Phương trình bậc hai, hệ thức Viet và ứng dụng - Dương Minh Hùng

 Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021 2022    ➊ Công thức nghiệm ➋ Công thức nghiệm thu gọn ➌ Định lí Vi ét Tóm tắt lý thuyết Ⓐ  Phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có  = b2 4ac  Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm  Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =  Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = ➋ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ỨNG DỤNG VIÉT   Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021 2022    ➍ Ứng dụng Vi ét (nhẫm nghiệm đặc biệt của phương tr[.]

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =



➍ Ứng dụng Vi-ét: (nhẫm nghiệm đặc biệt của phương trình bậc hai)

➎ Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số:

Phân dạng toán cơ bản

Ⓑ

Phương pháp:

 Chuyển vế

 Quy đồng (ĐK nếu có)

 Phân phối, thu gọn đưa về phương trình bậc nhất

❖Dạng ➊ Giải phương trình quy về bậc nhất

1 = − − − =−

2

51)49(

50

150

)

1(5049

50)1(49

2 1 2

1

2 1

x

x x

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50

150 =

−

−b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0

Phương pháp: Áp dụng một trong các cách sau

Ví dụ ➊

Cách 3: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3; b = 2 3; c = – 2 – 3)  = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  = 4

Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

)32(2

432

432

23

23

(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)

4 x 6x 3x 30 15x 6x 30 4x 15x 4 0

= −



  = −

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = −1, x2 = −3

Giải các phương trình sau:

Ví dụ ➌

Bài tập rèn luyện



 Hướng dẫn giải

x − + =x x + x− x2− −x x2−2x= − − 1 5

x x

x − x− =Phương trình đã cho có a b c− + = 0Suy ra phương trình có hai nghiệm x = − và 1 x = 3

 Hướng dẫn giải

a) Đặt 2

( 0)

t =x tPhương trình ( )1 trở thành 4 2 ( )

11

2 1

2 1 2 2

x x

x x x x

❖Dạng ➌ Tính giá trị biểu thức nghiệm dùng Vi-ét

Cho phương trình x2 + x - = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A = ; B = x1 + x2 ; C = ; D = x1 + x2

Ví dụ ➊

B = x1 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3)2−2(− 5)=3+2 5

5

1)5(

523

2 2 1

2 2 2

x x

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2

Ví dụ ➊

và x2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7

Ví dụ ➋

Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1) a) Giải phương trình đã cho với m = 0

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

Ví dụ ➍

m = 2

a) Giải phương trình với m = -2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6

Ví dụ ❻

a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3

b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , 2

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2)

Ví dụ ❼

Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)

a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn

Ví dụ ❽

Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)

Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm

 Lời giải

a) Với m=2, ta có phương trình: 2x2 + x3 +1=0 Các hệ số của phương trình thoả mãn

013

2− + =

=+

2

1

2

12

2 1

2 1

m x x

m x

a) Giải phương trình khi b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn

Ví dụ ❾

 Lời giải

a) Khi a=3 và b = − ta có phương trình: 5 x2 + x3 −4=0

Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x1 = x1, 2 =−4

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2   =a2−4(b+ 1) 0 (*)

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2

2 1

x x

x x

3

2 1

2 1

x x

x x

Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm

b)Ta có: ∆ = 1 – 4m Để phương trình có nghiệm thì ∆0

1 – 4m0  m 1

4

 (1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m

Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:

a) Giải phương trình khi và b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ ❿

Bài tập rèn luyện



Câu 1: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình đã cho với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

(x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 )

b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1



1

m4

Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

Câu 4: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 4

b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt

Câu 5: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = - 3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1

m m

  − thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt

b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: 1 2

Câu 6: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia

Câu 7: Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0

a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3

Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3

10

)3(

0)1(2

230230

0320

0320

m m

m m m m

m m m m

Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2 10

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Vậy m 

2

3 hoặc m  0

e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

62

2

22

)3(

)1(2

2 1

2 1 2

1

2 1

m x

x

m x x m

x x

m x

21

8

x

x x

21

8

x

x x

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại

e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị

của m

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: 1 2

Từ (1) ta có m = 1 2

12

Câu 1: Phương trình đã cho có a b c− + = 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm x = − và 1 x = 3

Câu 1: Giải phương trình

Câu 2: Giải phương trình

Câu 3: Cho phương trình Gọi và là hai nghiệm của phương trình

Hãy tính giá trị của biểu thức

Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số)

a) Giải phương trình với

b) Tìm để phương trình có nghiệm kép

Phiếu ➊

Nhận xét: a b c− + = − + =1 4 3 0nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2

13

x c x a

x x

12 16 0 2

t − t + = , Với a=1,b= −12, c=16

Câu 1: Giải phương trình

Câu 2: Giải phương trình

Câu 3: Cho phương trình ẩn : (1)

a) Giải phương trình (1) với b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn

Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số)

1 Giải phương trình với

2 Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

Phiếu ➋

a) Giải phương trình (1) với m =6

Với m =6 phương trình (1) trở thành phương trình: 2

2

9t − −8t 20=0 (6) Giải phương trình (6) ta được t =2 (thỏa mãn) hoặc 10

9

t= −

(không thỏa mãn) Với t =2 m− =  − =  =2 2 m 2 4 m 6

Vậy m =6 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x x1; 2 thỏa mãn hệ thức

1 2

2

x + x =