Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 122

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu bốn ° C đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng thì tỉ : số kép của bốn điểm trên đường thẳng này bằng : B tỈ số kép của bốn điểm tương ứng trên

NAM THY MUOI BON

Children’s Fun Maths Journal

Thư kí tòa soạn:

NGUYEN XUAN MAI

TS NGUYEN MINH DUC

ThS NGUYEN ANH DUNG

PHAM VAN TRONG

ThS HO QUANG VINH

TOA SOAN:

Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh,

quận Thanh Xuân, Hà Nội

Điện thoại (Tel): 04.35682701

Điện sao (Fax): 04.35682702

Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn

Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn

DAI DIEN TAI MIEN NAM:

TRAN CHi HIEU

Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO,

NGUYEN NGOC HAN, PHAN HƯƠNG

Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG,

MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH

Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN

Mĩ thuật: TÚ ÂN

CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN

Chi tich HBTY hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam:

NGUT NGO TRAN Al

Tong bién tap kiém Pho Ting Giam dic NXBGD Vidt Nam:

TS NGUYEN QUY THAO

® Giải toán thế nào?

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (Tiếp theo kì trước)

® Đến với tiếng Han

Bài 40 Họ tên của bạn là gì?

® Vào thăm vườn Anh Cùng dich nao!

Phuong Mai 29

see ry eeeeseseeeeseeeseseeesoeeeeeseeseeeeeseeeaeeoeoeeeeaeeeeeseeseeeeeeeeeeseeeeeeseeseeeeeee eee ee es

: VŨ HỮU BÌNH (25, phố Yên Thái, Hoàn Kiếm, Hà Nội)

: Bài toán hình học lớp 6 TỈ số kép của bốn điểm thẳng hàng

: Sách giáo khoa Toán 6 tập 4, phần Hình họccó Ta gọi tỈ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C,

- bài tập 39: Vẽ hình sau vào vở rồi vẽ tiếp các oo 2 ~ AC BC ,

: đoạn thẳng AE, BD cắt nhau tai I Vẽ các đoạn D, kí hiệu [A, B, C, DỊ, là tỉ số AD BD `”

; thang AF, CD cat nhau tại K Ve các đoạn thẳng các điểm A và B đều nằm ngoài (hoặc đều nằm

: BF và CE cắt nhau tại L Kiếm tra xem các điểm trong) đoạn thẳng CD

: |, K, L co thang hang hay khong Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu bốn

° C đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng thì tỉ

: số kép của bốn điểm trên đường thẳng này bằng

: B tỈ số kép của bốn điểm tương ứng trên đường

° với OA, cắt OC và OD lần lượt tại I và K Ta có

: D = F IA B,C, p] = AC BE _ AC BD

: Bài toán trên chỉ yêu cầu học sinh biết vẽ đoạn _AC BD _ AO BK _ BK (1)

: thẳng và dùng thước để kiểm tra ba điểm thẳng BC AD BI AO BỊ

> hang ; Qua B' kẻ đường thẳng song song với OA cat OC

° Khi hoc lên các lớp trên, nhiều học sinh đặt câu và OD lần lượt tại Ï' và K, ta có

- hỏi: Chứng minh ba điểm I, K, L thẳng hàng bằng ma an- AC BC AC BD

> cach nao? Nhiều giáo viên dạy cấp THCScũng ÏlA,B,C, DỊ= AD BD AD BC

° Cách chứng minh ba điểm I, K, L thẳng hàng chỉ = AC Bb = AO BK = BK (2)

: dùng kiến thức về định lí Ta-lét học ở lớp 8 BC AD Br AO Bì

: Để trình bày lời giải được ngắn gọn, ta dùng khái bo gK // B'K' nên BK _BK (3)

: niệm tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng BI Br

Từ (1), (2), (3) suy ra [A, B, C, DỊ= [A', B', C', D]

Trả lời câu hỏi đặt ra

Bây giờ ta áp dụng bổ đề trên để chứng minh ba

điểm I, K, L ở bài tập 39 nêu trên (hình 2) là ba

điểm thẳng hàng

Gọi M là giao điểm của FA và EC, N là giao điểm

của EA và DC, O là giao điểm của AC và DF

Áp dụng bổ đề với bốn đường thẳng đồng quy tại

F đi qua O, A, B, C cắt đường thẳng EC theo thứ

tự ở E, M, L, C ta có

[O, A, B, C] = [E, M, L, CỊ (5)

Áp dụng bổ đề với bốn đường thẳng đồng quy tại

D đi qua O, A, B, C cắt đường thẳng EA theo thứ

tự ởE,A, I,N ta có

[O, A, B, CỊ =[E, A, I, NỊ (6)

Tur (5), (6) suy ra [E, M, L, C] = [E, A, I, NJ (7)

