Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 123 và 124

So 123 124 Full re pdf

TRUNG HOC CO SO NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM - BO GIAO DUC VA DAO TAO

Children’s Fun Maths Journal

Thư kí tòa soạn:

NGUYEN XUAN MAI

TS NGUYEN MINH DUC

ThS NGUYEN ANH DUNG

PHAM VAN TRONG

ThS HO QUANG VINH

TOA SOAN:

Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh,

quận Thanh Xuân, Hà Nội

Điện thoại (Tel): 04.35682701

Điện sao (Fax): 04.35682702

Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn

Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn

DAI DIEN TAI MIEN NAM:

TRAN CHi HIEU

Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO,

NGUYEN NGOC HAN, PHAN HƯƠNG

Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG,

MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH

Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN

Mĩ thuật: TÚ ÂN

CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN

Chi tich HBTY hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam:

NGUT NGO TRAN Al

Tong bién tap kiém Pho Ting Giam dic NXBGD Vidt Nam:

TS NGUYEN QUY THAO

Sử dụng đồng dư thức để tìm số dư khi

chia một lũy thừa cho một số nguyên tố

@ Do tri thong minh Hinh nao dung?

Đỗ Quang Huy 6

® Sai ở đâu? Sửa cho đúng

Bạn có băn khoăn gì không?

® Giải toán thế nào?

Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên (Tiếp theo và hết)

® Nhìn ra thế giới

Đáp án Olympic Toan Singapore (SMO)

2011 (Junior Section)

® Hướng dẫn giải đề kì trước

Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 tỉnh

® Danh sách học sinh đoạt giải

thi Giải toán qua thư năm học

® Học toán bằng tiếng Anh

Bài 3 Cách viết một chứng minh

Lê Quốc Hán, Nguyễn Lê Gia 40

® Cuộc thi dành cho các thầy cô giáo

toán - Thi ra đề kiểm tra, để thi toán

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - lớp 7 42

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện - lớp 8 43

® Thách đấu! Thách đấu đây!

Trận đấu thứ một trăm linh bảy

® Những đường cong toán học

Đường cong Plateau Trương Công Thành 48

® Bạn có biết?

Giải thưởng Abel, giải thưởng Leroy

P Steele Hoàng Nguyên Linh 49

® Cuộc thi vui

® Vào thăm vườn Anh Cười trong vườn Anh Minh Hà 61

© Ki nay Tam giac gi?

Cho góc vuông xOy có Oz là tia đối của tia phân giác Gọi A, B, C lần lượt

là các điểm trên tia Ox, Oy, Oz thoa man OA = 1, OB = 2 va OC = 42

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để dãy n + 9,

2n +9, 3n + 9, không chứa số chính phương

nào

Nhận xét Các bạn giải đúng và được thưởng

kì này: Nguyễn Văn Cao, 7A, THCS Nguyễn

Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Phan Đức

Nhật Minh, 9A, THCS Thị trấn Sông Thao,

Cẩm Khê, Phú Thọ: Ngô Thị Huế, 7B, THCS

Yên Phong, Yên Phong, Phú Thọ; Nguyễn

Doãn Quyết, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP

Vinh, Nghệ An; Quản Đức Bình, 8A2, THCS Trong dãy n + 9, 2n + 9, 3n + 9, có số Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ

3)

Tính chất Cho a, b, c, d,ec Z;m,n,ke Ñ' thỏa

mãn a = b (mod m), c =d (mod m) thi

(mod m) với k = (a, b) và (m, k) = 1

Trong các bài toán tìm số dư khi chia một lũy thừa

a"' cho một số nguyên tố p thì điều quan trong

nhất là phải tìm được số tu nhiên k nhỏ nhất sao

cho ak = 1 (mod p) hoac ak

điều đó ta có thể tính nhẩm n hoặc sử dụng máy

tính bỏ túi

Một số trường hợp ta có thể sử dụng định lí Fermat

Định lí Fermat Cho p là số nguyên tố và a là

một số nguyên, nguyên tố cùng nhau với p thì

sU' DUNG DONG ot THUC ĐỂ TÌM $6 DU

NGUYEN NGOC HAN

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nói đến một phương pháp tìm số dư khi chia một lũy thừa cho một số

nguyên tố Kiến thức chỉ cần trong phạm vi lớp 6 và cần biết thêm kiến thức về đồng dư thức

e) 64532 cho 7 f) 8200" cho 7

g) 9°42 cho 7 h) 1234878 cho 7 i) 88882468 cho 7

Bài 2 Tìm số dư khi chia a) 220099 cho 13 b) 349695 cho 13 c) 428494 cho 13 d) 53'° cho 13 e) 6872† cho 13 f) 7/89" cho 13 g) 8°49 cho 13 h) 9128434 cho 13 i) 111129496 cho 13 sj): 55555294987 cho 13

Bài 3 Tìm số dư khi chia

a) 2013201 cho 31 b) 345689123789 cho 43 c) 5432112345 cho 67 d) 3489/89 cho 37 e) 541135 cho 97 f) 213201564 cho 17 g) 68978 cho 41 h) 432123! cho 29

a 34089 i) 349™™ cho 11 (Xem tiếp trang 20)

®)

@ Ki nay

ldgic

HINH NAO DUNG?

