Tổng hợp câu hỏi Vận dụng cao Hàm số ôn thi THPTQG năm 2021 có lời giải chi tiết

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN GROUP CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 Trang 8 CHỦ ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Lời giải Chọn A Từ giả thiết      2 cos 1  f x f x x f x      2 cos 1     f x f x x f x      2 d sin 1       f x f x x x C f x Đặt    2 2 21 1t f x t f x        d dt t f x f x x  Thay vào ta được d sin sin     t x C t x C   2 1 sin   f x x C Do  0 3f 2 C Vậy    2 2 21 sin 2 sin 4sin 3      f x[.]

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Lời giải Chọn A

 Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y x 2 cắt đồ thị y f x tại hai điểm có hoành

độ nguyên liên tiếp là 1

2

3

x x

 



 

 và cũng từ đồ thị ta thấy f x  x 2 trên miền

2 x 3 nên f    2 x 2 x 2 trên miền 2 2  x 3   1 x 0

 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 0

Lời giải Chọn C

Ta có  2  2 2 2   2 2

y xm  xn  x  x  m n x m n  Hàm số đồng biến trên   ;  0 0

hàm số    2

2

g x  f x Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số f x đạt cực trị tại   x2 B Hàm số f x nghịch biến trên   ; 2

C Hàm số g x đồng biến trên   2;  D Hàm số g x đồng biến trên   1; 0

CÂU 2 Cho hàm số y f x  liên tục trên và có bảng biến thiên như sau

1 2 1

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số g x  f 2 x 2?

I Hàm số g x  đồng biến trên khoảng  4; 2 

II Hàm số g x nghịch biến trên khoảng    0; 2

III Hàm số g x  đạt cực tiểu tại điểm 2

IV Hàm số g x  có giá trị cực đại bằng 3

g x  f x  Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số g x nghịch biến trên  1; 0 B Hàm số g x nghịch biến trên  

C Hàm số g x nghịch biến trên   0; 2 D Hàm số g x đồng biến trên

CÂU 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 1 2 cos 1 2 sin

GIẢI CHI TIẾT CÂU 1: Chọn D

Dễ thấy f x đổi dấu từ  sang  khi qua x2 nên hàm số f x đạt cực tiểu tại   x2 nên

x x x





  

 , f x    0 0 x 2 và f  0  1, f  2  2 Xét hàm số g x  f 2 x 2 ta có g x  f2x

x x

Hàm số g x đồng biến trên khoảng    0; 2 nên I sai

Hàm số g x đồng biến trên khoảng   ; 0 và 2;nên II sai

Hàm số g x đạt cực tiểu tại   x2 nên III sai

Hàm số g x đạt cực đại tại   x2và g CĐ g 0 nên IV đúng

Theo Bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên đoạn  0;1 khi và chỉ khi y'  0, x  0;1

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:     m 8 m 8

Mà m nguyên âm nên ta có: m         8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1

Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số 5 1

2 0

x

f x x

0

2 20

2 2

x x x x

x x x x x

Không mất tính tổng quát ta chỉ xét phương trình trên  ; 

Điều kiện 1 2sin 0

1 2 cos 0

x x

Lời giải Chọn D

Quan sát đồ thị f x ta có f x 0 tại 3 điểm x1x2  0 x3 Mà f x chỉ đổi dấu qua x1

nên y f x chỉ có một cực trị

Lời giải Chọn C

 VÍ DỤ 4: Cho hàm số y f x  có đồ thị f x của nó trên khoảng Knhư hình vẽ bên Khi

đó trên K, hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Ta thấy cosx0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) x tanx (2)

 , ta có g x nghịch biến nên   g x g 0 0 nên phương trình xtanx vô nghiệm

+ Vì hàm số tan x có chu kỳ tuần hoàn là  nên ta xét g x  x tanx, với ;3

Vậy phương trình F x 0 có 2017 nghiệm trên 0; 2018 Do đó đồ thị hàm số yF x  có

2017 điểm cực trị trong khoảng 0; 2018

x m



 liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên  0; 2 tại một điểm x0 0; 2

CÂU 13: Cho hàm số y f x  xác định trên và có đồ thị hàm số y f x là đường cong ở

hình bên Hỏi hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị ?

A 6 B 5 C 4 D 3

CÂU 14: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên tập và có đạo hàm   3  2 

1 2

f x x x x Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

CÂU 24: Cho đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ dưới đây:

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số   1 2

CÂU 30: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số yx42(m1)x22m3 có ba điểm cực trị A,B , C

sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ số diện

tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng 4

GIẢI CHI TIẾT

1'

1

y x





 ,

1' 0

1

x y

Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x1 trên đoạn 2; 2 khi

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 nên 0       m 1 2 1 m 1

Kết hợp điều kiện để hàm số liên tục trên  0; 2 thì    m 0 m 0

(Cả 3 nghiệm này đều là nghiệm đơn theo nghĩa f x đổi dấu khi qua ba nghiệm này)

2 2 2

102

x x x

x x x

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình f x 5 có nghiệm duy nhất và đó là nghiệm đơn

Nghĩa là phương trình y 0 có nghiệm duy nhất và y đổi dấu khi qua nghiệm này

* Nếu 0 0

2

m

m

   thì f x 0 có nghiệm x0 3, ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho là

Trường hợp này hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

32 02

m

m m

Trường hợp này hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

Như vậy, các giá trị nguyên của m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị là m1; 2;3; ;63 Tổng các giá trị nguyên này là: 63 1 63 

2 2

f x x x x   có 4 nghiệm và đổi dấu 4 lần nên hàm số y f x  có 4

cực trị Suy ra f x 0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt

Khi đó

2 2 00

x y

x x x x x

x x

 Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số y f x m nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