Giả sử LK cắt EA tai I’

Áp dụng bổ đề với bốn đường thẳng đồng quy tại

K đi qua E, M, L, C cắt đường thẳng EA theo thứ

Suy ra | tring I’

Vay ba diém I, K, L thang hang

Lưu ý Bổ đề trên cũng vẫn đúng trong trường

hợp hai đường thẳng AD và A'D' ở hình 3 song :

song với nhau Do đó ở bài tập 39 trong sách ,

giáo khoa Toán 6 tập 1, ba điểm I, K, L vẫn thẳng :

hàng trong trường hợp AC // DF

Bài toán chứng minh ba điểm I, K, L thẳng hàng

nói trên là một định lí mang tên nhà toán học Hy

Lạp Pap-puýt (Pappus) thế kỉ III

(Tiếp theo trang 7)

Bài 11 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + Z= xyz - 9

Bài 12 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: WH AW 3

x3 + (x + 193 + (x + 2)3 + 4+ (x + 7) = yŠ

(Olympic Toan Hungary nam 2000) Bài 17 Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x? + y? + 22 + 2xy + 2x(z — 1) + 2y(z + 1) =t2 Bài 18 Giải phương trình nghiệm nguyên:

Bài 21 Giải phương trình nghiệm nguyên:

a) x? - 3y2 = 17; c) 2X + 122 = y2 — 3'; b) x2 - 5y2 = 17; d) 15x2 — 7y2 = 9

Bài 22 Chứng minh rằng tổng bình phương của 3

số nguyên trong phép chia cho 8 không thể có dư

là 7 từ đó suy ra phương trình 4x2 + y2 + 9z2 = 71

không có nghiệm nguyên

Bài 23 Giải phương trình nghiệm nguyên:

xí+yÍ+zÍ=4

Kì sau đăng tiếp

3)

© Kindy Wét bai todu cou phin vin

- Trong giờ ra chơi, một học sinh dua lên hỏi thay giáo bài toán có nội dung

- Hoc sinh: Thưa thầy ta chọn đáp án (C) phải không ạ?

- Thầy giáo: Có nhất thiết phải chọn một trong các đáp án đã cho không em?

- Hoc sinh: phan van!!?

Theo các bạn thì tại sao thay giáo lại hỏi học sinh như vậy?

NGUYỄN TRỌNG THỌ (GV THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh)

@ Két qua Co la đường kinh? (TTT2 số 120)

Nhận xét Có lẽ do mải ăn Tết nên dù đề ra

không khó, lại tương đối quen thuộc nhưng số bạn

chỉ ra chỗ sai và giải lại cho đúng không nhiều

Lời giải sai ở chỗ chưa xét đẳng thức xảy ra ở

bất đẳng thức MC.MD (£;°j

Ta có MC.MD = RẺ khi MC = MD và CD = 2R:

không xảy ra khi AB khác 2R

Lời giải đúng gene (wave Ï AB?

Ta có MC.MD = MA.MB < TT

Đẳng thức xảy ra khi MA = MB

2

Vậy GTLN của MC.MD bằng — xay ra khi va

chỉ khi M là trung điểm của AB

Phần thưởng kì này được trao cho các bạn: Trần

Minh Hung, 9A, THCS Tam Hiệp, Phúc Thọ;

Nguyén Ngoc Linh, 9B, THCS Nguyén Thuong Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Phạm Minh Đức, 9A1,

THCS Hạ Hòa, Hạ Hòa, Phú Thọ

ANH KÍNH LÚP

4)

7 6 4 9 1 3 3 8 5 4

» Xinty CON SO Bi AN Ban hay quan sát thật kĩ các con số để tìm ra quy luật rồi điền số còn thiếu vào dấu hỏi chấm cho hợp lôgic nhé!

5 7 6 3 2 8 1 9 7 3 2 7 4 9 9 5 2 3 2 ?

DO THU HÀ (sưu tầm)

e# „u¿ NHÂN VỚI CỘNG ¿32

Nhận xét Quy luật của kì này không khó, tuy

nhiên số bạn giải đúng không nhiều, một số

bạn đưa ra đáp án đúng nhưng không phát

biểu rõ quy luật bằng lời

Quy luật

Bài 1 Số gồm ba chữ số ở nửa trên của hình

lục giác nhân với 3 thì được số có ba chữ số

ở nửa dưới Ta có 316.3 = 948 Vậy số cần

điền là 8

Bài 2 Theo cột dọc, tính từ trên xuống dưới

thì tích của hai số ở hai ô đầu bằng tổng của

hai số ở hai ô còn lại Ta có 7.3 = 8 + 13 Vậy

số cần điền là 13

Nhận xét Các bạn và các nhóm bạn sau

được thưởng kì này: Lê Nguyễn Yến Nhi, 8B; Nhóm bạn Phan Thị Kiều Oanh, Nguyễn Thị