Bạn hãy chọn một trong năm phương án để điền vào dấu hỏi chấm cho hợp

000006 YVOOOOW

©©©(@©®_ G)Œ)Œ)G)Œ)G)

ĐỖ QUANG HUY (sưu tầm)

@ Két qua CHON sé DUNG (TTT2 sé 121)

Nhận xét Đề ra kì này tương đối dễ và có nhiều

cách giải, số bạn tham gia giải rất đông và đều

chọn đáp án đúng là phương án C Một số bạn

đưa ra quy luật không rõ ràng

Quy luật Đặt tên các đỉnh của tam giác như

Xin trao thưởng cho các bạn sau đây có hai

cách giải tốt: Quản Thị Thu Huyền, 6A2, THCS

Lâm Thao, Phú Thọ; Chu Thị Hạnh, 7B; Mẫn Thị Thu Uyên, 9B, THCS Yên Phong, Yên

Phong, Bắc Ninh; Lê Thị Ngọc Trâm, Phan Thúy Hằng, 7B; Nguyễn Hạnh Nhung, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh Các bạn sau có lời giải tốt cũng được tuyên dương: Lê Thị Trang, 6E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường; Nguyễn Quang Minh, 6A1, THCS

Đồng Cương, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đào Quốc

Khanh, 6D, THCS Dang Thai Mai, TP Vinh,

Nghé An; Nguyén Tuấn Minh, 6D, THCS

Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quang Binh;

Nguyễn Trần San, 6A, THCS Hoàng Xuân Hãn,

NGUYEN XUAN BINH

6)

© Kindy Ban cb bitn khaš gì khôuug ?

Trong một cuốn sách bồi dưỡng (Toán 7) có đề bài như sau:

Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= |x + 1] + [x + 2] + |x + 3] + [x + 4]

Một bạn học sinh đã giải như sau:

A=f{-x- {| + |x+ 2l) + (_-‹ - 3| + |x + 4|) > |—x- 1 +x+ 2| + | ‹- 3+x+ 4| = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2

Bạn có băn khoăn gì với lời giải trên không?

NGUYỄN THỊ NHŨNG (GV THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)

@ Két qua BAI TOAN DAO (TTT2 số 121)

Nhận xét Bài ra tương đối khó nên không có

bạn nào giải được Bài toán đảo chưa chính xác

ở chỗ: Tiếp tuyến tại A của (O) với BD có thể cắt

nhau cũng có thể song song

Lời giải đúng Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1 Tiếp tuyến tại A của (O) giao với

Từ AB = AD nên CA là phân giác của BCD

Theo giả thiết CE là phân giác của BCD nên

Như vậy, ta có thể thay kết luận của bài toán đảo như sau: Chứng minh hai tiếp tuyến tại A và C

của (O) và BD hoặc đồng quy hoặc song song với nhau Hoặc giữ nguyên kết luận và thêm vào

giả thiết của bài toán đảo: Tứ giác ABCD có đường chéo AC không là đường trung trực của

BD

Chú ý Ta có thể giải trường hợp 2 bằng phản

chứng như sau: Gia sử tiếp tuyến tại C của (O)

cắt BD tại M Làm như trường hợp 1 ta được tiếp

tuyến tại A của (O) cũng đi qua M, trái giả thiết

ANH KÍNH LÚP

Œ)

5 Dùng chia hết và chia có dư

Ví dụ 20 Giải phương trình nghiệm nguyên

xt +X3 + + XỔ = 1992

Giải Nếu x : 2 thì xf : 16

Nếu x không chia hết cho 2 thì

x4 — 1 = (x2 — 1)(x? + 1) = (K — 1)(x + 1)(x? + 1):

16 (vi (x2 + 1): 2vax-1,x + 11a hai s6 chan

liên tiếp, trong hai số có một số chia hết cho 4)

nên xf chia 16 dư 1

Suy ra xt + X2 + + X? chia cho 16 có số dư r thỏa

Tinh chất 2 Nếu a, b là các số nguyên thỏa mãn

(a2 + b2) : p, với p là số nguyên tố có dạng 4k + 3

Số 1900 có một ước nguyên tố là 19 có dạng 4k + 3 Suy ra (x + 1) : 19, (2y) : 19

Do đó (x + 1)2 + (2y)2 : 192: vô lí

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

7 Phương pháp xuống thang

Ví dụ 22 Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Như vậy bộ ba E 2 ; 3) cũng là nghiệm của (1)

Cứ tiếp tục như vậy suy ra Yo 3 là các

3⁄4 3k 3

số nguyên với mọi k c Ñ Do đó XS =Yo=Z¿ = Ô

Vậy nghiệm nguyên của (1) là (0; 0; 0)

Ví dụ 23 Cho n c Ñ Tìm a, b, c, dc Ñ biết rằng

a2+b2+c2+d2= 7.4", (1)

(Junior Balkan Mathematical Olympiads 2003)

Giải Với n = 0 thì a2 + bˆ + c2 + d2 =7

Suy ra (a; b;c; d) = (2; 1; 1; 1) và các hoán vị

Với n > 0 thì a2 + bˆ + c2 + d2: 4 nên tổng này sẽ

chia hết cho 8 hoặc chia 8 dư 4

Mà mỗi số a2, b, c2, d2 chia 8 dư 0 hoặc 1 nên

Cứ tiếp tục lập luận như vậy, sau n - 1 bước ta

được phương trình ac, + bo, + ce + dể ¿ = 28

Từ đó nghiệm tự nhiên của phương trình (1) là

Vậy (1) có nghiệm nguyên duy nhất x = 3

Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có 2.5/8x + 1< 25 +8x+1= 26 + 8x

Một số phương trình có thể đưa về phương trình

bậc hai một ẩn số, ta có thể sử dụng điều kiện để

phương trình có nghiệm là A > 0 hay A là số chính

phương để phương trình bậc hai có nghiệm

X2 + x(7a - x) + (7a - x)2 = 39a

hay x? - 7ax + 49a2 - 39a = 0

Biệt thức A = (7a)2 - 4(49a2 - 39a) = -147a2 +

156a > 0 @0<m<—— = ac {0; 1}

Với a = 0 thì x = 0 > y =0

Với a = 1 thì x2 —- 7x + 10 = 0, ta được (X; y) = (2; 5), (5; 2)

