BÁO cáo bài t p l n ậ ớ môn h i s TUY n TÍNH ọc đạ ố ế tên đề tài PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bằng những kiến thức cơ bản ma trận, phép nhân 2 ma trận,…, khái niệm chuyên sâu hơn trị riêng, véctơ riêng, phép đổi biến, chéo hoá ma trận,… để giải các bài toán tìm số lượng cá thể, t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TÊN ĐỀ TÀI:

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

GVHD: Hà Văn Hiếu

Lớp: L03 Nhóm: 5

Tp.HCM, 19/4/2021

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Sự hướng dẫn của thầy đã là kim chỉ nam cho mọi hành động của nhóm và phát huy tối

đa được mối quan hệ hỗ trợ giữa thầy và trò trong môi trường giáo dục

Lời cuối, xin một lần nữa gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể đạt được kết quả này

3

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

TÓM TẮT BÀI BÁO CÁO

Báo cáo tìm hiểu chuyên sâu về ứ ng dụ ng củ a trị riêng và vecto riêng chính là hệ phương trình

vi phân tuyến tính cấp 1 Bằng những kiến thức cơ bản (ma trận, phép nhân 2 ma trận,…), khái niệm chuyên sâu hơn (trị riêng, véctơ riêng, phép đổi biến, chéo hoá ma trận,…) để giải các bài toán tìm số lượng cá thể, tìm lượng muối ở thời điểm t và được ứng dụng rộng rãitrong rất nhiều lĩnh vực: hoá học, vật lý, xây dựng, kinh tế, môi trường, khoa học máy tính,

cơ lượng tử, lý thuyết đồ thị, trí tuệ nhân tạo,… Có thể thấy phương trình vi phân mang lại cho chúng ta rất nhiều lợi ích

4

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Mụ c lục

Phần 1: Trị riêng và véctơ riêng………6

I Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vuông……… ……….6

II Chéo hoá ma trận……….……… …….10

Phần 2: Ứng dụng trong hệ phương trình vi phân tuyến tính………….……13

5

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Phầ n 1: Trị riêng và véctơ riêng

I Trị riêng và véctơ riêng của ma trận vuông

1.1 Cho ví dụ sau: Cho ma trận A = (3 −3 và hai véctơ X = 3 , Y = 1 Tính

Từ hình vẽ ta thấy AX cùng phương với véctơ X, cụ thể AX= 2X và AY không cùng

phương với véctơ Y

Không tồn tại hệ số thực k để AY= kY

Số λ= 2 được gọi là giá trị riêng của ma trận A và véctơ X ở trên được gọi là véctơ

riêng của ma trận A tương ứng với giá trị λ= 2

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Tập hợ p tất cả các giá trị riêng của ma trận A được gọi là phổ của ma trận A và được kýTìm

hiệu bởi (A)

trị riêng và véctơ riêng của A

⇔ (A - λ0I)X0 = 0Theo định nghĩa, tồn tại X0 ≠ 0 để AX0 = λ0X0⇔ AX0 - λ0X0 = 0

Suy ra X0 là 1 nghiệm ≠ 0 của hệ phương trình

1.2 Các bước tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.

Bước 1 (Tìm giá trị riêng)

- Lập phương trình đặc trưng

- Tính định thức, giải phương trình

- Tất cả các nghiệm của phương trình là tất cả các trị riêng của A

Bước 2 (Tìm véctơ riêng)

- Tương ứng với λ 1 Giải hệ phương trình (A – λ1I)X = 0

- Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các véctơ riêng của A ứng với trị riêng λ 1

- Tương tự tìm véctơ riêng của A ứng với các trị riêng còn lại.

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Định lý 1: Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng.

Chứng minh Ta có PB(λ) = det(B - λI) = det(P-1AP - P-1IPλ) = det(P-1(A - λI)P)

= det(P-1)det(A – λI)det(P) = det(A - λI) = có PA(λ)

Đị

∈ ( ) Bội hình học của trị riêng luôn nh hơn hoặc bằng bội đại số của

n nh l 2: Cho

Chứng minh

Cho ∈ ( ) và một giá trị riêng của là 0 Giả sử( 0) =

Khi đó tồn tại cơ sở của không gian con riêng 0 có véctơ là = { 1 , 2, …, }

Bổ sung vào để được cơ sở của là 1 = { 1, 2, …, , +1 , +2, …, }

Gọi = ( 1| 2|…|| +1| +2|…| ) là ma trận có các cột là các véctơ của E1

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

có cùng đa c đặc trưng

Vì và −1 là hai ma trận đồng

Suydạngranênmachtrúậng −1 có mthứộtrị riêng có bội đa số

Định l 3: C c v ctơ riêng c a tương ng v

Tóm lại bội đa số của trị riêng 0 của ma trận lớn hơn hoặc bằng

i c c tr riêng kh c nhau th đ c l p tuy n t nh

1.3 T nh ch t của trị riêng, véctơ riêng

trên đường chéo của

bằng với vết của ma trận , tức là bằng với tổng các phần tử1/ Tổng tất cả các trị riêng của

2/ Tích tất cả các trị riêng của bằng với det ( ).