Hồng Nhung, Tran Thi Thanh Mai, 6A; Tap

thé I6p 7B, THCS Hoang Xuan Hãn, Đức

Tho, Ha Tinh

NGUYEN XUAN BiNH

5)

NGUYEN DUY LIEN (GV THPT chuyén Vinh Phuc)

Tiếp theo kì trước

3 Phương pháp cực hạn cạnh a, b, c của tam giác Bán kính đường tròn

Ví dụ 10 Chứng minh rằng không tồn tại các số nội tiếp bằng 1 nên x, y, z > 2 Giả sử x > y >z > 2

nguyên x, y, z thỏa mãn đẳng thức: Ta có

4 v4 „ „4 2, ,2 22 22 _

x4 + y4 + 2h — axty* — 2yéz? — 27x? = 2000 (1) s „ =-Lax=-Lby=-Lcz=-L(a+b+c)

Giải Giả sử tồn tại các số nguyên x, y,zthỏa = ax=by=cz=a+bi+ec

mãn (1), các số hạng ở vế trái của (1) đều có bậc b+io-3- b c a+b+c

chẵn nên ta giả sử rằng x, y, z đều không âm FAT DT OR TET ET aa 1 14

* Néu y =z thi (1) tré thanh X yzuxydz

x4 — 4x2y? = 2000 = x : 2 Dat x = 2t (te N) Ta 1 1 41 3

Gia sx > y > z2>0 Do x* + y* +z*channén © (2x — 3)(2y — 3) =9

trong ba số x, y, z tổn tại ít nhất một số chẵn và _ sụy ra x = y =z = 3 Vậy tam giác ABC đều

hai số có cùng tính chắn lẻ ; 4.4 _A 22 2_2 22 4 Ph ương pháp loại trừ - a ;

Ta co 2000 = x" + y" + Z°— 2x*y* — 2y*2* — 22°x* Ki gidi phuong trình nghiệm nguyên ta cần đánh

= (x2 - y2)2 - 2(x2 - y2)z2 + 24 - 4y2z2 giá miền giá trị của các biến, nếu số giá trị mà

= (x2 — y2 — z2)2 ~ (ayz)2 các biến có thể nhận không nhiều ta có thể dùng

ha y 2 y 2 2 9 phương pháp thử trực tiếp Để đánh giá được

=(“-y“-Z † 2/2)“ - yˆ - Zˆ — 2y2) miền giá trị của biến số ta cần vận dụng linh hoạt

=(X+y+Z)%—Y + 2W + y~ Z\X~ y~ 2) các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức

Đây là tích của 4 sô nguyên phân biệt và * Chú ý

X+Y+Z>X+YÿY-Z>X-Y+Z>X-y-Z>0 + Nếu xu <Y" <(X+a)",(n,a e Ñ°) thì Y"

Do đó x + y+Z,X+Yy—Z,X—Yy+Z,x-y-Zzlà 4 (X + vớiI=1,223 ;a- 4

số nguyên dương chẵn phân biệt nên các số đó * Nếu X(X + 1) (X + n) < Y(Y + 1) VY +n) <

không chia hết cho 4 Suy ra (X + aX + at 1) (X + a tn), (n, a € N’) thi

(x+y+Z)\x-y+Z)x+y-Z)x-—y-—-Z)> Y + 1) (ÝYÍ+n) =(X+ j)%X + ¡+ †1) (X + i+ n)

2.10.50.250 > 2000: Vô lí vỚi Ì = 1; 2; 3; ; a - 1

Vậy không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) Ví dụ 12 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Ví dụ 11 Một tam giác có số đo của chiều cao là XỔ + 3x3 + 1 = yÝ

những số nguyên và bán kính đường tròn nội tiép Giải * Với x = 0 thì y=+1

aad 1 Chứng minh răng tam giác đó làtamgiác , Với x = ~1 thì y = —1 (loại)

Giải Giả sử đó là tam giác ABC có a=BC,b=CA,_ ”Vớix>0 thì &Ở+ 1)^=xŠ+ 2xŸ+ 1< x9 + 3x7 + 1

c=AB Gọi x, y, z là độ dài đường cao ứng với các _< xÊ + 4xŠ + 4 = (xỶ + 22

“p*

Suy ra (x3 + 1)2 < (y2)2 < (x3 + 2): Vô lí

* Với x < -2 thi (x? + 2)? = xổ + 4x + 4 < xổ + 3xỞ + 1

< xổ + 2xỶ + 1 = (x? + 1)2

Suy ra (x? + 2)? < (y2)ˆ < (x + 1): Vô lí

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên (x; y)

Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x; y) là (0; 0)

Ví dụ 15 Tìm tất cả nghiệm nguyên không âm

của phương trình: xˆ = y2 + Jy +1 (1)

(Đề thi THPT chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm

2001)

Giải Giả sử (x; y) là một nghiệm nguyên không

âm của phương trình (1)

Từ đó suy ra x2 > yÊ

Mặt khác y > 0 => y + 1< 4y^2 + 4y + 1 =(2y + 1)

hay Jy+1 <2y +1

Do đó yŸ +Jy+1<y? +2y+1=(y + 1Ê (2)

Dấu bằng ở (2) xảy ra khi y = 0

= y" <x? =yˆ +Jyt+1<(y+1)? = x? =(y +1)?

