SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn TOÁN Ngày thi 23/02/2022 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (4,0 điểm) a) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 3 xy yz zx Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 3 3 3 x y y z z x A z x y b) Cho hai hàm số 2y x và 2 1 5y m x m với m là tham số Hãy tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt Câu 2 (5,0 đ[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC: 2021 – 2022 Môn: TOÁN Ngày thi: 23/02/2022
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3 Tính giá trị của biểu thức:
A
b) Cho hai hàm số 2
yx và y2m1x m 5 với m là tham số Hãy tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình 2 2
x x x x x
b) Giải hệ phương trình
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; thỏa mãn phương trình: 3 3 2
x y y y b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình 3 2
x mx mx có nghiệm là số hữu tỉ
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho đường tròn O R; và dây BC cố định không là đường kính của O Lấy điểm A trên cung lớn BC sao
90 ,
ACB
gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC Từ B hạ BH vuông góc với
H AD, từ D hạ DK vuông góc với AC K AC Đường thẳng BH cắt đường thẳng DK và AC lần lượt tại E và F
a) Chứng minh EO R; và HK BC
b) Hạ DL vuông góc với AB L AB Chứng minh đường thẳng KL đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC c) Chứng minh đường thẳng AE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi A di chuyển trên cung BC nhưng vẫn thỏa điều kiện đề bài
Câu 5 (1,0 điểm)
Trên bảng người ta viết 2022 số nguyên dương liên tiếp 1; 2; ; 2021; 2022 và thực hiện các thao tác sau: Xóa đi hai số bất kỳ (trong 2022 số trên) rồi lại viết lên bảng một số bằng tổng của hai số vừa xóa, cứ tiếp tục như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn một số Hỏi số còn lại trên bảng là số chẵn hay số lẻ? Vì sao?
-HẾT -
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2., , , , , , x-y y-z z-x x y-+y z-+z x-
(y+z)(z+x) (z+x)(x+y) (x+y)(y+z) (x+y)(y+z)(z+x)
b) Hoanh d6 giao diem cua d & thi hai ham s6 tren la nghiem cua phuong trinh
xi -2 (m + l)x -m +s = o E>s d& thi cua hai hams& da cho ciit nhau tai hai diSm philn bi ~ t thi
~· > O=>(m +1r +m -5 >Oc:>m- +3m -4 >Oc:>m <-4;m > 1
B a i 2 a) Gi a i pheong trinh xi +6 + Jxi -2x + 4 = Sx + /3x -2
{
xl+2/-3=0
b )Gi a i h~plman trinh ( , ) 3
x x-+3 -4y =0
Loi gi a i a) E>KXE>: x <!:~ Phuong trinh ruong duong xl -Sx + 6+.Jxl -2x + 4 - /3x -2 = 0
3
.Jxi-2x +4 +~ Jxi -2x +4 +,,/3x -2
Vil+ ~ >0 nen x Sx+6=0c:>(x-2)(x-3)=0c:> (TMI)K)
Viy phuong trinh c6 ~p nghi~m S = { 2: 3}
b) Ti: plnrong trinh xi+ 2/ -3 = 0 ee 3 = xl + 2yl thay va o phuong trinh x ( xi +3 )-4y3 = 0
Ta c6 x(2xl +2/}-4 3 = Oc:> x3 +x/-2y3 = Oc:>(x -y)( xl +xy +/)+/(x -v ) =0 c:> (x -y)( xl +xy + 2/) = 0
Xet x -y = 0 c:> y = x thay va o phtrong trinh xi+ 2/ -3 = 0 duqc xi= 0 c:> x = ±1
Xet xi +xy+2/ =Oc:> ( x + ~ r + 7t =0 c:> x = y =0 khong thoa mru:i xi +2/-3 =0
V6y h~ phuoag trinh c6 nghiem ( x: y) e {(-1:-1):(1:1)}
, , • + ; , x -y y- z z - x
Tinh gm tn cua bieu thuc A = - , - + -, - + -, -
z-+3 x-+3 y-+3
bj Cho hai ham se y=xi va y=2(m+l)x+m-S (mlathams6)
Tim cac gia tri cua m de d& thi cua hai ham s6 da cho ciit nhau tai hai diem phan bi ~ t
z-+xy+yz+zx x-+xy+yz+zx y-+xy+yz+zx
