Các chủ đề luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2020 - 2021

Phiếu há»Â�c tập tuần toán 7  Sưu tầm CÁC CHỦ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Thanh Hóa, ngày 27 tháng 5 năm 2020 1 Chuyên đề 1 CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước chuyên 2018 2019) a) Rút gọn biểu thức 1 1 1 1 1 1 1 1 a ab a a ab a T ab ab ab ab    + + + + = + − − +      + − + −    b) Cho x + =3 2 Tính giá trị của biểu thức 5 4 3 2H x 3x 3x 6x 20x 2023= − − + − + Lời giải a) Rút gọn biểu thức T Điều kiện 0 0 1 a b ab ≥  ≥[.]

Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 1 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019)

a b ab

x x

x y với x > > y 0

b) Thay x = 3 y (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được:

Câu 4 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - Chuyên 2016-2017)

Đơn giản biểu thức x+ +2 2 x+ −1 x+ −2 2 x+1 với x > 0.

Lời giải

Với 0 < a < 1, ta có:

2 2

a a

Vậy giá trị của x cần tìm là 16;36;144

Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019)

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

Lời giải

Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019)

Suy ra có 2017 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán

Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương - chuyên 2018-2019)

Tính giá trị của biểu thức:

=+

Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình - chuyên 2018-2019)

Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: P = 5 x + + 3 2018.3 x

Lời giải

Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: P = 5 x + + 3 2018.3 x

+) Biểu thức P có nghĩa khi: 5 x + ≥ 3 0

Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái – Chuyên 2018-2019)

a P

11

42

a a

a a

(thoả mãn điều kiện)

Câu 20 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai - chuyên 2018-2019)

x x x P

Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC

Câu 22 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019)

Cho các số dương x y, ,z thỏa 1

Câu 23 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019)

a) Cho ,x y là hai số dương Chứng minh rằng: x y x y

y x

2 2

b) Xét các số thực a b c, , với b a c≠ + sao cho phương trình bậc hai ax2 +bx c+ =0

có hai nghiệm thực m n, thỏa mãn 0 ≤m n, ≤1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y= > 0.

b) Giả thiết phương trình ax2 +bx c+ = 0 có hai nghiệm m n, (0≤m ≤1, 0 ≤ ≤n 1)

nên ≠ 0.a Theo định lí Viete, ta có: m n b

a

a

=

m n

2

1

Vậy giá trị lớn nhất của M là 2 đạt được khi mn = 0 hay c = 0

Do 0≤m ≤1, 0 ≤ ≤n 1 nên mn ≤ 1, suy ra:

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3

4 đạt được khi m n= = 1 hay a b c+ + = 0 và a c=

Câu 24 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019)

(điều phải chứng minh)

Dấu " " = xảy ra khi 1

4

a= =b

Câu 25 (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyên 2018-2019)

Cho x y z , , là ba số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

Câu 27 (Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019)

Cho x y z, , là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng 1 1 1 49

Áp dụng kết quả trên, ta có:

Dấu "=" xảy ra khi 1 49 1.

7

x x

x = ⇔ = Trương tư, ta có: 4 49y 28

y+ ≥ (2) Dấu "=" xảy ra khi 4 49 2

Câu 28 (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre – chuyên Toán - 2018-2019)

Cho hai số thực dương a b, thỏa a b+ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 29 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định – chuyên Toán - 2018-2019)

Cho hai số dương a, b thỏa mãn a 1 1

Câu 30 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019)

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy+yz+zx≥ + +x y z

Câu 31 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019)

Cho , ,a b c là các số dương Chứng minh rằng:

a) 2 3 2

2

≥ −+

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:

Câu 32 (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019)

Cho các số thực dương x y z , , thỏa mãn x + + = y z 4.