5 Dung chia hét va chia co du

Phương pháp này thường dùng để chứng minh

phương trình không có nghiệm nguyên bằng cách

chứng minh hai vế chia cho cùng một số có số dư

a3 =0, 1, 6 (mod 7)

Từ (1) suy ra 19(xỔ - 2) = 98(y2 + 20) : 7

= (x3 — 2) : 7 (vì (19, 7) = 1)

= XỞ = 2 (mod 7): Vô lí

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Ví dụ 18 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x? + 17y? + 34xy + 51(x + y) = 1740 (1)

(Đề thi THPT chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm

2005) Giải Ta có

(1) © x2 = 1740 - 17[y2 + 2xy + 3(x + y)] (2)

Nhận xét Với mọi số nguyên x thì x = 17k + r với r=0:1;2;3:4;5:6: 7: 8vake Z

Từ đó x2 có dạng tương ứng là: 17h, 17h + 1,

17h + 4, 17h + 9, 17h + 16, 17h + 8, 17h + 2, 17h + 15, 17h + 13 (he 22)

Mặt khác 1740 = 17.102 + 6

Do đó không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn (2)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 19 Chứng minh rằng không tồn tại x, y

nguyên dương thỏa mãn:

Hé thi Olympic Todn Singapore 201 I

Singapore Mathematical Olympiad (SMO) 2011

JUNIOR SECTION Ngay 31.5.2011 0930 - 1200

Tiếp theo kì trước

Chú ý

Trả lời tất cả 35 câu hỏi

Điền câu trả lời trên giấy trả lời được phát

Với các câu lựa chọn, điền câu trả lời trên giấy trả lời bằng cách tô vào vòng

tròn chứa chữ (A, B, C, D hoặc E) ứng với câu trả lời đúng

Với các câu hỏi ngắn khác, viết câu trả lời trên giấy trả lời và tô các hình tròn

thích hợp dưới câu trả lời

VŨ ĐÔ QUAN

(Dịch và giới thiệu) Mỗi câu ứng với 1 điểm

Không phải giải thích các câu trả lời

Máy tính không được sử dụng

KHÔNG LẬT XEM TRƯỚC KHI LÀM HẾT TRANG

mọi số nguyên dương n Tìm 82014:

14 Cho a, b, c là các số thực dương sao cho

a7 +ab + bˆ =2B b* +be+c* = 49 c* +ca+a* =64

nhiêu nghiệm trên đoạn [1, 20]?

47 Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

tổng của các chữ số của nó là 2011 Hỏi n có bao

Gọi m và M là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của

(a — c)2 + (b — d)2 tương ứng Tìm m x M

20 Giả sử Xạ, X2, ., Xaoa; là các số nguyên dương

thỏa mãn X¿ + X- + + Xzo44 = X4Xs Xzo+;- Tìm

giá trị lớn nhất của x; + X„ + + Xo944-

21 Giả sử một hàm M(n), trong đó n là số nguyên

dương được định nghĩa

(n) = n—10 nếu n >100

~ |M(M(n+11)) néu n <100

Hỏi phương trinh M(n) = 91 có bao nhiêu nghiệm?

22 Với mỗi số nguyên dương n, định nghĩa

các viên gạch cùng kích thước là giống hệt nhau

(Ví dụ, sau đây là hai cách khác nhau dùng hai

viên kích thước 1 x 1, hai viên kích thước 1 x 2 và

một viên kích thước 1 x 4 Không nhất thiết phải dùng tất cả ba kiểu gạch)

24 Một bảng Sudoku 4 x 4 được điền các chữ số

sao cho mỗi cột, mỗi hàng và mỗi bảng nhỏ 2 x 2 nằm trong bảng 4 x 4 đều có các chữ số từ 1 đến 4.

