Một số bài toán Bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 năm 2021

Nguyễn Trung Kiên 0988844088 MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Bài 1 Với x là số thực không âm Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   1 11 3 3 1 P x x x          Hướng dẫn Ta có   1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 3 13 1 x x x x x xx                  , 1 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 x x x x x x          suy ra 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 23 1 x x x x x x xx                            (*) Tương tự 1 1 2 1[.]

MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ÔN

THI VÀO LỚP 10 Bài 1 Với x là số thực không âm Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Hướng dẫn:

Ta có:

x

x

3

x

3

x

x

Dấu đẳng thức xảy ra tại

1

x 

Bài 2 Cho các số thực dương x y, thỏa mãn: x2y2  Tìm giá trị nhỏ nhất của 1

1

x y P

xy







Hướng dẫn:

2

2

2 2 2 2

P



Ta chứng minh: 2 8

9

P  hay

9 x 2xyy x y 8 x xyy  x y 2xy x y 8x y 

x y  xy xy  Bất đẳng thức này luôn đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

2

x y Vậy GTNN của P là 2 2

3 tại

1 2

x y

Bài 3 Với x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y3,xy5 Tìm GTLN của biểu thức: 2  2 

Hướng dẫn:

Ta sẽ chứng minh: x2x3y2y3 22233233 hay

2 2 3 3 2 2 3 3

3 y 3 y 2 x 2 x  hay 0

thức khai triển Abel : a b1 1a b2 2 a1a b2 1a b2 1b2

Ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành:

hay

Chú ý rằng với điều kiện: 0x y3,xy5 thì VT 0 nên bất đẳng thức được chứng minh

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x2,y3

Bài 3 Cho các số thực x3,y 3 thỏa mãn xy2 x 3 y3 Chứng minh rằng:

 2 2

4 x y 15xy830

Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có

0

 



Mặt khác xy2( x 3 y3)2 2(xy)  xy 8 4x y8

Xét biểu thức P4(x2y2) 15 xy4(xy)27xy Từ điều kiện xác định ta có

x3y30xy 3x y9 Dẫn đến

Ta có: 4xy221xy634x y 4211xy125 11.4 125   83

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x y4 và x3y30  x 7,y  3

Vậy GTNN của P là -83 tại x7,y  3

Bài 4 Cho các số thực x y, thỏa mãn:  2 2

x x y y  Tìm GTNN của

2 2

Px xyy

Hướng dẫn:

Giả sử x y;  là các số thực thỏa mãn 2 2

x x y y 

Ta có x2  3 x x2 x x x0, tương tự y2 3 y0

3

ax x  với a 0 2

3

2

2

a

a



3

by y  ta sẽ thu được

2

3 2

b y b



 Ta có

x xyy  xy  xy  x y

Nên 3 2

4

P xy Xét Q  ta có: x y

2 2

Q

  với điều kiện a b, 0,ab Ta 9 có:

2 2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 3 x y 1

Bài 5: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn: abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 3 3

P

Hướng dẫn:

Ta có

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:

a b c

P

 



     Ta chứng minh:

2

a b c

 



2 a b c 3 2 1a 1b 1c Chú ý rằng:

2 2 1a 2 2 1a 2 1 aa3 dẫn đến

3 2 1a 1 b 1c 3 a  b c 9 Cuối cùng ta chỉ cần chỉ ra

4 a b c 3 a b c 27 a  b c 3 4 a b c 90 nhưng điều này luôn đúng

2 tại abc1

Bài 6 Cho 3 số thực không âm x y z, , Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

Hướng dẫn:

Ta có  2 2 2

3 x  y z  x yz

2 2 2

3 8

Ta chứng minh:

2 2 2

x y z

Mặt khác ta chứng minh được:

2

8 3

x







(*) thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

64x 9x 6x 1 x 3 3x 2x 12x 6x 1 0 x 1 3x 8x 1 0

đẳng thức cuối cùng đúng vậy (*) được chứng minh

Tương tự ta cũng có:

2

8 3

y







,

2

3 1 8 3

z







Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta có

đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz1

Bài 7 Cho các số thực a b c không đồng thời bằng 0 và , , a b c   Biết 0

2 2 2

2

a b c



 

Hướng dẫn:

2

a b c  ta thu được:

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

2

x y z

Vì

2

y z  yz   x  x  x  x x x   x x 

x

x x







 



suy ra 0 2

3

P

 

Bài 8: Cho các số thực x y z, , thỏa mãn: x2y2z2  Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 8

3 3 3 3 3 3

P x y  y z  z x

Hướng dẫn:

Ta có P  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 2 2 2 2 6

3 8

x y z

x y z







Do vai trò x y z, , như nhau nên ta có thể giả sử x y thế thì z  3 3

2

P x z ta có

3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

3

P  x  xzz x xzz x xzz           

2 2 2

4

   mà  2 2 3 2 2 23 3

8

x z  x y z  nên P 32 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2 2,yz0 hoặc x y0,z 2 2

Bài 9 Cho các số thực dương a b c Chứng minh: , ,

1

Hướng dẫn:

Đặt:

P

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

Ta có

2

3

P

Ta chứng minh:

1 3

Q

Chú ý rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2

Ta cũng có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Từ đó suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Ta có:

S

hay 3 1

T

Ta viết lại

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

T

Cauchy-Schwarz ta có:

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

T

3

Q  nên P 1 đpcm Dấu đẳng thức xảy ra tại abc

Bài 10 Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn: a2b2c2 3 Tìm giá trị lớn nhất của

2 2 2

P

Hướng dẫn:

Ta chứng minh: P 1 hay 2 2 2 2 2 2 1

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  2  2  2 2

1 1 1

có 2 bất đẳng thức nữa và suy ra

3 3 3

2

2 2 2 2 2 2

2

a b b c c a ab bc ca

2

a b c  a b b c c a   ab bc ca  a b c a b b c c a

Hay chứng minh:  2 2 22  3 3 3 

3

a b c  a b b c c a  ( Đây là một bất đẳng thức nổi tiếng )

Sử dụng đánh giá: xyz2 3xyyzzx với

xa bc ab y b ca bc z c ab ca ta có:

3

a b c   a bc ab b ca bc  b ca bc c ab ca  c ab ca a bc ab 

Khai triển và thu gọn vế phải ta được:  2 2 22  3 3 3 

3

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1

Bài 11 Cho các số thực không âm a b c thỏa mãn: , , a2b2c2  Tìm GTLN,GTNN của 3

P

Hướng dẫn:

P

a b c, ,  là hoán vị của bộ số 0; 0; 3 

Do ab bc ca  a2b2c2  3 ab bc ca, ,  dẫn đến 3 4ab0 Sử dụng bất đẳng thức

2

2

nên

9





tự ta cũng có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại thì thu được: 15 15 3 1

ab bc ca

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c 1

Bài 12 Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn: , , x y z0;z và 1 x   Tìm GTLN,GTNN y z 3

Px y  z  xyz

Hướng dẫn:

GTLN

Từ z  1 x y   Ta có: 3 z 2

2

z  xyz xy yz zx z z x y  xy z  nên suy ra

2 2 2 2 2 2

Px y  z  xyzx y z  xyyzzx  xyz  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3;y  hoặc z 0 y3,x  z 0

GTNN

Ta có:

3

P z z  z   Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0, 3

2

Bài 13 Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn: ab a b   Tìm giá trị lớn nhất của 3 P

 2 2

Giải:

Đặt t  suy ra a b t  , ta có 0 ab t  3 ab  nên 3 t t  ( do 3 a b , 0)

Mặt khác ta có: ab2 4ab suy ra 2   2   

t  t t  t   t t   t

vậy 2  t 3

Đưa P về f t Ta có:  

2

Thay tab ab,  3 t ta có:

2

2 3

Ta chứng minh:     1 2 1 1 3 3

Tức là chứng minh:

Bất này luôn đúng do t  Vậy P max bằng 2 3

2 tại ab 1

Bài 14 Cho các số thực a b c, , thỏa mãn: 2 2 2

1

a b c  Tìm GTLN,GTNN của

P   a b c ab bc ca 

Hướng dẫn:

3 a b c  a b c a b  c 3 a b c  3

Ta chứng minh: ab bc caa2b2c2 1

Suy ra P  3 1 Tại 1

3

abc thì P  3 1 nên GTLN của P là 3 1

Cách khác:

2Pt 2t1 Với ta b c

Ta có  2  2 2 2

a b c  a b c     t

Suy ra  2

2P t1    2 2 P  , dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 t  1…

 2

2P 3 1   2 2 2 3P 3 1 …

Bài 15: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b  c 1 Tìm GTLN,GTNN của

