Các bài toán tổ hợp từ đề JBMO (tiếp theo) Lê Phúc Lữ (GV Đại học KHTN TPHCM) Bùi Khánh Vĩnh (SV Đại học Bách Khoa TPHCM) Tiếp theo kỳ trước, trong tập san lần này, nhóm tác giả xin giới thiệu một số bài toán tổ hợp trong kỳ thi Olympic thiếu niên Balkan (JBMO) từ 1997 đến nay, tập trung vào phần hình học tổ hợp Nếu các bạn độc giả có gộp các bài toán của số tập san lần trước và lần này lại thì sẽ thấy một điều rằng trong 24 diễn ra kỳ thi, chỉ có riêng 2002 và 2018 thì đề thi không có cho tổ hợ[.]
Trang 1(tiếp theo)
Lê Phúc Lữ (GV Đại học KHTN TPHCM)
Bùi Khánh Vĩnh (SV Đại học Bách Khoa TPHCM)
Tiếp theo kỳ trước, trong tập san lần này, nhóm tác giả xin giới thiệu một số bài toán
tổ hợp trong kỳ thi Olympic thiếu niên Balkan (JBMO) từ 1997 đến nay, tập trung vào phần hình học tổ hợp Nếu các bạn độc giả có gộp các bài toán của số tập san lần trước
và lần này lại thì sẽ thấy một điều rằng trong 24 diễn ra kỳ thi, chỉ có riêng 2002 và 2018 thì đề thi không có cho tổ hợp
Bài 1 (JBMO 1997) Trong một hình vuông đơn vị, có 9 điểm phân biệt mà không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng có ba đỉnh tạo thành một tam giác có diện tích không lớn hơn 18
Lời giải Chia hình vuông đã cho thành 4 hình vuông nhỏ cùng kích thước là 14 thì theo nguyên lý chuồng bồ câu, phải có ba điểm cùng thuộc một hình vuông
Ta sẽ chứng minh bổ đề quen thuộc sau: Ba điểm nằm trong hình chữ nhật thì diện tích tam giác tạo thành luôn không vượt quá nửa diện tích hình chữ nhật Trước hết, ta thấy rằng chỉ cần xét trường hợp các điểm nằm trên các cạnh của hình chữ nhật, vì nếu không, ta xét một điểm nằm trong hình tam giác và vẽ các tia cắt các cạnh của hình chữ nhật, tạo thành tam giác lớn hơn chứa tam giác ban đầu
Có hai trường hợp cần xét:
1 Nếu cả ba đỉnh đều thuộc các cạnh khác nhau, giả sử M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈
CD như hình bên trái Khi đó, vẽ đường qua N song song với AB, CD cắt
AD ở Q Rõ ràng SM N P ≤ SM N P Q = 12SABCD
39
Trang 22 Nếu có hai đỉnh nào đó chung cạnh, giả sử ta có hình bên phải thì SM N P ≤
SM AD = 12SABCD
Do đó, bổ đề được chứng minh Áp dụng trực tiếp bổ đề trên, ta có đpcm
Bài 2 (JBMO 1999) Gọi S là hình vuông có cạnh 20 và M là tập hợp bốn đỉnh của hình vuông cùng 1999 điểm nữa nằm bên trong hình vuông Chứng minh rằng
có một tam giác có diện tích không vượt quá 101 và các đỉnh thuộc M
Lời giải Với một điểm, rõ ràng ta thu được 4 tam giác
Nếu thêm vào một điểm nữa, ta có hai trường hợp:
Nếu điểm mới thuộc một trong các miền đang xét, số miền thu được sẽ là
4 − 1 + 3 = 6
Nếu điểm mới nằm trên một trong các cạnh của các miền đang xét, số miền thu được sẽ là 4 − 2 + 4 = 6
Do đó, số tam giác luôn tăng lên 2 Một cách tổng quát, nếu có thêm n điểm nữa (sau điểm đầu tiên) thì số miền là 4 + 2n Với đề bài cho, số miền sẽ là 4 + 2 · 1998 = 4000 miền Diện tích của hình vuông là 202 = 400 nên có một miền nào đó có diện tích không quá 4000400 = 101, ta có đpcm
Bài 3 (JBMO 2001) Một đa giác lồi có 1415 đỉnh và chu vi là 2001 Chứng minh rằng có ba đỉnh của đa giác tạo thành tam giác có diện tích nhỏ hơn 1
Lời giải Gọi đa giác lồi đã cho là A1A2A3 A1415 và giả sử phản chứng rằng cứ ba đỉnh tùy ý của đa giác luôn tạo thành tam giác có diện tích không nhỏ hơn 1 Xét riêng các tam giác có ba đỉnh liên tiếp là A1A2A3, A2A3A4, , A1415A1A2 Ta có