Câu 33 (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa - chuyên 2018-2019)

Với , , a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc+ + = Chứng minh

Ta có điều phải chứng minh

Câu 34 (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắk - chuyên 2018-2019)

1) Cho các số thực x y, không âm Chứng minh rằng 3 3 2 2

x +y ≥x y+xy 2) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng:

5 ab5 5 bc5 5 ca5 1

a b ab+b c bc+c a ca ≤

Lời giải 1) Bất đẳng thức: 3 3 2 2

Câu 35 (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên - chuyên 2018-2019)

Cho ,a b là hai số thay đổi thỏa mãn a>0 và a b+ ≥1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

a b

a b

Câu 36 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam - chuyên 2018-2019)

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy+yz+zx≥ + +x y z

Câu 37 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019)

a) Cho các số dương ,a b Chứng minh a24 1 b24 1 2

1

a c a b a

b a b c b

c a c b c

32

Dấu “=” xảy ra khi 1

x x

Đẳng thức xảy ra khi (x y z; ; )=(2 2; 0; 0) hoặc (x y z; ; )= −( 2 2; 0; 0) và các hoán

vị của nó Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 32 2

Câu 39 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2016-2017)

Xét x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1 Tìm giá trị nhỏ nhất

x= = =y z Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 1

Câu 40 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái – Chuyên 2018-2019)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Câu 41 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai - chuyên 2018-2019)

Cho a b c, , là các số thực dương tùy ý, Chứng minh rằng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

Câu 42 (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An - chuyên 2018-2019)

Cho các số thực không âm a b, thoả mãn (a b− )2 = + +a b 2

Câu 43 (Học sinh giỏi huyện Hoằng Hóa - 2015-2016)

x +y + y +z + z +x =2015

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T x2 y2 z2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Câu 46 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019)

Câu 47 (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyên 2018-2019)

Kết hợp với (2) ⇒ ∆ > ⇒' 0 Phương trình (1) có nghiệm

* Kết luận: Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm

Câu 48 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019)

Thử lại ta được nghiệm phương trình là: x = 0; x = − 3.

Câu 49 Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019)

a) Xác định các giá trị của m để phương trình 2

x

x x

Câu 51 (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre – chuyên Toán - 2018-2019)

a) Cho phương trình 2

x − mx− − =m với m là tham số Tìm các giá trị của m để

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa 2 2

  , với mọi m⇒ phương trình đã cho luôn có 2

nghiệm phân biệt với mọi m

9

x x

Giải 8 hệ trên, suy ra hệ phương trình (3) có nghiệm hữu tỉ khi: m = 1 hoặc m = 5

Câu 53 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019)

Câu 54 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019)

t= ⇔ = −x Vậy phương trình có một nghiệm x= −1

Câu 55 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( )x y, của phương trình: ( ) ( 2 2)

Thử lại ta được 3 nghiệm nguyên của phương trình: ( ) ( ) ( )0; 0 , 1; 2 , 2;1

Câu 56 (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x=4

Câu 58 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019)

Câu 59 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019)

Giả sử x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình 2

Kết hợp với điều kiện có nghiệm ta có m= −2 hoặc m=2

Câu 60 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019)

x m x m (1) ( x là ẩn số, m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để phương trình có hai

nghiệm phân biệt x1< x2 thỏa mãn x1 − x2 =3

với mọi giá trị m

b) Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để phương trình có hai

nghiệm phân biệt x1<x2 thỏa mãn x1 − x2 =3

Do phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và x1 <x2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S={ }2; 4

Câu 62 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2−xy y+ 2 =2x−3y−2

Vậy nghiệm của phương trình: (0; 2 , 0; 1 , 1; 1 − ) ( − ) ( − )

Câu 63 (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình −5x 3y=2xy−11

Câu 64 (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019)

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 0 f x = có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3 thỏa mãn 2 2 2

1 2 3 4

x +x +x <

Lời giải

1

4

m m

3 2

3 2 2

3 2y+ ≡1 1(mod4 ) Suy ra phương trình vô nghiệm

Thử lại, suy ra có hai cặp nghiệm ( ) (1; 1 , 2; 4) thỏa mãn yêu cầu

Câu 70 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương - chuyên 2018-2019)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S={3,5;3}

Câu 71 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương- chuyên 2018-2019)

Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2 ( )

x − m+ x− = (1), với x là ẩn, m là tham số Gọi x x1, 2 là hai

x x

=

+ − Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Câu 74 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi chuyên 2018-2019) x+ +1 1 3− x = +x 2

vô nghiệm, nên nghiệm của phương trình ban đầu là x=0 (thỏa điều kiện)

Câu 75 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định chuyên 2016-2017)

m m

Câu 76 (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình chuyên 2018-2019)

a Giải phương trình (1) khi m = 1

b Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Giả

sử hai nghiệm là x x1; 2, khi đó tìm m để 2 2

 = −

⇔ 

= +



Vậy phương trình có hai nghiệm: x1= − 2 2, x2 = + 2 2

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Giả

sử hai nghiệm là x x1; 2, khi đó tìm m để 2 2

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệtx x1; 2 với mọi m

Khi đó, theo định lý Viet:x1+ x2 = 4 mvà:

( )

( ) ( )

Câu 78 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương chuyên 2018-2019)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y, thỏa mãn: 2 2 ( )

Câu 79 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương chuyên 2018-2019)

Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện 2 2

x + y + y− xy− =

Lời giải

Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện 2 2

( thỏa điều kiện)

Thử lại ta có x=1 là nghiệm của phương trình

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ' 0∆ >

6

m

2,

2

m m

x − y− x+ = ⇔y x + x= y x−

Với x=1 từ ( )* suy ra 3 0= (vô lý) nên x=1 không phải là nghiệm của phương trình

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là ( ) (4;8 , −2; 0 , 2;8 , 0; 0) ( ) ( )

Câu 81 (Tuyển sinh tỉnh An Giang - chuyên 2018-2019)

x 2mx m  2 0 ( m là tham số)

a Giải phương trình khi m 3

b Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ; x1 2 thỏa x1  x2 2

Giả sử t1 0 t2 Do 2

x t x  t Vậy phương trình đã cho luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

c) Phương trình có hai nghiệmx ; x1 2 thỏa x1  x2 2

Khi đó 2 2

12mm   2 0 m 2m  1 0 m 1 Thử lại thay m 1 ta được

Thỏa điều kiện x1  x2 2

Câu 82 (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An - chuyên 2018-2019)

1 Giải phương trình x + x + =3 2x2 +4x +3

2 Cho phương trình x2 −(2m +3)x +3m + =1 0, m là tham số

a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 thoả

x

x x

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm là x = 0, x =1.

2 a) Ta có ∆ =(2m +3)2 −4(3m +1) 4= m2 + >5 0 với mọi m

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x x1, 2

Vậy hệ phương trình có các nghiệm: (3; 4 ,) (− −3; 4 , 4; 3 ,) ( ) (− −4; 3 , 3; 4 ) ( )

Câu 84 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019)

Giải hệ phương trình: (x2 1)(y2 1) 10

Ta có: (x2 1)(y2 1) 10 x y2 2 x2 y2 1 10 (x y)2 (xy 1)2 10 (I)

u v

y

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: ( ) ( ) (1; 2 , 2;1 , 1; 2 ,− ) (−2;1 , 0; 3 ,) ( − ) (−3; 0)

Câu 85 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019)

Thế vào (2) ta được phương trình 2

⇒ = thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm của hệ là ( ; ) (7;3).x y =

Câu 86 (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyên 2018-2019)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( , )x y ∈{(1; 2), ( 1; 0)− }

Câu 87 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2016-2017)

Ta thấy x = = y 1 thỏa mãn (1) và (2) Hệ đã cho có duy nhất nghiệm (x y; ) ( )= 1;1

Câu 88 (Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019)

2

11

x x

Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm: ( ) ( )x y; = 1;1

Câu 89 (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa – chuyên Toán Lam Sơn 2018-2019)

x x

y x

Lời giải

Giải hệ phương trình:

36

Câu 93 (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019)

+ Với y= − ⇒ = −3 x 2 (TM)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x y; ) ( ) (= 2;3 ; x y; ) (= − −2; 3)

