Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của một biểu thức đặc biệt ôn thi vào chuyên Toán

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 Truy cập thuvientoan net để tải các tài liệu hay nhé! Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x a b x    với a b  Đặt điều kiện a x b  Suy ra   2 2 P b a x a b x b a P b a          Vậy giá trị lớn nhất của P là b a Dấu bằng xảy ra khi x a x b       Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có    2 2 2 P b a P b a     Vậy giá trị lớn nhất của P là  2 b a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 a b x a b[.]

Truy cập thuvientoan.net để tải các tài liệu hay nhé!

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

P x a bx với ab

 Đặt điều kiện: a  Suy ra: x b 2   

P   b a xa bx    b a P ba

Vậy giá trị lớn nhất của P là b Dấu bằng xảy ra khi a x a

 



 



 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có: 2    

P  ba  P ba

Vậy giá trị lớn nhất của P là 2ba Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

a b

x    a b x x 

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) P x 3 5x

b) P x 2 11x

Lời giải

a) Điều kiện:   3 x 5 Ta có:

2

Suy ra: P 2 2 Đẳng thức xảy ra khi x  3 hoặc x 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 2 đạt được khi x  3 hoặc x 5

Lại có: P x 3 5 x 2x  3 5 x 164

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x    3 5 x x 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 đạt được khi x 1

b) Điều kiện: 2 x 11 Ta có:

2

Suy ra: P 3 Đẳng thức xảy ra khi x 2 hoặc x 11

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 đạt được khi x 2 hoặc x 11

Lại có: P x 2 11 x 2x  2 11 x 183 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 11 13

2

x    x x

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

Pm x a n bx Với m n , 0

 Tìm giá trị nhỏ nhất:

2 2

2

Nếu 2 2  2 2

0

m n m n  m n  Áp dụng đánh giá x a

Nếu 2 2  2 2

0

m n m n  m n  Áp dụng đánh giá x b

 Tìm giá trị lớn nhất

P  m n x   a b x ab m n

Suy ra:    2 2

P ab m n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x a b x

  

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Lời giải

a) Điều kiện: 3   x 5

Ta có:

2

x P      P

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 5

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars, ta có:

P  x  x   x   x

Suy ra: P 10 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 5 16 3 9 5  3

         

Bài tập tự luyện

Bài toán 1

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P x 9x

Bài toán 2

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P x 3 13x

Bài toán 3

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P x 2 16x

Bài toán 4

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P3 x 4 2 5x

Bài toán 5

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P2 x 2 5 11x

Bài toán 6

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: P2 3x 2 5 52 x