SA 1 A 2 A 3 = 1
2A2A1 · A2A3· sin ∠A1A2A3 ≤ A2A1· A2A3
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì
A2A1+ A2A3 ≥ 2pA2A1· A2A3 ≥ 2√2
Trang 3Một cách tương tự, ta có thể đánh giá cho các tổng hai cặp cạnh liên tiếp khác Tiến hành cộng tất cả các đánh giá lại thì mỗi cạnh xuất hiện hai lần nên
A1A2+ A2A3+ · · · + A1415 ≥ 1
2· 1415 · 2√2 = 1415√
2
Tuy nhiên, dễ dàng kiểm tra được 2001 > 1415√
2 nên đánh giá cuối ở trên dẫn đến mâu thuẫn Vậy phải có một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1
Bài 4 (JBMO 2003) Cho số nguyên dương n và xét n điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Biết rằng với mọi cách gọi tên các điểm
là A1, A2, A3, , An thì đường gấp khúc A1A2A3 An không tự cắt Tìm giá trị lớn nhất của n
Lời giải Ta sẽ chứng minh rằng n ≥ 5 không thỏa mãn điều kiện đề bài Xét 5 điểm trên mặt phẳng, ta sẽ chứng minh luôn tìm được một tứ giác lồi
Thật vậy, đặt tên các điểm là A, B, C, D, E và xét bao lồi của hệ điểm này (là đa giác lồi có số điểm ít nhất mà chứa toàn bộ các điểm của hệ điểm bên trong nó) Nếu bao lồi đó là tứ giác hoặc ngũ giác thì nhận xét trên là đúng
Nếu bao lồi là tam giác, khi đó bên trong nó sẽ có hai điểm Giả sử D, E nằm trong tam giác ABC là bao lồi Đường thẳng DE không đi qua đỉnh nào nên phải cắt hai cạnh của tam giác, giả sử là AB, AC và ta được B, C, D, E là tứ giác lồi
Nhận xét được chứng minh
Nhưng nếu có một tứ giác lồi thì ta gọi tên các đỉnh để tạo thành đường gấp khúc
đi qua hai đường chéo thì sẽ có đường gấp khúc tự cắt, không thỏa mãn đề bài Do
đó n ≥ 5 không thỏa Với n = 4, xét mô hình tứ giác lõm sau đây
Trang 4Rõ ràng với mọi cách đặt tên thì đường gấp khúc A1A2A3A4 sẽ không tự cắt Vậy giá trị lớn nhất của n là 4
Bài 5 (JBMO 2004) Xét đa giác lồi P có n ≥ 4 đỉnh Người ta chia đa giác thành các tam giác con rời nhau, mỗi tam giác có đỉnh nằm trong n đỉnh của P
Tô đen cho các tam giác có hai cạnh là cạnh của P, tô đỏ cho các tam giác có một cạnh là cạnh của P và tô trắng cho các tam giác không có cạnh nào là cạnh của
P Chứng minh rằng trong mọi cách chia thì số tam giác trắng nhiều hơn số tam giác đen là 2
Lời giải Gọi b, r, w lần lượt là số tam giác đen, đỏ và trắng Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh được rằng số lượng tam giác thu được luôn là n − 2 (ở trường hợp
n = 4, ta có hai tam giác, và cứ mỗi lần thêm một đỉnh, ta có thêm một tam giác) Suy ra
b + r + w = n − 2
Ngoài ra, mỗi cạnh của tam giác đều là cạnh của đúng một tam giác được chia ra,
do đó
2b + r = n
Từ hai điều trên, ta có được w − b = 2 Đây chính là điều cần chứng minh
Bài 6 (JBMO 2005) Chứng minh rằng tồn tại:
1 5 điểm trên mặt phẳng sao cho trong tất cả các tam giác tạo thành từ các điểm này, có đúng 8 tam giác vuông
2 64 điểm trên mặt phẳng sao cho trong tất cả các tam giác tạo thành từ các điểm này, có ít nhất 2005 tam giác vuông
Lời giải
1 Ta chọn 4 đỉnh của hình vuông và tâm, tạo thành tất cả 5 điểm và 8 tam giác vuông
2 Xét lưới điểm có kích thước 8 × 8 thì lưới này có tất cả 64 điểm Với mỗi điểm thuộc lưới, rõ ràng có 7 điểm cùng hàng với nó và 7 điểm cùng cột với nó, chúng tạo thành 7 · 7 = 49 tam giác vuông có đỉnh góc vuông là M