Bai tap tu luyén Bai 25 Giải các phương trình nghiệm nguyên:

(Xem tiếp trang 17)

®)

Đặt các nghiệm là n¿ < n„ < n„ < n„ < n;, Đa thức có thể phân tích thành

Œ& - n¡)(X - n.)& - nạ)(X - nr)X — nz) = x? — (n, +n, +Ng +n, + Ne) XA 4K n;n.nanạn;

So sánh các hệ số: n; +n- + nạ + n¿ + ny = =3 và n;n.nnạn; = 20112

Thin, = -2011, ng = ng= ny, = 1, ng = 2011

3 (C)

Néu z = 2 thi (x,y) = (1,1)

Néu z = 3 thi (x,y) = (1,2), (2,1)

Néu z = 4 thi (x,y) = (1,3), (2,2), (3,1)

Néu z = 5 thi (x,y) = (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)

Néu z = 6 thi (x,y) = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)

Trong 15 trường hợp có 8 trường hợp ít nhất một số là 2 Vậy xác xuất là =

Diện tích giới hạn béi AD, DE va AE là

Nên diện tích hình quả trứng là: piteanl 5-1} (5 v2 =(3-/2)n-1

Chú ý rằng lũy thừa của bất cứ số nguyên dương n mà chữ số cuối cùng là 1 hoặc 6 cũng là 1 hoặc

6 cuối cùng tương ứng Nếu chữ số cuối cùng của n là 9 thì n2 = 1 (mod 10) và n" = n†9k+ 9 =_4 =9

2 „2 2 Nén 4% 42-2

a be c

42 Đáp số: 5

13 _ 134-.3) - (4+-/3)2 (4-A3)4+2J3)

Nên (x - 4)2 = 3 Hay x2 - 8x + 15 = 2

Chú ý rằng x =

x+/3 V3x-1, 5 V3 x -14+V3x +3 V3x +1

x+ 73 V3 x -1 X3X — 43 V3

Đặt Q(x) = (1 + x)P(x) - x Như vậy Q(x) là đa thức bậc 201

Vì Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(2010) = 0, chúng ta có thể viết Q(x) = Ax(x — 1)(x — 2) (x — 2010) với

A là hằng số

1 = Q(-1) = A(—1)(-2)(-3) (_2011) = -A.2014!

42

Q(2012) + 2010 _

Như vậy Q(2012) = A.2012! = -2012 và P(2012) = 2013

16 Đáp số: 9241

Dat n= [x], {‡x}= x—n Phương trình trở thành (n+{x} ={x} =|(n+‡x}Ÿ |

Như vay 3n{x (n+ {x}) = [an fx fn +{x)+ iy |

Vế phải là một số nguyên Kết quả trên xảy ra nếu và chỉ nếu 3n{x (n+ {x là một số nguyên Chú ý rằng 0 < 3n{x Wn + {x ) < 3n(n + 1)

Có đúng 3n(n + 1) nghiệm trong [n, n+ 1], n = 1, 2

Nên trên [1,20 |, tổng số nghiệm là: 3(1 x 2 + 2 x 3 + 20 x 21) + 1

= (23 - 13) + (33 - 23) + + (213 - 203) - 20 + 1 = 213 - 20 = 9241

17 Đáp số: 224

Với số n nhỏ nhất có thể ta cần có số 9 như là chữ số trong n nhiều nhất có thể Nên n là số nguyên

mà chữ số đầu tiên là 2011 - 223 x 9 = 4 và 223 chữ số 9 tiếp sau

Mỗi phương trình biểu diễn một đường tròn

Khoảng cách giữa hai tâm là: \@ ~(-1))? +(-2-2)? =5

20 TYdon< 18 suy raA, <A, ,

Nếu 10 < n < 18 thì n < 10 + 8< 10+

9

n 1+ 1

20

23 Đáp số: 169

Đặt a, là số cách có thể lát hình 1 x n

Nếu n < 10 thì n < 10+

Như vậy a, =a,_ ¡+ a„_› + a _ „ với điều kiện ban đầu a; = 1, a„ = 2, aa = 3 và a¿ = 6

Như vậy a, = a¿ + aa + a; = 10, ao = a; + a¿ + a; = †18, a; = 8a + ay + aa = 31, ae = 8; † đe + ¿ = 55,

8o = 8g † a; + a = 96, a¡o = 8o + aa + ae = 169

24 Đáp án: 288

Xem hình sau Giả sử hình vuông 2 x 2 trên cùng bên trái điền các số 1, 2, 3, 4 Nếu x, y, z, w tất cả

phân biệt thì không có số nào khác để đặt vào a; nếu {x, y} = {z, w} thì x', y', z, w là tất cả phân biệt

và không có số khác cho a'

Chú ý rằng {x, x’} = {1, 2}, {y, y'} = {3, 4}, {z, z’} = (2, 4} va {w, w} = (1, 3} Cé 2 = 16 kha nang Trong

đó 4 trường hợp là không thỏa mãn: {x, y} = {z, w} = {1, 4} hoặc {2, 3}, {x, y} = (1, 4} va {z, w} = {2, 3},

{x, y} = {2, 3} va {z, w} = {1, 4}

Với mỗi trong 12 trường hợp thỏa mãn thì x', y’, z’, w’ la xac dinh duy nhất nên các hình vuông 2 x 2

25 Đáp số: 14

Nếu ngày 13 của tháng giêng là một ngày cụ thể biểu diễn bằng số 0 thì ngày 13 của tháng hai rơi

vào 3 ngày sau, biểu diễn bằng 0 + 31 = 3 (mod 7)

