D) tất cả các số khác đều

Bài 5 (A) Đặt khoảng cách giữa thị trấn A và

thị trấn B là 3s Tổng thời gian lên dốc, nằm

ngang, xuống dốc tương ứng là , - và

Bài 6 (D) Để ý rang ABCD = AACE (c.g.c vi

BC =AC, CD = CE va ACE = 609 —ECB = BCD)

Do đó AEC = BDC Ta cé

x° = 360° -AEC -BEC =360° -BDC -BEC

= EBD +ECD =62° + 60° =122°

Vay x = 122

Bài 7 (E) Ta không có cách nào để giảm số

lần cắt ít hơn 6 Chỉ xét khối lập phương ở chính

giữa (khối lập phương mà mỗi mặt của nó được

Bài 10 (C) Ta chỉ cần ước lượng để loại trừ kết

quả sai 411~3,3 và 5 ~2,2, vì vậy tổng là

Dé thi Olympic Toán Singapore

Singapore Mathematical Olympiad (SMO) 2010

(Junior Section Solutions)

Ta có a > 0 và -a > 0 vì chúng ở trong căn bậc

hai Từ đó a = 0 Do đó y = 2010

Bài 12 Từ đề bài ta dễ dàng thấy b = 5,

ab = 25 hoặc b = 6, ab = 36 Thử lại ta được b = 6,

Bài 15 Chú ý rằng cả tử và mẫu của phân số

đã cho đều là cấp số cộng Bỏ đi ước chung ta

113+115+117+ +333+335 1+3+5+ +109+ 111

Ta có bốn kết quả

(r, c) = {(1, 1), (4, 6), (7, 11), (10, 16)}

Bài 17 Có một cách trực tiếp để tìm lời giải

của bài toán là phân tích 14807 trực tiếp Nói

cách khác, ta hi vọng A và B có những ước chung

để rút gọn Đó là chiến lược tốt bởi vì có thực tế

sau: “Ước chung lớn nhất của A và B, bằng ước

chung lớn nhất của A + B và bội chung nhỏ nhất

của A và B'

2010 dễ dàng tách thành 2 x 3 x 5 x 67 Thử

trực tiếp ta thấy 67 là ước của 14807 Ta có thể

kết luận 67 cũng là ước chung của A và B Ta có

thể đơn giản bài toán bằng cách tìm a, b sao cho

Bai 18 a_(1) có thể viết lại thành mối quan hệ

đơn giản f = 2f,_, — f,_., Ía = † và f, = 3 Ta dễ

dàng tìm được f = 2n + 1 Hay a-o+g(1) = Ízn+o =

2(2010) + 1 = 4021

Bài 19 Tam giác ABC phải là tam giác vuông

Dat x = AC va y = BC, theo định lí Pytago ta có

x* + y? = 102

s* = (x + y)* =x* + yˆ + 2xy = 100 + 2S,,

Gia tri I6n nhat cla S,,, dat duge khi x = y

chọn một thủ môn, hai tiền đạo, bốn tiền vệ Còn

dư ra các tiền vệ và hậu vệ họ đều có thể chơi tốt

thành [( + y)ˆ — xy]@^y? — y^y2)[(& — y)^ + xy]

= (x* + xy + y*)y2(x — y)(x + y)( x? — xy + y4)

= y*(x> — y?)(x? + y3) = y2(x® — y)

Bài 25 Từ 0,9y < x < 0,91y, ta có 0,9y + y <x

+ y <0,91y + y Do đó 0,9y + y < 59 và 0,91y + y

> 56 Điều đó tương đương với y < 31,05 và y >

Be THI TUYEN SINK LP 0 PHO THONG NANG HHIEU

BAIHOC QUOC GIA TP HO CHi MINH

Nam hoc: 2012 = 2013

%x %x * %x x * xxx x*%x *%x *%xk*%x*%x*x*xx*%

Bài 1 Điều kiện x > 0

Đặt y = xxx, với y > 0 Ta được phương trình

y-4y+m+1=0 (2)

a/ Với m = -33 thì (2) © y^ - 4y - 32 = 0

© y = 8 (thỏa mãn); y = —4 (loại)