Do đó, với 64 điểm, ta có ít nhất 64 · 49 = 3136 > 2005 tam giác vuông (rõ ràng các tam giác này đều phân biệt vì các đỉnh góc vuông và hai cạnh góc vuông tương ứng đều khác nhau)
Trang 5Bài 7 (JBMO 2007) Cho 50 điểm trên mặt phẳng mà không có ba điểm nào thẳng hàng Mỗi điểm trong số các điểm này được tô bởi một trong bốn màu: xanh,
đỏ, tím, vàng Chứng minh rằng có một màu được tô cho cả ba đỉnh của ít nhất
130 tam giác không cân
Lời giải Do 50 = 4 · 12 + 2 nên theo nguyên lý chuồng bồ câu, phải có ít nhất
13 điểm được tô cùng màu Các điểm này sẽ tạo thành 13·126 = 78 đoạn thẳng và
13·12·11
6 = 286 tam giác
Rõ ràng với mỗi đoạn AB, ta sẽ có tối đa hai tam giác cân được có cạnh đáy là AB
vì nếu không, chẳng hạn ta có ABC, ABD, ABE cân thì ba đỉnh C, D, E sẽ thẳng hàng, mâu thuẫn
Do đó, có tối đa 78 · 2 = 156 tam giác cân trong số các tam giác đã cho và tương ứng, sẽ có ít nhất 286 − 156 = 130 tam giác không cân Ta có đpcm
Tổng quát kết quả ở bài trên, ta có: Với n > 8 điểm nằm trên mặt phẳng và không
có ba điểm nào thẳng hàng; ta sẽ có ít nhất
n(n − 1)(n − 8)
6 tam giác không cân tạo thành
Bài 8 (JBMO 2009) Mỗi điểm trong số 2009 điểm cho trước trên mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ Biết rằng mỗi đường tròn đơn vị có tâm màu xanh đều đi qua đúng hai điểm đỏ Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm xanh?
Lời giải Rõ ràng mỗi cặp điểm đỏ thuộc tối đa hai đường tròn có tâm màu xanh Gọi n là số điểm đỏ thì số cặp tương ứng sẽ là n(n−1)2 và sẽ có không quá n(n − 1) đường tròn có tâm xanh Suy ra tổng số điểm không vượt quá
n(n − 1) + n = n2 điểm Do đó n2 ≥ 2009 hay n ≥ 45 Khi đó, số điểm xanh không vượt quá 2009−45 =
1964 điểm
Ta sẽ chỉ ra cách xây dựng thỏa đề bài Xếp 45 điểm đỏ phân biệt lên một đoạn thẳng có độ dài là 1 Sau đó vẽ 45 đường tròn đơn vị có tâm đỏ Rõ ràng chúng sẽ đôi một cắt nhau và các giao điểm đều phân biệt Tổng số giao điểm là 45 · 44 = 1980
Ta sẽ tô màu xanh cho đúng 1964 giao điểm trong số đó thì rõ ràng mỗi đường tròn đơn vị có tâm là điểm xanh sẽ đi qua đúng hai điểm đỏ Do đó, mô hình này thỏa mãn đề bài
Vậy số điểm xanh lớn nhất là 1964
Trang 6Bài 9 (JBMO 2001) Cho số nguyên dương n > 3 Tam giác đều ABC được chia thành n2 tam giác con đồng dạng với nó (mỗi cạnh của tam giác con song song với một trong các đoạn AB, BC, CA) Gọi m là số hình thoi chứa đúng hai tam giác con và d là số hình thoi chứa đúng tám tam giác con Tính giá trị m − d theo n
Lời giải Ta sẽ đếm số hình thoi có đường chéo dài nhất vuông góc với cạnh BC của tam giác rồi lấy số lượng đó nhân 3 là thu được m
Xét các đường nằm ngang, song song với BC thì rõ ràng: đường thẳng cao nhất cho
ta đúng một hình thoi như đã nêu ở trên; đường tiếp theo cho ta hai hình thoi và
cứ thế, đường cuối cùng cho ta n − 1 hình thoi Suy ra
m = 3(1 + 2 + 3 + · · · + n − 1) = 3n(n − 1)
Để đếm d, ta thực hiện tương tự nhưng số lượng hình thoi sẽ thay đổi từ 1 → n − 3 (đường thẳng cao thứ nhì cho đến đường thẳng thấp thứ nhì) Suy ra
d = 3(1 + 2 + 3 + · · · + n − 3) = 3(n − 3)(n − 2)
Do đó, m − d = 6n − 9
Bài 10 (JBMO 2012) Trên bảng, có n điểm đôi một nối với nhau bởi các đoạn thẳng Mỗi đoạn thẳng được tô bởi một trong n màu phân biệt Với mỗi ba màu tùy ý, tồn tại ba điểm mà ba đoạn nối chúng được tô tương ứng bởi ba màu đó Hỏi giá trị của n có thể là
1 n = 6?