Truong hop 1 Hai năm liên tiếp không nhuận

lê | Mười [ Mười

0 3 3 6 1 4 3 5

1 4 4 0 2 5 4 6

Trường hợp 2 Hai năm đầu là năm nhuận

0 3 4 0 2 4 6

2 5 5 1 3 5 0 Trường hợp 3 Năm thứ hai là năm nhuận

Giêng | Hai | Ba | Tư nàn ai

Từ bảng này chúng ta thấy câu trả lời là 14 Khoảng thời gian xảy ra dài nhất khi thứ sáu ngày 13 rơi

vào tháng bảy của năm đầu và tháng chín của năm thứ hai, trong đó năm thứ hai không phải năm nhuận

Mỗi đoạn của đường gấp khúc được dựng sử dụng, coi là Ð với chiều dài 2, 4, 6, ., 200 Ð cuối cùng

là 100 + 101 = 201 Vậy tổng chiều dài là 2 (1 + 2 + 3 + + 100) + 201 = 10301

=X+ 2x2 + 2x3 + x4,

P(x) =x (1+ x)(1+x+x

Q() =x (1+ X)(1+x+ Xx2)(1T—x + X2) =x + XỔ + Xf + x9 + XỔ + xổ,

Nên các con số của con xúc xắc đầu tiên là 1, 2, 2, 3, 3, 4 và con thứ hai là 1, 3, 4, 5, 6, 8

Như vậy a; + a + + a=1+2+2+3+3+4=15

30 Đáp số: 109

2-PA+3-PB+5-PC-=2(PA + PC) + 3(PB + PC) >2 -AC+3-BC=2- 17+3-25= 109

Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu P = C

31 Đáp số: 4

Cho tam giác đều PQR Gọi C, là đường tròn ngoại tiếp và C là đường tròn nội tiếp của nó Giả sử

QR, RP, PQ là các tiếp tuyến đến C, tại các tiếp điểm P’, Q’, R' tương ứng Diện tích tam giác PQR

bang 4 lần diện tích tam giác P'Q' nên diện tích C cũng bằng 4 lần diện tích C

Nên C = 12 hoặc C = -20 (loại)

Thay y = -x + 12 vào parabol ta được x? = -x + 12 nén x = 3, -4 Vay A la (3, 9) va B la (-4, 16)

Từ giả thiết, BD + 2 + AE = BD + DC Nên 2 + AE = DC Chú ý rằng ABZ + BEZ =AE2 và BD? + BC2 = DCˆ

Do d6 (2 + BD)? + 34 = AE’, BD? + 72 = (AE + 2), 4 (AE + BD) = 32 Vay AE + BA = = +2=10

DAT MUA TAP CHi TAI CAC CO SO BUU DIEN TRONG CA NUUC

(Junior Balkan Mathematical Olympiads 2000) Bài 28 Giải phương trình nghiệm nguyên X(x + 1)(x + 2) + (x+ 1)(x + 2)( x + 3) + x(x + 1)(x

+3) + x(x + 2)(x+3)=y?

Bài 29 Chứng minh rằng các phương trình sau

không có nghiệm nguyên:

p=Xƒ +Vƒ = x5 + 2y5 = xg + 3y8 = = Xfo +10Yƒo trong đó x, ¥, € Z, i= 1, 2, , 10

Bài 32 Giải phương trình nghiệm nguyên dương

đây là phương trình bậc hai ẩn 4x

Điều kiện để phương trình có nghiệm là A > 0 hay

-3P2 + 6P + 1>0 ©(P-1)2 “sẽ

Do P nguyên nên (P - 1)2 bằng 0 hoặc 1

Từ đó P bằng 1 hoặc 2

Thay P = 1 vào (1) ta được x = 1: loại

Thay P = 2 vào (1) ta được x = 0: loại

Vậy không tồn tại giá trị của x để P nhận giá trị nguyên

Câu 2 (x + y)Ÿ = (x — y - 6)Ê (1)

Tur (2) suy rax + y< X—y — 6 nén 2y + 6 < 0:

phương trình vô nghiệm

Do đó x < y + 6

Từ (2) suy ra X + y < y +6—x nên x< 3

Với x = 1, thay vào (1) ta được

(y + 1) =(y + 5)? © yŸ + 2y? - 7y - 24 =0

2012 = (abc + bcd + cda + dab - a - b— c— d)2 =

[(ab — 1)(c + d) + (cd — 1)(a + b)]? = [(ab — 1)(c + d)]2 + 2(ab — 1)(c + d)(cd — 1)(a + b) + [(cd — 1)(a + b)]?

< (ab — 1)(c + d)É + (ab — 1)2(cd — 1)ˆ + (a + b}2(c + d)^ + [(cd — 1)(a + b)]2 = [(ab — 1)? + (a + b)][(cd — 1)? + (c + d)2| = (a2b^ + a2 + b^+ 1)(c7d2 + c2 + d2 + 1)

1 Vì AI là tiếp tuyến của (O,) và (O.) nên

AM,.AN, = Al? = AM AN Suy ra tứ giác

M;N,N.M; nội tiếp

Ta có ANN = ẤMM; = —ÃOM,

Mà AOM,M, cân tại O nên OAM, + SAOM; = 909

Do dé ANiNo + OAM, = 90° hay OA L N,N

2 Gọi S là giao điểm của PM, và QM

Ta có O, O., M; thẳng hàng; O¿, I, O thẳng hàng f3”

BE THICHON HOC SINH GIO! TOANLOP 9 HUYEN YENLAC UNH PHOC

Năm học 2012 - 2013

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

KRRREKKRARRENRRKREKRKRER ERE

Câu 1 a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x?— 2y? = 2013

b) Chứng minh rằng tổng bình phương của p số nguyên liên tiếp (p là số nguyên tố, p > 3) chia hết