25 Nếu ngày thứ 13 của một tháng cụ thể nào đó

rơi vào thứ sáu ta gọi là thứ sáu ngày 13 Biết rằng

thứ sáu ngày 13 xảy ra ít nhất một lần một năm

Nếu khoảng dài nhất giữa hai thứ sáu ngày 13 là

x tháng, hãy tìm x

26 Có bao nhiêu cách đặt 7 quả táo y như nhau

vào 4 cái túi y như nhau sao cho mỗi túi có ít nhất

1 quả táo

27 Trong một hội chợ vui, vé có thể dùng để mua

thức ăn Mỗi vé có trị giá 5$, 8$ hoặc 12$§ Ví dụ

để bằng 15$ bạn có thể dùng ba vé 5$, hoặc dùng

một vé 5$ và một vé 8$ và trả thêm 2$ tiền mặt

Giả sử các mặt hàng trong hội chợ đều là một số

nguyên đô la Hỏi số tiền lớn nhất mà bạn không

thể trả được nếu chỉ dùng vé sẽ là bao nhiêu?

28 Tìm chiều dài của đường gấp khúc xuắn ốc

sau đây, trong đó khoảng cách giữa hai cạnh song

song kề nhau là 1 đơn vị

©

©

29 Có hai con xúc xắc đồng chất và trên các mặt

của nó là các số nguyên dương 84, 82, , Ag và bạ,

tung hai con xúc xắc đồng chất thông thường Giả

sử rằng a¿ + a„ + + ae < bạ + b„ + + bạ Hỏi

a;+ a; + + ae là bao nhiêu?

30 Xét tam giác ABC với AB = 20, BC = 25 và

CA = 17 P là một điểm trên mặt phẳng Tìm giá trị

nhỏ nhất của 2 x PA + 3 x PB + 5 x PC?

31 Cho một tam giác đều Hỏi tỉ số diện tích của

đường tròn ngoại tiếp với diện tích của đường tròn nội tiếp của nó

32 Cho A và B là các điểm nằm trên Parabol y = x2

sao cho cả hai đều cách đường thẳng y = -x - 4 một đoạn 84/2 đơn vị Tìm bình phương khoảng

34 Xét tam giác đều ABC, trong đó AB - BC - CA

= 2011 Gọi P là điểm nằm trong AABC Vẽ các

đường thẳng đi qua P sao cho DE // BC, FG //CA

= (a2 + b2)2 + 2(a2 + b2)(a + b)2 + (a + b)f

= (a2 + b2)2 + [(a — b)2 + (a + b)”J(a + b)^ + (a + b)4

= (a2 + b2)2 + (a2 — b2)2 + 2(a + b)f

Do đó theo định lí Talét ta có ——

[a> Suy ra NF =NE =

Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện:

abc + bcd + cda + dab = a +b + c + d+ 42012

chi đường tròn có tâm là diém X) Gia sử (O,),

(O,) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm | va (O,),

(O.) lần lượt tiếp xúc trong với (O) tại M¿, M Tiếp tuyến của đường tròn (O,) tại điểm I cắt đường

tròn (O) lần lượt tại các điểm A, A' Đường thẳng

AM, cat lại đường tròn (O,) tại điểm N,, đường thẳng AM cắt lại đường tròn (O,) tại điểm N

1 Chứng minh rằng tứ giác M¿N;N.M nội tiếp và

đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng N„N

2 Kẻ đường kính PQ của đường tròn (O) sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung

AM; không chứa điểm M.) Chứng minh rằng

nếu PM,, QM không song song thì các đường

Vậy AMBEF cân tại M nén MBF =MFB

Mà MFB = FBA (so le trong) nên MBF =FBA

Vậy F nằm trên đường phân giác của góc ABC

Vậy p + q = 2mn nên là tích ít nhất ba số nguyên

lớn hơn 1 (ba số này không nhất thiết phải khác

nhau)

4)

Lời giải (Theo bạn Tạ Lê Ngọc Sáng, 6E, trường

phổ thông chuyên Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội)

Vậy A không phải là số chính phương

Nhận xét Có nhiều bạn đã chứng minh A chia cho

3 dư 2 hoặc chứng minh A có chữ số tận cùng là 8

Từ đó cũng suy ra được A không là số chính phương

Ngoài bạn Sáng còn có các bạn sau có lời giải ngắn

gọn: Nguyễn Ngọc Sơn, 6B, THCS Nguyễn Thượng

Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Nguyễn Thành Đinh, 6A1,

trường phổ thông chuyên Hai Bà Trưng, TX Phúc

Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Viên, 7A, THCS Yên

Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Hưng

Quang Khải, 7A, THCS Trần Quốc Toản, TP Tuy

Hòa, Phú Yên; Đỗ Minh Gia An, 8A9, THCS Kim

Hồng, TP Cao Lãnh, Đồng Tháp; Nguyễn Phương

Thảo, 7C, THCS Thanh Thủy, Thanh Thủy; Lê

Nguyễn Quỳnh Trang, 6C, THCS Văn Lang, TP

Việt Trì; Trần Hồng Nhung 7A, THCS Phong Châu,

TX Phú Thọ; Phạm Ngọc Linh Chi, 6A4, THCS

Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ

NGUYỄN NGOC MINH

Bài 2(120) Tim tất cả các số A có ba chữ số khác

nhau thỏa mãn: Trung bình cộng các số có ba chữ số

nhận được khi hoán vị các chữ số của A thì bằng A

Lời giải (Theo bạn Nghiêm Thị Ngọc Ánh, 7B,

THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh)