Câu 94 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019)

+ Nếu y=2x+2 Thay vào phương trình (2) ta được :

x − x+ = ⇔x − x − x− = ⇔ − x − x− = (phương trình vô nghiệm)

+ Nếu y= − +x 1 Thay vào phương trình (2) ta được:

x − − +x = ⇔ x− = ⇔ = ⇒ = −x y Vậy tập nghiệm S ={ (2; 1− ) }

Câu 95 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019)

x y

⇔ − = ⇔ = (thỏa mãn điều kiện)

Câu 97 (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắk - chuyên 2018-2019)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ; ) ( 1; 2)x y = − −

Câu 98 (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên - chuyên 2018-2019)

y v x

00

1

x

x y

y y

0

01

11

1

x

x y

y y

Câu 99 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019)

+) y= +x 2 thay vào phương trình 2

1212

Câu 101 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định- chuyên 2016-2017)

Với x= ⇒ =2 y 2(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 2; 2

Câu 102 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi - chuyên 2016-2017)

x

x y xy y

Với x= ⇒ =2 y 2(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 2; 2

Câu 104 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái – Chuyên 2018-2019)

Giải hệ phương trình:

2 2

Hệ phương trình vô nghiệm

Với y≠0, hệ phương trình (I) tương đương với hệ

x

x y y

x y

Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( )1; 2 và (−2; 5)

Câu 105 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai – Chuyên 2018-2019)

= −



 = −

Vây hệ phương trình có các nghiệm là ( ) ( ) (0; 0 , 3; 2 , − −2; 3)

Câu 106 (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An - chuyên 2018-2019)

Giải hệ phương trình

+ + − =

Chuyên đề 5: HÀM SỐ

Câu 107 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019)

: =2

P y x và đường thẳng ( )d :y=2x+ −m 1, với mlà tham số

Tìm a để d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt M N, có hoành độ x M,x Nsao cho

Câu 108 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019)

Cho Parabol P y( ) : = 1x2

2 và đường thẳng ( ) :d y =(m +1)x m− 2 −1

2 (m là tham số) Với giá trị nào của m thì đường thẳng d( ) cắt Parabol P( ) tại hai điểm

A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 sao cho biểu thức T =y1 +y2 −x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Khi đó theo định lý Viet thì x x (m )

Câu 109 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - 2018-2019)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(1;-3) cắt các trục Ox, Oy lần tượt tại A và B

a) Xác định tọa độ các điểm A,B theo k

b) Tính diện tích tam giác OAB khi k 3=

Lời giải

Gọi pt đường thẳng d có hệ số góc k là =y kx+b

a) M(1;-3) ϵ d nên: − =3 k.1+ ⇒ = − −b b 3 k

Khi đó đường thẳng d có dạng: y=kx− −3 k

Nếu k 0,y= = −3 thì M∉ d trái với giả thiết, suy ra k ≠ 0

Đường thẳng d cắt Ox tại A nên A x( ; 0)0 ∈d: 0 3 0 0 3+

k A

Câu 110 (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyên 2018-2019)

Cho đường thẳng ( ) :d y=ax+b Tìm a b, biết đường thẳng (d) tiếp xúc với

( ) :P y=x tại điểm A( 1;1)− nên phương trình (2) có nghiệm kép x1 =x2 = −1

Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình: 1 2 11 3

4x = 8 x−2 Phương trình này có hai nghiệm: x=4 và 3

Dễ thấy hai điểm A B, cùng nằm về một phía so với trục tung Lấy điểm A'(−4; 4)

đối xứng với A qua trục tung Khi đó CA CB+ =CA'+CB≥ A B' , nên CA CB+ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi A C B', , thẳng hàng, tức là khi C là giao điểm của đường

Câu 112 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) có phương trình 2

y=x và hai đường thẳng (d):y = m; (d’): y = m2 (với 0 < < m 1) Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai

điểm phân biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số âm) Tìm m sao cho diện tích hình thang ABCD gấp

9 lần diện tích tam giác OCD