P

Hướng dẫn:

Trước hết ta chứng minh: 27

8

Từ giả thiết a b  c 1 ta suy ra 1

27



   

ab bc ca abc a b c

ab bc ca abc a b c a b c



8 3 2 ab bc ca abc 27 1 ab bc ca abc a b c 

Hay

3 11 ab bc ca  19abc27a b c 04 3 19  abc27a b c 11.4 ab bc ca 

Từ bất đẳng thức quen thuộc a b c b c a c       a babc suy ra

1 2 a1 2 b1 2 cabc 11.4ab bc ca  11 1 9  abc

4 3 19  abc27a b c 11 1 9 abc Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 1 27 abc1 4 abc Bất đẳng thức cuối 0

cùng đúng do 1

27

1

3

ab c

Tiếp theo ta chứng minh: P 3

Ta có 1ab,1bc,1ca1 nên P 3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c là hoán vị ; ; 

của bộ số 0; 0;1 

Bài 16 Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b  c 1 Tìm GTLN,GTNN của

3

Hướng dẫn:

a abca a b c  abca a b a c

;

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có

Chứng minh tương tự ta được:  1  1

;

3

Mà ta có a b c  3a b c  3 Nên ta suy ra P  3.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ

3

ab c

Dễ thấy P a2  b2  c2 a b c   dấu đẳng thức xảy ra khi 1 a b c là hoán vị của bộ , , 

số 1;0; 0 

Bài 17 Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn: ab bc ca3 Tìm GTNN của biểu thức

Hướng dẫn:

Nhận xét: Với mọi số thực dương x thì x1,x21;x31,x5 luôn cùng bằng 0 hoặc cùng 1 dấu

a a   a a  a a   a a   a a 

b  b   b b b  b  b b  b  , tương tự ta có

Dẫn đến  3  5 3  7 5   2  2  2 

Trước hết ta chứng minh:  2  2  2   2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:

2 2

b c

b c

a b  c a      a      

2

4

b c

Hay

5 4  b c 2 4 b 4 c 4 40 5 b 5c 10bc20 bc 4 b c 4b 4c 16

Hay

2 2 2 2

4b c 10bc11b 11c 20 b c 240 2bc2  b c 10 b1 10 c1  0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng (*) được chứng minh

Bây giờ ta có: a b c  2 3ab bc ca       dẫn đến 9 a b c 3 5a b c  22125 vậy P 125 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc1

Vậy GTNN của P là 125 tại abc1

Bài 18.Với x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn:  2 2 2  

5 x y z 6 xyyzzx

2 2 xyz 2 y z  3

Hướng dẫn:

Sử dụng bất đẳng thức:  2  2 2

2

A B  A B ta có:

5x 6x yz  yz 05x yz   x yz 0

2 5



2 2 xyz 2 y z 2 4 yz  yz đặt yz   Ta chứng minh: t 0

4tt  3 t 4t 3 0 t1 t 2t3  bất đẳng thức này luôn đúng Dấu ‘=’ xảy 0

2 1

 







  



Bài 19 Cho các số thực dương x y z, , sao cho xyyzzx1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2

2 x y z

Hướng dẫn:

Ta có  

2 2 2 2 2 2

xy yz zx

3 3 3 3 3 3

2 2 2 3 3 3

1

2

Mặt khác ta có:

3 3 3 3 3 3

2 2 2

x z y x y x z y z y x z

x y y z z x

2 2 2

2

2

2

P x yz  xyz  xyz  

  Đặt txyz ta có

3 2

2

P  t t  t do

xyz2 3xyyzzx  3 t 3

Ta chứng minh:

thức cuối cùng luôn đúng do t  3 Vậy GTLN của P là 3 3 tại x yz1

Bài 20 Cho các số thực không âm x y z, , thỏa mãn điều kiện: x   Tìm GTLN,GTNN y z 1 của

P xy z yz x zx y

Hướng dẫn:

Sử dụng bất đẳng thức  2  2 2 2 2 2 2

AxByCz  A B C x y z

P  xy z yz x zx y

x y y z z x x y1 z y z1 x z x1 y 4 1 xy yz zx

3

xyyzzx  xyz   xyyzzx suy ra 4 3

3

P  dấu đẳng thức xảy ra

3

x yz

Ta cũng có: Pxy 1zyz 1xzx 1y xy  yz  zx2 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z; ;  là hoán vị của bộ số 1;0; 0