Từ đó xxx =

b/ Giả sử (2) có hai nghiệm phân biệt không âm

Y¿, y2 Khi đó (1) có hai nghiệm phan biét la x,, x

Thay m = 28 vào (2) ta được yˆ - 4y + 29 = 0:

vô nghiệm vì A’ = -25 < 0

Bài 2 a/ Điều kiện 5 <x< -2,

Viết lại phương trình đã cho dưới dạng

Cộng theo vế của (1) với (3) suy ra y2 = 5x2,

Thay y = x45 vào (1) được x2 = 1 © x = +1

Kết qud cuộc thi

VIET BAI On TAP DANH CHO Che THAY CO GIAD

Sau hai năm phát động, cuộc thi Viết bài ôn tập dành cho các thầy cô giáo, do tạp chí Toán Tuổi

thơ tổ chức đã nhận được khá nhiều bài dự thi của các thầy cô giáo từ mọi miền đất nước Các tỉnh

thành có nhiều thầy cô tham dự thi là: Hà Nội, thành phố Hồ Chí Minh, Khánh Hòa, Có những tác

giả đã gửi cả chùm bài cho nhiều khối lớp Đến nay, TTT mới chọn đăng được 17 bài trong các bài

viết đó Trong các số tới, chúng tôi sẽ tiếp tục giới thiệu một số bài viết khác Tất cả các bài gửi đến

tòa soạn từ ngày 01 11.2010 đến ngày 31 10.2012 bằng mọi hình thức như viết tay, đánh máy, gửi file qua mạng, đã đăng trên TTT hay chưa đăng đều bình đẳng khi xét trao giải Chúc mừng các tập thể và cá nhân đoạt giải Tạp chí trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo đã gửi bài góp phần làm nên

thành công của cuộc thi Sau đây là danh sách tập thể và các thầy cô đoạt giải

Nhà giáo Bùi Văn Tuyên, 330 B, đường Ngọc Lâm, Long Biên, Hà Nội với chùm bài viết Bài đã

đăng Ôn tập chương I Hình học 7: Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song (TTT2

số 102+103) và Ôn tập chương II Hình học 7 (TTT2 số 107)

® Giải Nhì:

1 Đặng Văn Biểu, trường THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội với chùm bài viết Bài đã đăng Ôn tập chương | Đại số 9 (TTT2 số 99+100)

2 Chu Tuấn, trường THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội với chùm bài viết Bài đã đăng

Ôn tập chương I Đại số 8: Phép nhân và phép chia đa thức (TTT2 số 101) và Chương II Hình

học 8: Đa giác - Diện tích Đa giác (TTT2 số 108, 109)

® Giải Ba:

4 Thái Nhật Phượng, trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa với

chùm bài viết Bài đã đăng Ôn tập chương II Số học lớp 6: Số nguyên (TTT2 số 105)

2 Nguyễn Văn Cần, trường THPT Định Thành, Đông Hải, Bạc Liêu với bài viết Ôn tập chương

II, Đại số lớp 9: Hàm số bậc nhất

3 Võ Xuân Minh, trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa với bài viết

Toán Tuổi thơ

Ôn tập học ki II, Toán lớp 9

Lời giải Ta xét các khả năng sau:

Khả năng †1 x < 0 Khi đó vì x là số nguyên nên

Khả năng 3 x > 0 Khi đó x > 1 Vì 20 = 2 (mod 3)

nén 202 = 1 (mod 3); 12 = 0 (mod 3) nên 122X = 0

(mod 3); 2012 = 2 (mod 3) nên 20122 = 1 (mod 3)

Suy ra 202% + 122% + 20122% = 2 (mod 3) Do đó

202* + 12 + 20122?* không là số chính phương,

bởi vì ta biết rằng: Một số chính phương chia 3

được số dư là 0 hoặc số dư là 1

Tóm lại không tồn tại số nguyên x để số

202% + 122% + 20122 là một số chính phương

Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về tòa soạn

đều đúng Sau đây là danh sách các bạn có lời

giải gọn hơn cả: Chu Mai Anh, 8A1, THCS Yên

Lạc, Yên Lạc; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh

Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Tạ Phương Thủy,

7A3; Nguyễn Đức Thuận, Nguyễn Thị Ngoc

Huyền, Tạ Phương Mai, 8A3, THCS Lâm Thao,

Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Viên, 7A; Nguyễn

Thị Thanh Hương, 8A; Nguyễn Thị Huân, 9A,

THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn

Duy Hưng, 8A4, THCS Lương Thế Vinh, TP Thái

Bình, Thái Bình; Nguyễn Mạnh Khang, 8A, THCS

Đặng Thai Mai, TP Vinh; Lương Kim Tiến, 7C,

THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An

Ta lần lượt xét hai trường hợp:

số đúng nhưng bỏ sót trường hợp x <-V6 Cac

bạn sau đây có lời giải tương đối tốt: Tạ Phương

Mai, 8A3: Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm

Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc

NGUYEN XUAN BINH

Bài 3(115) Giải phương trình với x, y > 0:

—— + —— - /1-xy = ——— (1)

42

Lời giải Điều kiện 0 < xy < 1 (2)

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc

(a + b)? < 2(a? + b2)

Vi+x Jt+y 1+x 1+y

Ta chứng minh với điều kiện (2) thi

14x 1+y Š 1+.jxy é)

Thật vậy, ta có

(4) = (1+ xxy)2 +X +Yy) -2(1 +x)(1 +y) <0

c© x+y-2-/xy jxy(x +y ~2,}xy) >0

Nhận xét Điều mấu chốt của lời giải là chứng

minh rằng với các điều kiện của bài toán, có bất

đẳng thức (4) Đây là bài toán tương đối khó về

phương trình không mẫu mực

Các bạn sau đây có bài giải tốt: Nguyễn Kiều

Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;

Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh

Tường, Vĩnh Phúc

NGUYỄN ANH DŨNG

Bai 4(115) Cho x, y va z la các số thực dương

thỏa mãn xyz = 1 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là Ta:

Nhận xét 1) Đây là một bài toán hay và khó

Các lời giải gửi về đều giải đúng ý tưởng của bài

toán

2) Bài giải trên dựa vào lời giải hay và gọn của

bạn Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm Thao,

Lâm Thao, Phú Thọ Đặc biệt là sự tham gia giải bài của các bạn trường THCS Yên Phong, Bắc

Ninh

3) Ngoài bạn Linh, các bạn sau cũng có lời giải

tốt: Nguyễn Thị Thanh Hương, 8A; Nguyễn Hữu Nghĩa, Nguyễn Văn Huy, Nguyễn Chí Trung,

Nguyễn Quang Minh, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Phan Dang Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường; Chu Mai Anh, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Đức Thuận, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Nguyễn Đức Thọ, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

+ Nếu n số b,, b , b, khi chia cho n đều có

số dư khác nhau thì tồn tại một số chia hết cho n Giả sử số đó là b, (với k e {1; 2; ; n})

Vì 1 < b„ < 2n - 1 nên b_ = n hay

a;+ 8, + + a.=n, + Nếu n số bạ, b , b, khi chia cho n có hai

số có số dư bằng nhau Giả sử hai số đó là bạ, bạ

(với c, d c {1; 2; ; n} và c > d)

Khi d6 b, — b, chia hết cho n

43

Mặt khác b, - bạ = 8u ¡ † 8 „ ¿ † + 4 và

0<b,-b,<b, <2n-1

néna,,,+ ay ,o+ +a, =n

Vậy luôn tồn tại một số số trong n số đã cho có

tổng bằng n

Nhận xét Tòa soạn nhận được nhiều lời giải

của các bạn Đa phần đều làm đúng và giải theo

cách trên Các bạn sau đây có lời giải tốt nhất:

Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh

Tường, Vĩnh Phúc; Tạ Phương Thủy, 7A3; Phạm

Anh Quân, 8A1; Vũ Thùy Linh, 8A3, THCS Lâm

Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Mừng,

9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

HOÀNG TRỌNG HẢO

Bài 6(115) Cho tam giác ABC nhọn O là giao

điểm của ba đường trung trực AO, BO tương ứng

cắt CB, CA tại N, M Chứng minh rằng nếu CM = CN

thì CA = CB

Lời giải Trước hết xin giới thiệu không chứng

minh một bổ đề quen thuộc

Bổ để Giả sử hai tam giác ABC và XYZ có

AB = XY, AC = XZ

Khi đó BC > YZ khi va chi khi BAC > YXZ

Giả sử CA + CB Có hai trường hợp cần xét

Trường hợp 1 CA < CB

C

—”®

Xét hai tam giác COA và COB có: OC chung,

OA = OB (vì O là giao điểm của ba đường trung

trực) và CA < CB nên theo bổ đề trên ta có

COA < COB (1)

Mà các tam giác COA và COB cân tại O nên

2OCA = 180° - COA, 2OCB = 180° — COB

Suy ra OCA > OCB

Xét hai tam giác CON và COM có: CO chung,

CN = CM và OCN < ÔCM nên theo bổ đề trên ta

có ON < OM

Suy ra OMN < ONM

Mà tam giác CMN cân tại C nên CMN = CNM

Do đó OMN + CMN <ONM + CNM

hay OMC < ONC

Suy ra OMA > ONB => OAM <OBN

Lai vì các tam giác COA và COB cân tại O nên

COA > COB : mâu thuẫn với (1)