Giả sử A = abc, với a, b, c là các chữ số khác nhau

Ta có 5abc = acb + bac + bca + cab + cba, suy ra

5(100a + 10b + c) = 100a + 10c + b + 100b + 10a

Nhận xét Một số bạn không để ý đến điều kiện A

có ba chữ số khác nhau nên đã không loại bỏ những đáp số không chính xác

Ngoài bạn Ánh, các bạn sau cũng có lời giải đúng

và gọn: Lê Thị Phương, 6A1; Dương Gia Huy, 7A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Nguyễn Phương Thảo, 7C, THCS Thanh Thủy, Thanh Thủy, Phú Thọ; Phan Thúy Hằng, Lê Thị Ngọc Trâm, Thạm Thị Thu Trang, Trần Thị Tường Vy, 7B, THCS Hoang Xuan Han, Duc Tho, Ha Tinh

HO QUANG VINH

CAC LOP THCS Bài 3(120) Giải hệ phương trình

Dat t = (fy —x/z)Ÿ > 0 Phương trình trở thành

tr=2© (—12 =0©t=l

Nghia la (,/y -Vz)* =1@ y+z-2,Jyz =1

Kết hợp với (1) suy ra yz = 36 Từ đó ta tìm được

(Jy - vz)? =1 Jy -Jz=+41; sau đó xét hai

trường hợp để tìm y, z thì lời giải sẽ dài

Các bạn sau đây có bài giải tốt: Nguyễn Phương

Thảo, 7C, THCS Thanh Thủy, Thanh Thủy; Dương

Gia Huy, 7A1; Phạm Anh Quân, Nguyễn Tùng

Dương, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Hồ

Quang Huy, 7A, THCS Văn Lang, TP Việt Trì,

Phú Thọ; Nguyễn Thị Thanh Hương, Mẫn Bá

Tuấn, 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc

Ninh; Pham Hoang Anh, 8B, THCS Hoang Xuan

Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Đỗ Văn Quyết, 8C, THCS

Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn

Trọng Hào, 8A; Phạm Quang Toàn, 8C, THCS

Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

NGUYỄN ANH DŨNG

Bài 4(120) Cho a, b và c là các số thực dương

thỏa mãn 0 <a < b <c< 1 Tìm giá trị lớn nhất của

(do áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a=0b=22c-8,

23 23

Nhận xét Mấu chốt của bài toán là đưa biểu thức

về một biến Hầu hết các bạn tham gia giải bài

đều phát hiện được b - c < 0 nên a2(b - c) < 0 và

P < bÝ(c - b) + c2(1 — c) Tuy nhiên nhiều bạn còn

lúng túng trong việc tách và chọn điểm rơi khi sử

dụng bất đẳng thức Côsi

Có nhiều bài giải được gửi về tòa soạn, hầu hết

đều giải đúng, nhưng có một số bài biến đổi sai

hay ngộ nhận Sau đây là một số bạn có lời giải

tốt: Nguyễn Thị Tâm, Nguyễn Thị Hương Ly,

Nguyễn Thị Tú Linh, Hoàng Thị Minh Anh, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn

Tùng Dương, Phạm Anh Quân, Quản Đức Bình, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đỗ

Minh Gia An, 8A9, THCS Kim Hồng, TP Cao Lãnh, Đồng Tháp; Nguyễn Trường Phong, 9A1,

THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng; Lê Đình Mạnh, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Đỗ Nguyễn Vĩnh Huy, 9A1, THPT

chuyên Trần Đại Nghĩa, Q1, TP Hồ Chí Minh

CAO VĂN DŨNG

Bài 5(120) Cho S là một tập hợp Sự phân hoạch của S là một sự phân chia S thành P = {A} gồm các tập con A gọi là các ô sao cho mọi phần tử a trong S đều thuộc một tập con A, va cac tập con trong P là rời nhau, nghĩa là nếu ¡ z j thì A OA = ©, Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hay xac dinh dau la phan

Lời giải a) Không phải, vì 1 thuộc 2 tap con

b) Không phải, vì 4 c S nhưng không thuộc tập con nào

c) Đây là một phân hoạch của S

d) Không phải, vì 7 không thuộc S

Nhận xét Có một số bạn làm sai bài toán này Sau đây là những bạn có lập luận và kết quả đúng: Nguyễn Trường Phong, 9A1, THCS Hồng

43

Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng; Nguyễn Trần Hậu,

9C, THCS Trần Quốc Toản, TP Tuy Hòa, Phú Yên;