Bài 21 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn: 0 yx4,xy Chứng minh: 7

2 2

25

Hướng dẫn:

Cách 1: Do x  suy ra 4 x x y4xy (tạo x ) Ta có 2 y x y7y

Cộng 2 bất đẳng thức suy ra

x xy y xy  xy  y x y  x y xy x  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x4,xy 7 x4,y 3

Cách 2: Ta chứng minh: 2 2 2 2      

x y    x x  y y  Sử dụng công thức khai triển Abel : a b1 1a b2 2 a1a b2 1a b2 1b2

Ta có: 4x4x  3y3y  1 x y4x  3y7 x y Rõ rang với điều kiện đề bài thì 1 x y4x  3y7 x y ddpcm 0

Bài 22 Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a b  c 1 Tìm GTLN của

P a b c  b ac  c a b

Hướng dẫn:

Ta có

P a b c  b ac  c a b  a bc  b ac  c ab

Hay P 4a1a2  4b1b2  4c1c2 a     1 b 1 c 1 4 Dấu đẳng thức xảy

ra khi a b c là hoán vị của bộ số ; ;  1;0; 0 

Bài 23 Cho các số thực x y z , , 0 thỏa mãn: x2y 1 x2z  Tìm GTLN,GTNN 1 4 của Pxy z xyyzzx

Hướng dẫn:

Tìm GTNN

Cách 1: Từ giả thiết ta suy ra

16 x2y 1 x2z1  1 1 2 x2y2z2 4 xy z 1 suy ra xy z 3

Ta có Pxy z 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3,yz0

Cách 2:

Đặt a 2 x2y  1 0 x2z   do 1 2 a x y z , , 0 nên  1 a1

2 x  y z 1 2 a 4    x y z a  và 3 y z 4a

Do 2

0

a  nên xy z 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x3,yz0

Tìm GTLN:

Chú ý rằng: 4x y z23yz2 12xyyzzx  2x y z2 12xyyzzx

xyyzzx x y z  yz Dẫn đến 1 2 1 2

P   x y z xyz  yz

2 2 2

2 1 2 2 3

        Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

x yz

Bài 24 Cho a b c, , là 3 số thực dương thỏa mãn: (ac b c)(  )4 c2 Tìm GTLN của biểu thức:

A

b c a c bc ca

Bằng cách: axc b, yc Giả thiết trở thành:

A

Bài toán trở thành: Cho x y , 0 , xyxy3 Tìm GTLN

A

Đặt t  suy ra x y xy 3 t do x y, 00 t 3 Lại có xy2 4xy suy ra 2  

4 3

t  t   t    t   vậy t 2 t 3

Ta có

2 3 2 3 2 3 2 3 3 3

A

Ta chứng minh: A f  2  hay 1

2

               luôn đúng do 2  t 3 Dấu bằng xảy ra tại t2x y 1 abc

Bài 25 Cho các số thực a b c, , thay đổi luôn thỏa mãn: a  b c 4 và a2b2c2 6

a Tính giá trị biểu thức M ab bc ca 

b Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Pa3b3c3

Hướng dẫn:

a Từ giả thiết ta có:    2  2 2 2

5

ab bc ca

b Ta có

2 2 2

4 6

a b c

  







suy ra

2 2 2

4 6







mà  2 2  2

2 b c  b c b c, suy ra

2 6a  4a  3a2 a2  0 3a2 3a6 0 3 2 0 2 2

a

a a

 



 



Tương tự ta cũng có 2 , 2

3b c

Sử dụng đẳng thức 3 3  3  

3

x y  xy  xy xy Ta có

Pa b c  ab  ab ab c  c  ab c c

4 c c 12ab 3abc

P c c  ab abc  c c  ab abc

12c 4 c 12ab 3abc 64

Hay P 12c a b  12ab3abc6464 12 ab bc ca  3abc 3abc4Vì

2

3a b c suy ra

0









0





 





50

2

27 abc

   suy ra 86 10

9 P

Khi a2,b1,c1 thì P 10, 2, 5

a bc thì 86

9

P 

Vậy GTLN của P là 10, giá trị nhỏ nhất của P là 86

9