Trường hợp 2 CA > CB Tương tự trường hợp 1

Vậy CA = CB, ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Đây là bài toán so sánh cạnh và góc

của tam giác tương đối khó Hai bạn sau có lời giải

đúng: Nguyễn Kiểu Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Cao Hữu Đại, 8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An -

NGUYÊN MINH HÀ

Thi giữi toán qua thu

Tạ Phương Thủy, 7A3; Nguyễn Đức Thuận,

8A3, Nguyễn Kiều Linh, 9A3, THCS Lâm Thao,

Lâm Thao, Phú Thọ; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Thanh Hương, 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh

MICROSOFT VIET NAM cling BAN CHI DAO PHONG TRAO THI DUA “XAY DUNG TRUONG

HỌC THÂN THIỆN, HỌC SINH TÍCH CỤC” của Bộ Giáo dục & Đào tạo và tạp chí

TOÁN TUÔI THƠ phối hợp tổ chức trao thưởng cho học sinh được nêu tên trên tạp chí

Giả sử trong các đoạn thẳng nối 2 trong 2012

điểm đã cho, đoạn A,A.„ lớn nhất bằng x (có thể

có nhiều đoạn thẳng đều bằng x)

Xét các đường tròn (C,) và (C.) đồng tâm A,;

có bán kính lần lượt là x va x45

Ta thấy A, e (C¿) Vì A„A, <x, với k = 3, 4,

2012 nên các điểm A, Ab - A2012 đều không

nằm ngoài đường tròn (C;)

Xét 2011 đường tròn (S,), (S.), , (S„o;;) có tâm

A., A2, Ä›oxs và có bán kính bằng nhau là >

Ta thấy các đường tròn cH) déu nam trong

Ké qua THE CO (Ki 44)

(TTT2 số 115)

1 Rg2 2 Xg1 (~) g5#

Danh sách các em giải đúng thế cờ kì 44: Lê Huy

Cường, 9A2, THCS Từ Sơn, TX Từ Sơn, Bắc Ninh; 1

Ngô Hải Anh, 7A, THCS Cổ Am, Vĩnh Bảo, Hải Phòng

LÊ THANH TÚ

e4: z¿„ 0HÍ DŨNG EKE YÀ THƯỚC KẺ

Cho hình thang vuông ABCD với A =Õ = 909 và AB + CD = BC

| Chỉ dùng eke và thước kẻ, hãy dựng hai điểm M và N trên cạnh AD sao cho

PHAM TUẤN KHẢI (Hà Nội)

@ Két qua NHAM VA THIN (TTT2 số 115)

(C.), với k = 1, 2, , 2011

Hơn nữa, vì AmnÂn > y, với m, n = 2, 3, , 2012

và m z n nên các đường tròn (S,), (S;) , (S2ox4)

đôi một ngoài nhau hoặc tiếp xúc ngoài

Do đó diện tích hình tròn (C.) lớn hơn diện tích

tổng cộng của 2011 hình tròn (S,), (Sq) + (Sa944)

hay (x + 2 > 201 nf 5)? ax +5 YS 2071 > Vậy <> —— > 21 nên Nhâm đoán đúng

y

Nhận xét Bài toán liên quan đến kiến thức về

vị trí tương đối giữa hai đường tròn Ta có thể thay

số 2012 bởi một số tự nhiên n khác để có một kết quả mới Bạn đọc hãy tìm cách đánh giá tốt hơn

chuyến du lịch ở đất nước “Mặt trời

mọc” Hôm nay, cả nhà đi chơi

trên du thuyền Đây là du thuyền của một

công ty du lịch Nhật Bản Đồng hành cùng

họ là thuyền trưởng Kadic, anh thợ máy

Hasin, bác đầu bếp già Nikota, chàng phụ

bếp trẻ tuổi Kimi và cô y tá xinh đẹp Lisa

Ngoài ra, trên tàu còn có một người bạn cũ

của thuyền trưởng, tên là San Ông ta từ tỉnh

khác tới để thăm gia đình thuyền trưởng

Kadic Nhân có chuyến tham quan bằng du

thuyền, San đi cùng luôn

Được những người trên thuyền giới thiệu

chàng phụ bếp Kimi chơi cờ rất siêu nên

thám tử Sêlôccôc rủ anh ta đánh vài ván

Lúc đó khoảng 9 giờ sáng Kimi vui vẻ đồng

ý và lấy ngay bộ cờ quý của mình ra Chài

Quả là một bộ cờ đắt giá! Kimi cho biết: vì

giành giải thưởng cao tại một cuộc thi nên

anh đã được một nhà tỷ phú tặng bộ cờ này

Hai người đang chuẩn bị chơi thì Kimi bị

bác đầu bếp già Nikota gọi vào bếp để

chuẩn bị nấu nướng Chàng trai đành hẹn

thám tử sau bữa trưa

Khoảng gần 3 giờ chiều, Kimi tới chỗ

Sêlôccôc Chàng hăm hở:

- Thưa ngài! Bây giờ tôi có thể chơi vài

ván Ý ngài thé nao a?