Cau 3 a) Rut gon biểu thức: M =

b) Giai phuong trinh x? + 2x? — 4x = Ta:

Câu 4 Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA

b) Cho tam giác nhọn ABC

Chứng minh rằng: sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC)

Câu 5 Xét ngũ giác đều ABCDE Ta thấy 3 đỉnh

bất kì trong 5 đỉnh của hình ngũ giác đều là 3 đỉnh

của một tam giác cân

Be THI CHON HOC SIH GIOI TOAN LOP 9 Tink Bic GIANG

Nam hoc 2011 - 2012 * Ngay thi: 01/4/2012

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

KREREKKKRRRK KR RRR KR ERK Cau 1 (5,0 diém)

1+4x + 1—4x , biết x- 12

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (m + 1)x? — (2m + 1)x + m- 1 =0 có hai nghiệm

1) Tính giá trị của biểu thức: A =

phân biệt xạ, x„ thỏa mãn xƒ + xổ -2009x¡x; = 2012

1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x biết x và y là hai số thỏa mãn đẳng thức: y2 = 3(xy + y — x—

2) Tìm các số nguyên k để biểu thức k“ - 8k + 23k2 — 26k + 10 là số chính phương

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H bất kì không trùng với A và O,

kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm (M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa

điểm A) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của CM, CN với đường thẳng AB

1) Chứng minh HC là tia phân giác của MHN

2) Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại

| Chứng minh I là trung điểm của PQ

3) Chứng minh rằng ba đường thẳng PN, QM và CH đồng quy

i) 5841277 cho 23 e) 1489” cho 7 f) 102103”” cho 13

k) 1357214 cho 59 ) 45° cho 13 h) 234789" cho 7

1) 35691789 cho 83 g _ a

m) 5432112345 cho 67 ¡) 345590 cho 13 j) 102113” cho 7

n) 89345/°°°° cho 73 k) 12345589'” cho 43 I) 34789”” cho 7

o) 54107359 cho 89 8g287®7 2269337

p) 123456789°98/654321 cho 2011 m) 349 cho13 n) 1114 cho 7

q) 987654321 123458789 cho 2011, o) 123559” cho 13 p) 4'°” cho 11

Bài 4 Tìm số dư khi chia q) ag927” cho 11 r) 42a4222”° cho 11

a) 10121013“ cho 7 — b) 34889” cho 13 s) 145 698473 cho 11

c) 12346789””" cho7 d) 348%” cho 13

HANO! OPEN MATHEMATICS COMPETITION cOl3

JUNIOR SECTION

Sunday, March 24, 2013 * 14h00-17h00 KRRAERKRKERKRKRREKRERNREKRERERA

Important Answer all 15 questions

Enter your ansewer on the ansewer sheet provided

For the multiple choice questions, enter only the

letters (A, B, C, D or E) corresponding to the correct

answers in the answer sheet No calculators are

allowed

Multiple Choice Questions

Question 1 Write 2013 as a sum of m prime

numbers The smallest value of m is:

(A): 2; (B): 3; (C): 4;

(E): None of the above

Question 2 How many natural numbers n are

there so that n2 + 2014 is a perfect square

(A): 1; (B): 2; (C): 3; (D): 4;

(E) None of the above

Question 3 The largest integer not exceeding

[(n+1)œ] — [na], where n is a natural number,

42013 , iS:

42014

(A): 1; (B): 2;

(E) None of the above

Question 4 Let A be an even number but not

divisible by 10 The last two digits of A2° are:

(A): 46; (B): 56; (C): 66; (D): 76;

(E): None of the above

Question 5 The number of integer solutions x

of the equation below

Question 6 Let ABC be a triangle with area 1

(cm?) Points D, E and F lie on the sides AB, BC

and CA, respectively Prove that min {Area of

AADF, Area of ABED; Area of ACEF} < : (cm2)

Question 7 Let ABC be a triangle with A= 90°,

B = 60° and BC = 1 cm Draw outside of AABC

three equilateral triangles ABD, ACE and BCF

Determine the area of ADEF

Question 8 Let ABCDE be a convex pentagon

Given that area of AABC = area of ABCD = area of ACDE =

area of ADEA = area of AEAB = 2 cm

Find the area of the pentagon

Question 9 Solve the following system in posi- tive numbers

3

(x + a)(x + b)(x + c) = xỶ + 3dx2 + 3x + e

Find the smallest value of d

Question 12 If f(x) = ax? + bx + c safisfies the condition

X Cx

forallxe N

2)

Bài 1(121) Giả sử A là một số nguyên dương và

B là một số nguyên dương có được do đổi vị trí các

C - 888888888, thỏa mãn bài toán

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 888888888

Nhận xét Hầu hết các bạn khi tìm được n > 9 đã

kết luận giá trị nhỏ nhất của C là 888888888 (có

9 chữ số 8) mà không chỉ ra được một thí dụ về hai

số A, B thỏa mãn bài toán Làm như vậy là không

chặt chẽ

Bạn Lê Ngọc Sáng, 6E, trường phổ thông chuyên

Hà Nội - Amsterdam, đã đưa ra thí dụ:

Bài 2(121) Cho tam giác ABC có số đo các góc

B và C tương ứng la 70°, 40° Các đường cao BD

và CE cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm AH, M là

giao điểm của tia phân giác góc EID với BC Tính

Giả sử M' là trung điểm BC

Tam giác AEH vuông tại E có El là đường trung

tuyến ứng với cạnh huyền nên AH = 2IE

Tuong tu AH = 2ID, BC = 2ME, BC = 2MD

Suy ra EMD =180° —40° -100° =40°

Vay IMD = SEMD = 209

22

Nhận xét Mấu chốt của bài toán này là tính chất

hình học: IM là tia phân giác của góc EID và MI là

tia phân giác của góc DME

Các bạn sau có lời giải tốt: Phạm Hoàng Ly, 7A1,

THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Lê Quang

Trung, 7A4, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh,

Phú Thọ; Lưu Thị Hồng, 8C, THCS Cao Xuân

Huy, Diễn Châu; Dương Thị Linh Chi, 7B, THCS

Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Nghiêm Thị

Ngọc Ánh, Trần Thị Hương Ly, 7B, THCS Hoàng

Xuan Han, Dtic Tho, Ha Tinh

= x > 3 (mâu thuẫn với (5))

* Nếu y = -2 thay vào (1) ta được x = 3

Thử lại thấy đúng

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) là (3, -2) Nhận xét Các bạn sau có lời giải ngắn gọn:

Nguyễn Thị Thanh Hương, 8A; Nguyễn Hữu

Nghĩa, Nguyễn Chí Trung, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong; Lê Huy Cường, 9A2, THCS Từ Sơn,

TX Từ Sơn, Bắc Ninh; Đỗ Thị Như Quỳnh, 9A,

THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Pham Hoang Anh, 8B, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Mạnh Khang, 8A,

THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

NGUYEN VAN MINH

Bai 4(121) Giả sử x và y là hai số nguyên dương

thỏa mãn A = x2 + y2 chia hết cho 2013 Tìm giá

trị nhỏ nhất của A

Lời giải Ta có 2013 = 3.11.61

Suy ra A chia hết cho 3, 11, 61

Nếu a là số nguyên không chia hết cho 3 thì số dư

của a2 trong phép chia cho 3 bằng 1

23

Mà A = x2 + yŸ : 3 nên x: 3 và y : 3 (1)

Lại có, nếu a là số nguyên không chia hết cho 11

thì số dư của a2 trong phép chia cho 11 thuộc tập

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 66429

Nhận xét Đây là một bài toán hay và thú vị Có

nhiều bạn tham gia giải Bài toán trên chỉ cần vận

dụng tính chất chia hết của tổng các số chính

phương cho các số 3, 11, 61 để đi đến kết quả

Một số bạn đã dùng định lí Fermat để giải bài toán

trên

Các bạn sau đây có lời giải tốt và gọn hơn cả: Tạ

Lê Ngọc Sáng, 6E, trường phổ thông chuyên Hà

Nội - Amsterdam, Hà Nội; Nguyễn Phùng Thái

Cường, 8B, THCS Hòa Hiếu Il, TX Thai Hoa;

Phạm Quang Toàn, 8C, THCS Đặng Thai Mai,

TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Thị Thanh Hương,

8A; Nguyễn Chí Trung, 9A, THCS Yên Phong,

Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Đức Thuận, 8A3:

Phạm Anh Quân, Nguyễn Thanh Bình, 8A1,

THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Dương

Minh Đức, 8A, THCS Kim Đồng, Tân Lạc, Hòa

Nhận xét Ngoài cách lập luận theo hướng tổng

quát ở trên, ta có thể liệt kê cụ thể các hàm số

Chẳng hạn từ X vào Y ta chọn f(a) = 1, f(b) = 2

Có ít bạn giải đúng bài toán này Sau đây là các

bạn giải đúng: Nguyễn Chí Trung, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Phan Đăng Nam, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc

Bài 6(121) Cho tứ giac ABCD c6 DA= DB = DC =a

va AB + BC = 2a Gọi I là giao điểm của AC với

BD Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và BCD bằng tỉ số chu vi của hai tam

giác ABI và BCI

Lời giải Trong lời giải này các kí hiệu P(.) và S(.)

theo thứ tự chỉ chu vi và diện tích của tam giác

Không mất tính tổng quát giả sử AB > BC

Gọi Bx là tia phân giác của góc CBD; d là đường

thẳng đi qua D vuông góc với AC; E là giao điểm

của Bx với đường thẳng đi qua D song song với

AC; P là giao điểm của Bx với AC; F là điểm đối

xứng với E qua D; Q là giao điểm của BF với AC;

Mà điểm thuộc tia BI sao cho BM = BC; N là điểm

thuộc tia BI sao cho BN = BA

Vi DA= DC vad LAC nénA, C déi xttng véi nhau

qua d

Vì F, E đối xứng với nhau qua D, d L AC và

AC // FE nên E, F đối xứng với nhau qua d

Két hop véi BA = BN, ta cé ABF = NBF

Chu y rang QP // FE va FD = ED, suy ra IQ = IP

Vậy, theo tính chất của đường phân giác, ta có

DANH SACH CA NHAN YA TAP THE BOAT GIAl THI GIAI TOAN QUA THU

Nam hoc 2012 - 2013

Căn cứ vào số lượng bài tham dự của các bạn, Tạp chí Toán Tuổi thơ công bố danh sách đoạt giải

Cuộc thi Giải toán qua thư năm học 2012 - 2013 trên tạp chí TTT2 Ngày 8.6.2013, Tạp chí sẽ tổ chức trao giải tại Lễ khai mạc Olympic Toán Tuổi thơ 2013, tổ chức tại Vĩnh Phúc Thư mời sẽ được gửi tới

các bạn Các bạn có thể đến nhận giải xin vui lòng gọi điện về Tòa soạn để xác nhận Các bạn không

dự được, BTC sẽ gửi đến phần thưởng đến theo địa chỉ Các bạn vui lòng gửi thư hoặc gọi điện thông

báo địa chỉ mới nhất cho Tạp chí

Sau đây là danh sách đoạt giải:

1 |Nguyễn Đức Thuận 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ Giải Vàng