3/ Tổng tất cả các bội đại số của các trị riêng bằng với cấp của

4/ Tổng tất cả các bội hình học của các trị riêng bằng với số véctơ độℕc lập tuyến tính

cực đại 5/ Nếu 0 là trị riêng của , thì 0 là trị riếng của ma trận ,

Chứng minh.

Giả sử0 là trị riêng của 0 = 00

Khi đó tồn tại véctơ 0 ≠ 0, sao cho

= 0 −2 ( 0 )= 0 −200 =

Suy ra 0 = −1 ( 0 ) = −1 00 = 0 −1 0

( 0 ) 2 −2 0=⋯= ( 0 ) 0

Vậy0 = ( 0 ) 0

0 là véctơ riêng củaứng với trị riêng ( 0 )

Suy ra ( 0 ) là trị riêng của và

0 là trị riêng của6/ Ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi không có trị riêng bằng 0 Nếu

riêng của ma trận .

Chứng minh.

Thật vậy, giả sử 0 ∈ ( )

Phương trình đặc trưng của là det( − ) = 0.

Thế = 0 vào phương trình ta được det( − 0 ) = 0 det( ) = 0không khả nghịch.

Giả sử0 là trị riêng của và khả nghịch

Khi đó tồn tại véctơ 0 ≠ 0, sao cho 0 = 00

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

II Chéo hoá ma trận

- Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận chéo D và ma trận khả nghịch

P để A = PDP −1

➢ Không phải ma trận nào cũng chéo hóa được.1.1. Địnhnghĩa

Giả sử A chéo hóa được, khi đó ta có:

{Tất cả các cột của P là vecto riêng của A

❖ Lưu : P khả nghịch nên họ vecto cột của P là họ độc lập tuyến tính

❖ Định lý: Ma tr n vuông A cấp n ch o hóa được khi và chỉ khi tồn tại n vecto riêng đ c l p

tuy n tính c a A.

10

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

❖ Hệ quả:

➢ Ma trận A cấp n có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được

➢ A chéo hóa được ⇔ Bội hình học = Bội đại số cho tất cả trị riêng ⇒

Đây cũng là điều kiện để ma trận A chéo hóa.

1.2 Các bước chéo hóa ma trận

❖ Bước 1: Tìm giá trị riêng

➢ Lập phương trình đặc trưng det(A- )=0

Nghiệm của phương trình là các trị riêng của A.

➢ ,kVớimọik

❖ Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian con riêng

➢ Tương ứng với trị riêng k Giải hệ phương trình (A- k ).X=0.

➢ Tìm nghiệm tổng quát, suy ra cơ sở không gian con riêng E k

➢ Xác định bội hình học của k : BHH ( k)=dim(E k )

❖ Bước 3: Kết Luận

➢ Nếu tồn tại một trị riêng( k ) mà bội hình học (BHH) NHỎ HƠN bội đại số (BĐS) của

nó thì ma trận A KHÔNG chéo hóa được

➢ Nếu với mọi trị riêng, bội hình học BẰNG với bội đại số của nó, thì ma trận A chéo được Tức là A=PDP-1 , trong đó ma trận P có các cột là những cơ sở của các không gian con

riêng đã tìm được ở BƯỚC 2 và ma trận D có các phần tử trên đường chéo là các giá trị riêng

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Phầ n 2: Ứng dụng hệ phương trình vi phân tuyến tính

I.Vật Lý

Tính mức độ tan rã của một nguyên tố

Ví dụ : Chu kì bán rã của radium là 1600 năm, điều đó có nghĩa cứ khoảng 1600 năm khối lượng của radium giảm đi một nửa Nếu ban đầu một mẫu radium có khối lượng 50 gram thì sau bao lâu khối lượng của nó là 45 gram?

• Gọi y(t) là khối lượng của radium sau khoảng thời gian t ( năm )

• Ta biết rằng y(t) = ky(t) ( k là một hằng số )

• Giải ptvp trên ta được y’(t) = kt

• x (t) là độ cao của tàu vũ trụ ở thời điểm t

Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton, ta có : −g

x ′′ (t) =(1 +Rx)2

II.Hóa Học

- Ứng dụng của hệ phương trình vi phân tuyến tính trong hóa học :

+ Có nhiều vấn đề trong hóa học của các phản ứng hóa học

dẫn đến các hệ phương trình vi phân Phản ứng đơn giản nhất là

khi hóa chất A biến thành hóa chất B Điều này xảy ra với một hiệu

suất nhất định (k>0) Phản ứng này có thể được thể hiện bằng công thức :

Kí hiệu [A], [B] là nồng độ (concentration) mole/l của A và B.Ta được :

13

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Từ cấ u trúc trên ta có thể hiểu mộ t chuỗi phản ứng sau:

Ở đây có ba nồng độ và hai tỷ lệ thay đổi Hệ thống phương trình điều chỉnh phản ứng là :

Tốc độ thay đổi càng phức tạp là khi [B] tăng từ [A] thay đổi thành [B] và giảm khi [B] thay đổi thành [C] Do đó, có hai thuật ngữ trong tốc độ phương trình thay đổi nồng độ [B]

Ta có thể xem xét thêm các phản ứng trong đó có thể có phản ứng ngược

Do đó, một khái quát hóa hơn nữa xảy ra cho phản ứng

Tỷ lệ phản ứng ngược góp phần vào các phương trình phản ứng cho [A] và

[B] Hệ phương trình kết quả là:

14

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Ta có ví dụ sau : Cho chuỗi phản ứng sau:A ⇌ B → C

Trong đó→3 hóa chất là→ A, B, C Trong→ chuỗi phản ứng trên mỗi giai đoạn có một

hiệu suất riêng (A B là K1, B C là K2 và B A là K3)

Theo thời gian thì nồng độ mol/l của ba chất trên sẽ thay đổi [A](1), [B](1), [C](1), với K1= 0.4, K2=0.1, K3= 0.1

Ta có pt theo định nghĩa đã đưa ra:

Tìm ma trận P sao cho P-1AP là ma trận chéo D (Cấu trúc đơn giản nhất có nghĩa là chéo hóa ma trận A, ta được A=PDP-1, với

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

- P(t) là dân số ở thời điểm t (năm) Chúng ta có mô hình tốc độ tăng dân số là dP = kP P (0)

• Từ bảngP =số 4454liệutrên.e 0 017ttacó thể ước

lượng giá trị của k là • Do đó

17

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Vậy đến năm 2020, tức là t = 40 , dân số thế giới P ≈ 8.791 tỷ.

IV Môi trường sinh thái

Mô hình thú mồi (predator-prey model) hay mô hình Lotka-Volterra là một mô hình dùng

để giải thích về sự cân bằng sinh thái trong hệ sinh thái giữa thú săn mồi và con mồi

Ta xét một mô hình quần thể có hai loài động vật là thú săn mồi (sói,hổ,…) và con mồi (th , hươu, nai,…) Giả sử:

• Khi không có thú săn mồi, con mồi tăng trưởng không giới hạn (luật Malthus) ˆ

• Thú ăn mồi và tốc độ con mồi bị ăn thịt tỉ lệ với tốc độ thú và mồi gặp nhau ˆ

• Không có con mồi, loài thú săn mồi suy giảm tỉ lệ với dân số hiện tại ˆ

• Tốc độ sinh trưởng loài thú săn mồi tỉ lệ với lượng mồi bị ăn thịt

Qua quá trình quan sát, người ta đã đưa ra được mô hình phát triển của hai loài này là:

S ′ = 0.5S(t) + 0.3T(t) (1) { ′

= −0.2S(t) + 1.2T(t) (2) T

Giải thích bài toán:

• S’, T’ là tốc độ tăng trưởng loài của thú săn mồi và con mồi trên một đơn vị thời gian (trong bài toán ta lấy đơn vị thời gian là con/năm)

• Tại phương trình (1), nếu không có con mồi thì số lượng thú săn mồi sau một năm sẽ

bị giảm đi còn 0.5S(t) Nếu có con mồi thì số lượng thú săn mồi sẽ tăng thêm 0.3T(t)

• Tại phương trình (2), nếu không có thú săn mồi thì số lượng con mồi sẽ tăng thêm 20% hay 1.2T(t) Nếu có thú săn mồi thì số lượng con mồi sẽ giảm đi thể hiện qua -0.2S(t).

Tại thời điểm ban đầu khi nghiên Sc(ứu0 (t=0),)=2000sốlượ,Tng(0cá) th=ể1000tương ứng của từng loài là:

Từ những dữ kiện trên, tìm số lượng cá thể của mỗi loài ở thời điểm t, tức là tìm S(t), T(t).Lời giải:

Ta viết phương trình trên ở dạng ma trận:

Lập phương trình đặc trưng det(A − λ I ) = 0

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

( )

Ban đầu người ta thà vào ao loài 1: 4200 con, loài 2: 1400 con Biết giá khi bán của loài 1 là

50000/con, giá cùa loài 2 là 35000/con Tại thời điểm nào người chủ bán sẽ thu được số tiềnnhiều nhất trong thời gian nuôi?

ma trận chéo D Chéo hóa ma trận A ta được, A=PDP-1 với:

D= (2 0

), P= (2 1 )

Hệ phương trình đã cho trờ thành Y’=DY9 0

1 −3 y1 ′ =

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách Đại Số Tuyến Tính của tác giả Đặng Văn Vinh (nhà xuất bản ĐHQG TP Hồ Chí Minh) xuất bản năm 2019

- Một vài ứng dụng của Hệ phương trình vi phân được tham khảo từ Google

21

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com