Đỗ Minh Gia An, 8A9, THCS Kim Hồng, TP Cao

Lãnh, Đồng Tháp; Kim Văn Thiện, Nguyễn Thị

Tâm, Nguyễn Thị Hương Ly, Nguyễn Thị Tú Linh,

Hoàng Thị Minh Anh, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên

Lạc, Vĩnh Phúc; Đỗ Nguyễn Vinh Huy, 9A1,

trường chuyên Trần Đại Nghĩa, Q 1, TP Hồ Chí

Minh; Đỗ Đăng Dương, 9A, THCS Đinh Công

Tráng, Thanh Liêm, Hà Nam; Phạm Thị Ngọc Hà,

9/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải

Dương; Trịnh Huy Vũ, 9A10, THCS Giảng Võ, Ba

Đình; Nguyễn Ngọc Linh, 9B, THCS Nguyễn

Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội

HOÀNG TRỌNG HẢO

Bai 6(120) Cho tam giác ABC I là giao điểm của

ba đường phân giác, K là trung điểm AB Chứng

minh rang KIB = 90° khi và chỉ khi AB + AC = 3BC

Lời giải Gọi D là giao điểm của BC và AI Trên

BA lấy điểm E sao cho BE = BD

1 KIB = 90° 2 KI // ED

KE _ID KE _BD

KE KA 2KA _ BED 6 2KE = BE

7 BE =<BK 3 8 BD =—BA 3

11 AB + AC = 3BC

Chú ý, vì (1) nên 1 2; theo định lí Talét thì 2 = 3;

vì (2) nên 3 © 4; vì BD = BE, KB = KA nên 4 © 5;

ta thay 5 © 6, 6 = 7; vi BD = BE, KB = KAnén

7 & 8; ta thay 8 9; vì (3) nên 9 © 10; ta thấy

10 = 11

Nhận xét Bài toán này có nhiều bạn giải nhưng lời giải còn dài

Vì không hiểu rằng bài toán KIB = 90° © AB + AC

= 3BC bao gồm hai bài toán KIB = 90° > AB+AC

= 3BC va AB + AC = 3BC = KIB = 90° nén nhiéu bạn chỉ giải bài toán KIB = 90° > AB + AC = 3BC

Xin nêu tên các bạn có lời giải tương đối tốt: Trịnh

Huy Vũ, 9A10, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội; Phạm Anh Quân, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đỗ Đăng Dương, 9A, THCS Đinh Công Tráng, Thanh Liêm, Hà Nam; Phạm Thị Ngọc Hà, 9/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Đỗ Nguyễn Vĩnh Huy, 9A1, trường phổ thông chuyên Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh

NGUYỄN MINH HÀ

Hồng và Hà đưa ra dự đoán: Nếu một số có 17 chữ số mà không chia hết cho

17 thì sẽ tồn tại một số gồm những chữ số liên tiếp của số đó và số này chia hết

Theo bạn thì dự đoán trên của Hồng và Hà có đúng không?

Do đó số 8 và 16 ở đầu và cuối của dãy

Bắt đầu từ số 16, ta xếp được dãy số sau:

16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8

+ Theo (1) thì ta không thể xếp được dãy theo

vòng tròn thỏa mãn điều kiện bài ra

Nhận xét Để giải được bài toán này, đầu tiên ta

phải viết các số chính phương 4, 9, 16, 25 thành

tổng hai số tự nhiên khác nhau Chẳng hạn

25=9+ 16 = 10+ 15 = 11 + 14 = 12+ 13

Dựa vào bảng này ta sẽ có kết quả (1)

Các bạn sau có lời giải đúng: Nguyễn Văn Cao,

7A, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà

Noi; Bui Thi Khanh Linh, 7C, THCS Thanh Thủy,

Thanh Thủy, Phú Thọ; Phạm Ngọc Hoàng, 9A1,

THCS Lê Quý Đôn, Thanh Nê, Kiến Xương, Thái

Bình; Đỗ Minh Gia An, 8A9, THCS Kim Hồng,

Danh sach cac ban giai dung ki 49: Hai ban

Pham Viét Danh, Tran Ngoc Vuong, 7A, THCS

Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn

Ngọc Quỳnh Như, 8A8, THCS Đoàn Thị Điểm,

56 Ngô Quyền, P An Cư, Ninh Kiều, TP Cần

Thơ, Cần Thơ; Trương Việt An, 6A4, THCS Cầu

Giấy, Cầu Giấy, Hà Nội

LÊ THANH TÚ

nhưng chưa đủ: Nguyễn Thanh Doãn, Nghiêm Sỹ Trung, Lê Như Việt Hoàng, Nguyễn Hoàng Hiệp, Trần Thùy Trang, 6A, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