2 |Nguyén Ngoc Linh 9B, THCS Nguyén Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội Giải Vàng

3_ |Đỗ Nguyễn Vĩnh Huy TH li lo thông chuyên Trần Đại Nghĩa, Giải Bạc

4_ |Hồ Xuân Hùng 9C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An Giải Bạc

5 |Nguyén Thanh Tam 7B, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vinh Phúc Giải Bạc

6 |Nguyễn Trường Phong 9A1, THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng Giải Bạc

7 |Tạ Lê Ngọc Sáng Hà Nor phổ thông chuyên Hà Nội - Amsterdam, Giải Bạc

8 | Trịnh Huy Vũ 9A10, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội Giải Bạc

9 |Đào Xuân Hiệp 9C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc Giải Đồng

10 | Chu Mai Anh 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc Giải Đồng

11 | Chu Văn Trang 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh Giải Đồng

12 |Hoàng Thị Ngọc Thúy 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh Giải Đồng

13 | Mẫn Bá Tuấn 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh Giải Đồng

14 |Nguyễn Bảo Châm 9E, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc Giải Đồng

15 _ | Nguyễn Quốc Nghiên 8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc Giải Đồng

16 | Nguyễn Thanh Lan 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội | Giải Đồng

17 |Nguyễn Thị Thanh Hương | 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh Giải Đồng

18 |Phạm Thị Ngọc Hà 9/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương|_ Giải Đồng

19 |Phan Dang Nam 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc Giải Đồng

TTT

Nhận xét Các bạn sau có lời giải của nhiều câu

đúng nhất được thưởng: Bửi Thị Mỹ Duyên, 6A3,

THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đỗ Minh Gia An, 8A9, THCS Kim Hồng, TP Cao Lãnh, Đồng Tháp; Nguyễn Hương Ly, 6/2, Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh; Nguyễn Hạnh Nhung, 8B, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh

TTT khen các bạn sau cũng có lời giải tốt: Tạ

| Khắc Thắng, 6A4, THCS Yên Phong, Yên Phong,

— — — Bắc Ninh; Nguyễn Minh Nguyệt, 6B; Nguyễn

| | | | | Xuân Duc, 6C, THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ,

27)

(68 Phạm Văn Đồng, TP Pleiku, Gia Lai)

hám tử Sêlôccôc đang có chuyến

công tác nước ngoài Mặc dù rất

bận rộn nhưng ông vẫn dành thời

gian đến thăm mấy người bạn Hôm đó, khi

mới tới chơi nhà bà Lily thì thám tử có điện

thoại của ông Harison:

- Xin chào ông bạn cũ của tôi! Biết ông

đang ở thành phố này, tôi có việc cần, muốn

nhờ ông giúp đây!

- Sẵn sàng thôi! Ta gặp nhau chứ?

- Bây giờ tôi sẽ đón ông Ông cho địa chỉ

di!

Nửa tiếng sau, thám tử Sêlôccôc đã ngồi

trên xe của ông Harison Ông Harison đưa bạn cũ của mình vào một quán cà phê nhỏ

và kể:

- Chiều nay, ông Mac - Phó Giám đốc

công ty của tôi bỗng nhiên mất tích Chúng

tôi đã báo cảnh sát nhưng đến giờ vẫn chưa

có manh mối nào Chỉ lo nhỡ có chuyện gì

không may

- Còn thông tin nào nữa không? Ông kể

cu thé di!

- Chiều nay, công ty có cuộc họp lúc 15

giờ những mãi gần 16 giờ ông Harison vẫn chưa tới Số di động không liên lạc được

Gọi tới nhà thì không có người nghe máy Vì

ông Harison sống một mình nên thấy vậy,

chúng tôi vội vã tới nhà ông ta

- Ông có chìa khóa nhà ông Harison à?

- Đúng, ông Harison là người can than, lai

hay đau ốm, nên luôn gửi chìa khóa dự

phòng cho tôi

- Tại nhà ông ấy, các ông có phát hiện

được điều gì không?

- Sau khi xem xét hiện trường, cảnh sát

nghỉ ông Harison đã bị bắt cóc Mà kể cũng

có lí, ông ấy vốn là một nhà khoa học tài

giỏi, có nhiều công trình giá trị Hiện tôi đang

giữ mảnh giấy mà tôi tìm được trên bàn phím

máy tính ở nhà ông Harison Đọc chẳng

hiểu gì nên tôi muốn nhờ ông giải mã đây

Nói rồi ông Harison đưa cho thám tử

Sêlôccôc mảnh giấy nhỏ với những chữ cái

- Đây là mật mã ông Harison kịp để lại cho chúng ta đấy Tôi đã giải mã được rồi Rất có thể đó là nơi có liên quan mật thiết tới

vụ bắt cóc này

Nghe thám tử nói vậy, ông Harison mừng lắm mặc dù vẫn chưa hiểu bản mật mã nói gì Các thám tử Tuổi Hồng hãy giải thích giúp nhé!