2 n = 7 hay không?
Lời giải
1 Câu trả lời là phủ định Giả sử ngược lại rằng có thể có thể tô màu thỏa mãn
đề bài Xét một màu trong số các màu, giả sử là xanh Mỗi cạnh xanh là cạnh của 4 tam giác có đỉnh trong số các điểm đã cho Ngoài ra, có tất cả 5·42 = 10 cặp hai màu khác màu xanh và ứng với mỗi cặp như thế, cùng với màu xanh thì luôn có một tam giác nhận chúng làm ba cạnh
Suy ra phải có ít nhất 3 cạnh màu xanh, vì nếu không thì số tam giác nhận cạnh xanh là cạnh của nó sẽ không quá 2 · 4 = 8, ít hơn số lượng ở trên Rõ ràng điều này cũng đúng với một màu tùy ý nên suy ra tổng số cạnh tạo thành
ít nhất là 6 · 3 = 18, trong khi chỉ có 6·52 = 15 cạnh mà thôi Điều mâu thuẫn này cho thấy không thể có câu trả lời ứng với n = 6
2 Câu trả lời là khẳng định Ta xét mô hình bên dưới với các điểm tạo thành
đa giác đều và các cạnh, đường chéo song song với nhau sẽ được đánh cùng một số Khi đó rõ ràng mỗi màu trong số các màu sẽ được dùng đúng 3 lần
Do tính đối xứng nên ta sẽ chỉ cần xét các bộ ba các màu và có chứa màu 1
Trang 7Đó là các bộ:
(1, 2, 3) → (CEG); (1, 2, 4) → (ABF ); (1, 2, 5) → (ABG);
(1, 2, 6) → (ADG); (1, 2, 7) → (BDF ); (1, 3, 4) → (BCE);
(1, 3, 5) → (BCF ); (1, 3, 6) → (ADG); (1, 3, 7) → (AEG);
(1, 4, 5) → (CDE); (1, 4, 6) → (BEF ); (1, 4, 7) → (F GA);
(1, 5, 6) → (CEF ); (1, 5, 7) → (BF G); (1, 6, 7) → (ACE)
Do tính bình đẳng nên các bộ khác không chưa 1 vẫn tồn tại và vì thế nên mô hình trên thỏa mãn điều kiện của đề bài
Dưới đây là bài toán để bạn đọc tự luyện thêm
Bài 11 (JBMO 2017) Xét đa giác đều P có 2n đỉnh là A1A2 A2n với n > 1 nguyên dương Ta gọi một điểm E nằm ngoài P là ‘nhìn thấy’ điểm S trên cạnh nào đó của P nếu như đoạn thẳng SE cắt một cạnh của P tại vị trí khác S Ta
tô màu các cạnh của P bởi 3 màu (không tô các đỉnh của P) sao cho mỗi cạnh
tô đúng một màu và mỗi màu được dùng ít nhất một lần Ngoài ra, mỗi điểm bên ngoài P thì có ’nhìn thấy’ tối đa 2 điểm khác màu trên cạnh của P Tìm số cách
tô đa giác P thỏa mãn điều kiện trên