B a i 1 a) Cho x y z la cac s6 thuc duong thoa man xy + yz + zx = 3
Loi giai : Nguy:n Ngqc Hung - THCS Hoang Xuan Han, Due Tho, Ha Tinh
KY THI CHQN HQC s rsn GIOI T~ LOP 9
NAi,1 HQC 2021 - 2022
Mon thi : TOA.'(
Tuai 2ian: 1 so phut
N2av thi: 23/02!2022
SC1GIAO !)VC VA DAO T~O
D! CHINHTHUC
Trang 3B a i 3 a ) Tim ti t ca cac c~p s6 n gu y en ( x : v) thoa man phuong trinh x3 -y3 = 2/ + 3y + 1
b ) Tim ti t ca cac s6 nguy en m dS phuong trinh x J + 3mx 1 = m x - 2 co nghiem la s6 hiiu ti
L ui giai a) P huong trinh nrong duong x3 = y3 + 2/ + 3y + 1
Ta co (y3 +2 1 +3y +l)-(y3 -3/ + 3y-l) = Sy1 +2 > 0=> y3 + 2/ +3y+l > (y-1)3
(y3 +2 1 +3y +l)-(y3 +3 1 +3y +l) = - v' 50=> y3 + 2y1 +3y +l 5(y +1 3
J J [X J = y3
Su ra (y-1) <x3 5(y+l) =>
3 3
x =(y+l)
Xet x3 = i =>r3 +2/ +3y +1 = i ~ 2/ +3y +1 = o~(2y +l)(y +1) =O=>y = -1
Xet x3 =(y+l}3 =>y3+2/+3 +l=y3 +3y1+3y+l~y=O=>x =l
V~y (x;y)e{(-1;-1);(1;0)} th o a man b ai toan
b ) P h u on g trinh nron g d u on g x3 + 3mx1 + m x + 2 = 0
Nhan xef , t: G r a su , da th, uc p ( x ) =x " +a0 _ 1x e- t +a,_1x o- 1 + +a1x+a0 trongdo a,_, 1 ; a , _ 1 ; ; a 0
la cac h~ s6 ugu y eu N6u P(x) co nghiem hiiu ti thi m o i nghi em huu ti cua P(x) dSu la s6 ngu y en va
la m 6t trong cac \?CIC s6 cua h~ s6 ao
T r o l a i b ai roan ph u ong trinh x 3 + 3m x 1 - m x + 2 = O co nghiem hiiu ti thi nghiem hiiu ti do se
la X E {-2 -1; l; 2} Un hr ot thay vao p u ong trinh ta co m = -1 th o a man bai loan
Bai 4 Cho duong tron (0: R ) va day BC c6 diuh kho g di qua tam 0 Uy diem A tren cung l&n BC
sao cho AB "' AC va ACB < 90° D la di~m chinh giua cua cung oho BC Tu B ke BH ,'Uong g6c ,·&i
AD (H dmqc AD) tu D ke DK ,'Uong g6c ,·&i AC (K thuqc AC) Duong thang BH ci t duong thang
DK va AC lSn luc;,t ~i Eva F
a) Chung minh 1i11g E thuqc duong tron ( 0 ) ,·a HK song song ,·&i BC
b ) Ke DL ,'Uo g g6c v&i AB (L thuqc AB) Chll'llg minh ~g duong thAng KL di qua trung
diem cua do1111 BC
c) Chung minh ~g duong thang AE lu n ti~p ltUC ,·&i mQI duong tron c6 diuh khi A di
chu fu1 tren c un g BC nlum g \'~ U d1oa mrui di~u ki¢11 dSu bai ,
Loi giai a) Vi D la diem c hinh giua cung BC
llet l BAD = CAD : AH L BF => MBF can ~i A
DHF + 00 = 180° nen Ill' giac DHFK llQi ti~p
=>ADE =AFB= ABE suy ra Ill' giac ABDE llQi ti~p
hay di~m E thuqc duong tron ( 0 )
Vi MBF can ~i A nen AD la duong trung tr\? C
cua dol!ll BF suy ra 00-I = FDH = BDH = S CA
=> HK //BC
b) Goi I la giao dien1 cua BC ,·&i KL
Ta co ALD+AKD = 180° nen n'r giac ALDK OQi ti~
=>OLK= OAK= DBC nen Ill' giac BLDI OQi ti~
=> o m = DLB = 90° hay DI L BC ma DB = i5c suy ra I la trung difun cua BC
Trang 4suy ra ABE kh6ng ct6 i D o ct6 sctAE kh6ng ct6i suy ra AE kh6ng ct6i Goi M la chfin 0110'tlg vuong
B a i 5 Tren bang ng11o i ta v i €t 2022 s6 nguyen duong li en tiSp I: 2: 3: : 2022 , · a tli11c hien cac thao tac sa u: X 6a ct i ha i s6 biit ki (trong 2022 s6 tren) r6 Y i €t ! en bang mot s6 bfulg t6ng cua hai s6 vua xoa
L digiai Tac6t6ngcua2022 s6 tren bang la 1+2+3+ +2022 = 2022(2023) = 1011.2023
2
l a m (>t s6 l e M6 i l fui tlnrc hien xo a ct hai s6 a b biit ki '"" thay Yao ct6 s6 moi bfulg a + b thi
to n g cac s6 tren bang kh6 n g thay ct6i D o ct6 s6 con 11).i tren bang la s6 l e
· ct KL D ct ' AIIB ADK KDL 180 -BAC v· BC ' ctinh - BAC kh ' ct ~-
c) Ta co 6Aill = 6AKD (canh huyfui - g6c nhon) ::::) DL = D K: AL = AK suy ra AD la dm'mg trung