© Kéi qua ALLA KE KHA NGHI oressizy

Có lẽ vì mèo là vật nuôi quen thuộc trong

nhà nên bạn nào cũng biết rõ loài vật này

rất sợ nước Chính vì thế, bạn nào cũng

nhanh chóng phát hiện sơ hở trong lời kể

của anh Pip, khi anh ta nói là đi xem tiết

mục mèo thi bơi

Phần thưởng được gửi tới: Bùi Thị Mỹ

Duyên, 6A3, THCS Lâm Thao, Lam Thao,

Phú Thọ; Tập thể lớp 7B, THCS Thị trấn

Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang; Nguyễn

Quang Minh, 6A1, THCS Đồng Cương,

Đồng Cương, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Hoàng

Ngọc Hải Linh, 7A, THCS Đoàn Thị Điểm,

Yên Mỹ, Hưng Yên; Đính Thị Hồng Nhung, fA1, THCS Lê Danh Phương, Hưng Hà, Thái Bình; Lê Anh Nhật, 6A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh

Thám tử Sêlôccôc

29

Hen vdi tigng Han

ThS NGUYEN VU LOAN

Từ mới

& gao: [cao] cao, lon 2>#£jinnián: [kim niên] năm nay

EL bi: [ti] so sanh, so voi (At BF A cao hơn B)

Z duõ: [đa] bao nhiêu (# bao nhiêu tuổi, Z ïŠ cao bao nhiêu )

3 shuõ: [thuyết] nói # 7 YIngyũ: [anh ngữ] tiếng Anh

#;®yìshù: [nghệ thuật] nghệ thuật 3 £Hàny: [hán ngữ] tiếng Hán

Mẫu câu và hội thoại

1 A:#£#Z%? (Niduõ dà?) Bạn bao nhiêu tuôi?

B:RA4+ AF (Wodjinnidn shiwi sui.) Mình năm nay mười lăm tuổi

A: #RAY DEAR (Nide Hànyũ hšn ho.) Tiếng Hán của bạn rất tốt

B:MWHBĂ 1⁄2 #†T£NB ? (Xièxie Nihuì shuö Yïngyũ ma?)

Cảm ơn Bạn biết nói tiếng Anh không?

A:#41i#†E (Wð huì shuõö YTngyũ.) Mình có biết nói tiếng Anh

2 A:1h;E:1 ? (Tãshì shuí?) Cô ấy là ai?

B: fhe Bee AAA, PMY NZ, MRK, i MEK, eR eR

(Ta shi w6 hao péngyou Ta jiao XiaoHong, ta bi w6 da, yé bi w6 gao Ta xihuan yishu, ta

xiăng zuò huảjiã.) Cô ấy là bạn thân của mình, cô ấy tên là Tiêu Hồng Cô ấy lớn hơn mình,

cũng cao hơn mình Cô ay thích nghệ thuật, cô ay muốn làm họa sĩ

Tập đọc và dịch

1 FM Mary, KReSE, KROSTOS

(W6 Jiao Mary, wo shi xuésheng, w6 jinnian shisi sui.)

2 ?%ï5, tri Xi, fUSMX2

(Wð huì shuö Y1ngyũ, yš hưì shuö Hànyũ, wð yš xIhuan yìshù.)

3 TomE_tMikefl, Mikektk Tom72., (TombiMike gão, Mike bĩ Tom đà.)

(Xem tiếp trang 53)

Clearly, from we have

Similarly, we can prove that

From (1) and (2) we get

Bai 3 CACH VIET

MOT CHUNG MINH

Vì Nhưng

Tuy nhiên, dù sao

Như vậy, nếu

Mặt khác

Phương pháp 1

Trường hợp † Loại, bố

là điều thần kì nhất trong số bất cứ ma phương nào đã từng được tạo ra bởỏi bất cứ nhà

ảo thuật nào” Vậy ma phương là gì?

1) Ma phương

Theo từ Hán - Việt, ma có nghĩa là ma trận,

phương có nghĩa là hình vuông (khái niệm bình

phương, số chính phương cũng từ đây mà ra)

Như thế ma phương là một ma trận vuông, nó có

thể được tạo ra bằng việc điền các số nguyên liên

tiếp từ 1 đến n2 vào các ô của ma trận vuông sao

cho tổng các phần tử thuộc cùng một hàng, một

cột hoặc một đường chéo chính luôn bằng nhau

Số này được gọi là hằng số ma phương Nếu số

hàng (hoặc cột) của ma phương bằng n, thì n

được gọi là cấp của ma phương Khi đó, với giả

thiết rằng dãy số nguyên liên tiếp bắt dầu từ số 1,

thì hằng số ma phương được tính bởi công thức

n(n? + 1)

Tổng quát hơn, nếu day số tạo nên các

phần tử của ma phương bắt đầu từ số k > 1 thì hằng

n(n? +1)

số của ma phương là +n(k—') Do tính

chất kì thú này của ma phương mà người ta gọi

ma phương là hình vuông ma thuật (Magic

square)

Ma phương là đề tài thú vị, đã thu hút sự quan

tâm của nhiều nhà toán học trong đó có

Leonhard Euler Ông đã thành lập một ma

phương cấp tám bao gồm các số tự nhiên liên

tiếp từ 1 đến 64 Điều đặc biệt là Euler đã dùng

cách đi của quân mã để di chuyển trên ma

phương, từ số 1 đến số 2, qua số 3 và cứ thế lần

lượt đến số 64

Để lập ma phương, người ta phân ma phương

thành hai loại: ma phương lẻ (cấp của ma phương

là số lẻ) và ma phương chẵn Trong ma phương chẵn lại chia ra: ma phương cấp 4n và ma

phương cấp 4n + 2

2) Tiểu thuyết gia Kim Dung với ma phương

Tại Trung Quốc, huyền thoại về ma phương đã có

từ rất xa xưa Tương truyền rằng: Vào khoảng

2.000 năm trước Công nguyên, khi vua Đại Vũ trị

thủy, ở sông Lạc Thủy xuất hiện một con rùa rất lớn (thần quy), trên lưng rùa có hình hoa văn cấu

thành một bức đồ hình mà người Trung Quốc sau này gọi là Lạc thư (Lo-shu) Lạc thư trên lưng rùa

am hiểu sâu sắc về Kinh dịch và văn hóa cổ

Trung Hoa, Kim Dung đã đem ma phương của

Lạc thư phổ vào tiểu thuyết của mình Ông mô tả

32