au nay, cau bé Mac, con trai út của

thám tử Sêlôccôc vẫn tham gia sinh

hoạt tại một câu lạc bộ du lịch và

nhiếp ảnh tuổi teen Mọi thành viên của câu

lạc bộ đều rất thích đi chơi xa, chụp ảnh,

quay phim và sưu tầm sách báo, phim ảnh

về lĩnh vực này

Một hôm, câu lạc bộ của Măc quyết định

ra một bản tin nội bộ để giới thiệu hoạt động

của mình Cả nhóm say sưa làm việc Nào

viết bài, nào chọn ảnh, nào in ấn v.v Cuối

cùng, sản phẩm của niềm say mê và sự nỗ

lực đã hoàn thành Các thành viên câu lạc

Nhớ lời cha dan từ khi ý tưởng ra tờ tin mới

bắt đầu, Mặc vội mang bản in thử về để cha

xem và góp ý Thám tử Sêlôccôc vui mừng cầm tờ báo Cha! Cac cé bé cau bé giỏi quái

Trình bày đẹp, hình ảnh sắc nét, bài viết nhẹ nhàng, tươi vui Thật đúng với tâm lí tuổi

teen! Tham tử chăm chú đọc Kĩ từng bài,

xem kĩ từng bức ảnh, ngắm kĩ từng hình

minh họa Ông lấy bút, cẩn thận va ti mi

đánh dấu vào những câu chữ nên sửa hay

những hình ảnh chưa ưng ý

Khi đọc tới bài viết về một nhà nhiếp ảnh

nổi tiếng, thám tử Sêlôccôc rất tâm đắc

Ông thực sự hài lòng vì bài viết tuy ngắn gọn

nhưng đã khắc họa khá rõ nét chân dung

một nhà nhiếp ảnh đầy tài năng và tình yêu

nghề nghiệp Rồi thám tử chợt nhíu mày

Minh họa cho bài viết là hai bức ảnh do nhà

nhiếp ảnh này chụp trong những chuyến

thám hiểm xa xôi Bên dưới bức ảnh chụp

hai mẹ con gấu trắng đang âu yếm nhau là

dòng chú thích “Chụp tại Nam cực, năm

2005” Bên dưới bức ảnh chụp một chú chim

cánh cụt con đang chập chững tập bước là

dòng ghi chú “Chụp tại Bắc cực, năm 2007”

Thám tử gọi con trai:

- Măc ơi! Ra ba bảo này!

- Da, con day a Miễn chê phải không

ba?

- Đúng là ban tin của các con rất dep, rat

hay Lần đầu làm mà đã được như thế này

chứng tỏ các con giỏi lắm! Tuy nhiên

- Có điểm gì chưa ổn hả ba? Mà ba đừng khắt khe quá đấy nhé Nếu không nghiêm

trọng thì bọn con ngại sửa đi sửa lại lắm

- Chỗ nhầm lẫn này dứt khoát phải sửa con ạ Ngại mấy cũng phải sửa

- Thế ạ? Ba nói cho con biết đó là chỗ nào

dil

- 6 Không! Con tự tìm đi! Ba tin chắc

rằng con sẽ tự phát hiện ra và khi đó con sẽ thấy là nhất thiết phải sửa

Cậu bé Măc đành đọc đi đọc lại bản tin để tìm ra chỗ nhầm lẫn Cuối cùng, cậu cùng

các bạn khác trong câu lạc bộ đều nhất trí

phải sửa Bạn nào bạn nấy đều thốt lên:

“May mà thám tử Sêlôccôc phát hiện ral”

* Đố các thám tử Tuổi Hồng biết Sêlôcôc

đã yêu cầu con trai sửa lại điểm nào trong

Đọc bài kì này các bạn gửi đến, Sêlôccôc

tôi rất vui vì thấy hình như bạn nào cũng đã

từng đọc Truyện cổ Grim Tập truyện tuyệt

vời này mà không đọc thì thật đáng tiếc,

phải không các bạn? Đúng như các thám tử

Tuổi Hồng nhận xét: Truyện cổ Grim không

chia thành nhiều chương, mà là một tập

truyện gồm nhiều truyện nhỏ riêng rẽ Anh

Pip đã để lộ sự vô lí này trong lời kể của

mình

Phần thưởng được trao cho: Trương Việt

An, 6A4, THCS Cầu Giấy, Cầu Giấy, Hà

Nội; Nhóm Nguyễn Chu Hoài Anh, Nguyễn

Linh Chi, Nguyễn Vũ Quang, 6A2, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nhóm Phan Thị Kiều Oanh, Nguyễn Thị Hồng Nhung, Trần Thị Thanh Mai, 6A, THCS

Tùng Ảnh; Nguyễn Trần San, 6A, THCS

Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

Thám tử Sêlôccôc

17