- Tuyệt quá! Tôi chỉ chờ anh rảnh để

chúng ta đọ sức cho vui thôi

- Vâng Ngài chờ chút xíu, tôi sẽ mang bộ

cờ ra ngay đây

Kimi vừa quay đi được vài phút thì mọi người bỗng nghe tiếng cậu ta kêu lên hoảng hốt:

- Thôi chết! Bộ cờ đâu mất rồi?

Rồi chàng phụ bếp nhớn nhác đi tìm Mọi

ngóc ngách của con tàu đều được Kimi lục

lọi Tiếc thay! Tất cả đều vô hiệu!

Kimi phân trần:

- Tôi thường để bộ cờ trong chiếc hòm cá

nhân của mình Sáng nay tôi lấy ra để chơi với thám tử nhưng chưa kịp chơi thì bận việc

trong bếp Tôi cất vội vào hòm và quên không khóa lại Ai ngờ

Mọi người trên tàu hết sức ái ngại và bất bình Riêng thám tử Sêlôccôc thì trầm tư

quan sát thái độ của từng người

Một lúc sau, ông gặp riêng cô y tá Lisa

Cô là người thường đi đi lại lại trên tàu để hỏi

han sức khỏe mọi người, do đó, có khả năng

cô đã tới chỗ chiếc hòm của Kimi Thám tử hỏi:

- Cô đã làm gì trong khoảng thời gian từ 9

giờ sáng tới 3 giờ chiều?

- Thưa ông, tôi ở trong phòng của mình

Tôi tranh thủ sắp xếp lại tủ thuốc vì tối hôm

qua mới mua thêm một vài loại Ông có thể

hỏi thuyền trưởng Tôi mua thuốc theo yêu

cầu của ông ấy Tối qua mới mua nên sáng

nay tôi mới mang lên tàu

Tiếp theo, thám tử Sêlôccôc tìm gặp San

- Chắc ông đã biết việc Kimi vừa bị mất

bộ cờ quý Ông có thể cho tôi biết: trong

khoảng thời gian từ 9 giờ sáng tới lúc Kimi

phát hiện sự việc, ông đã ở đâu và làm gì

không?

- Có lẽ tôi là người sau cùng biết chuyện

bộ cờ bị mất Buổi sáng tôi ở trên boong,

tắm nắng Ăn trưa xong tôi lại lên boong luôn

- Ông lên ngay như thế để tắm nắng buổi

trưa ư?

- Ổ không! Nắng buổi trưa chói chang thế

ai mà tắm được Tôi lên boong ngay để treo

quốc kì Lúc xuống ăn trưa, tôi chợt phát

hiện tàu chưa treo cờ nên đỉnh bụng ăn

xong sẽ lên treo Tôi phải loay hoay một lúc

lâu mới treo được vì mấy lần đều treo bị ngược

Sau cuộc trò chuyện với Lisa và San,

thám tử Sêlôccôc đã đến gặp thuyền trưởng Kadic Thám tử nói chuyện riêng với ông về mối nghỉ ngờ của mình và bàn với thuyền

trưởng cách thuyết phục sao cho tế nhị để

kẻ gian trả lại bộ cờ cho chàng phụ bếp Kimi

Theo các bạn, thám tử đã nghi ngờ ai và dựa vào đâu mà ông lại nghi ngờ như thế?

e x2 „4 GHUYỆN CÚA BẠN ANE «<2

Các thám tử nhí đã tìm ra lí do vì sao bà Mạnh, 7B; Lê Thị Tuyết Hoa, 7C, THCS của Ane phát hiện cô cháu gái nói dối: Khi

kiểm tra hóa đơn mua hàng tại siêu thị, bà

thấy giờ mà Ane mua hàng là sáng sớm như

thường lệ Trên hóa đơn thanh toán tại siêu

thị luôn hiển thị ngày giờ

Phần thưởng được trao cho: Nhóm bạn

Phùng Thị Mai Linh, Nguyễn Huyền Thanh

và Nguyễn Thu Thảo, 7E1, THCS Vĩnh

Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Vũ Thành

Đạt, Nguyễn Minh Trang, 6A1, THCS Yên

Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Đức

Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

Thám tử Sêlôccôc

17