Dựa vào đồ thị của hàm số y f x  đã cho hình bên ta suy ra dạng đồ thị của hàm số

m m m m

a b c

ab bc ca m abc

333

Ta có tam giác ABC vuông tại C nên gọi M là điểm uốn của đồ thị hám số đồng thời là trung điểm

của AB Khi đó tam giác vuông có đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền do vậy ta có phương

2

AB AIB

R

90

AIB

  hay AIB vuông tại I

Gọi M là trung điểm AB, ta có M m ; 4 m và 1

2

54

AB IM

m m

Do trục hoành cắt tam giác ABC nên 2m 3 0; 2m20

GọiM , N là giao điểm của trục Ox và 2 cạnh AB , AC

Ta có

2

4

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Lời giải Chọn A

yx  x trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên , ta

thấy  P đi qua các điểm 3;3,  1; 2,  1;1 với đỉnh 3; 33

Trên miền b x c thì đồ thị hàm số y f ' x nằm phía trên đồ thị hàm số y g x'  nên

y f x là đường cong nét đậm và y g x'  là đường cong nét mảnh như hình vẽ Gọi ba giao điểm A B C, , của y f ' x và yg x'  trên hình vẽ lần lượt có hoành độ a b c, , Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số h x  f x g x  trên đoạn  a c ? ;

x

y

c b

a

C B

A O

y x a  x b x với a , b là tham số thực Khi hàm số đồng

biến trên   ; , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2 2  

a b

a b

t t

m

Lời giải Chọn A

f x  x a x b , trong đó a , b là tham số thực Gọi M

là giá trị lớn nhất của hàm số Tính tổng a b khi M nhận giá trị nhỏ nhất

A a b  7 B a b  9 C a b 0 D a b  8

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

CÂU 1: Cho hàm số f x có đạo hàm là   f x Đồ thị của hàm số y f x được cho như hình vẽ bên

Biết rằng f  0  f  3  f  2  f  5 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f x trên đoạn  

 0;5 lần lượt là

A f    0 , f 5 B f    2 ,f 0 C f    1 ,f 5 D f    2 , f 5

CÂU 2: Cho hai hàm số y f x , yg x  có đạo hàm là f x , g x  Đồ thị hàm số y f x và

 

g x được cho như hình vẽ bên dưới

Biết rằng f  0  f  6 g   0 g 6 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

f x  x ax b , trong đó a , b là tham số thực Biết rằng giá trị lớn nhất của

hàm số f x trên đoạn   1;1 bằng 1 Hãy chọn khẳng định đúng?

A a0, b0 B a0, b0 C a0, b0 D a0, b0

CÂU 5: Xét hàm số   2

f x  x ax b , với a , b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên

1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a2b

CÂU 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2

4

x mx y

x m



 liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên  0; 4 tại một điểm x0 0; 4

A m2 B 0 m 2 C   2 m 0 D   2 m 2

CÂU 7: Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng MA2 MB2 MC2, người ta cắt bỏ bốn tam

giác cân bằng nhau là AMB, R3, CPD và DQA Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó

n n

   

  C 2 2 dm D

5 2dm

Từ giả thiết ta có f 0 f 3 f 2 f 5 nên f 5 f 2 f 3 f 0

Hàm số f x đồng biến trên    2;5 nên f 3 f 2 hay f 2 f 3 0, suy ra

CÂU 3: TXĐ: D  2019; 2019

Ta có

2 2

Theo yêu cầu bài toán thì ta có: 0g t 1 với mọi t 0;1 và có dấu bằng xảy ra

Đồ thị hàm số g t là một parabol có bề lõm quay lên trên do đó điều kiện trên dẫn đến hệ điều  kiện sau xảy ra :

a b

m

m m

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Hướng dẫn giải Chọn A

Do đồ thị của hàm số

2 2

3

ax x y

   và chỉ có một đường tiệm cận đứng nên:

Trường hợp 1:4x2bx 1 0 có nghiệm kép     b 4 b 4(a0,ab4) thay vào hàm số

Quan sát đồ thị hàm số f x ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ  x0 0;1 ,

có hệ số a0 và tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 Từ đó suy ra

3

ax x y

Dựa vào bbt ta thấy:

Đường thẳng y ln 2 cắt đồ thị y f x  tại 1 điểm

Đường thẳng y  ln 2 cắt đồ thị y f x  tại 1 điểm

TXĐ: D \ 0; 2; 2  

2 2 0

2 2 0

suy ra đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang

CÂU 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2

1616

x y

 



   có đúng ba đường tiệm cận?

A 2m3 B 2 m 3 C m2 D m2 hoặc m 1

CÂU 6 : Đồ thị hàm số 1

1

x y

x có bao nhiêu tiệm cận?

CÂU 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số

2 2

12

Nên, tập xác định của hàm số

16lim

16lim

  là một đường tiệm cận ngag của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận

CÂU 5: Chọn A

Ta có lim 0,

  đồ thị hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y 0

Để ĐTHS có ba đường tiệm cận  ĐTHS có đúng 2 đường tiệm cận đứng

 phương trình x2 2mx  m 2 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 lớn hơn 1



 là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số này được suy ra từ đồ thị  C bằng

cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nằm bên phải trục tung

Do đó, hàm số 1

1

x y x

2 2

1

1 11

22

CHỦ ĐỀ 5: ĐỌC ĐỒ THỊ - BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

Lời giải Chọn B

 VÍ DỤ 1: Cho hàm số f x Biết hàm số   y f x có đồ thị như hình bên Trên đoạn

4;3, hàm số      2

g x  f x  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A x0  4 B. x0  1 C. x0 3 D. x0  3

Dựa vào bảng biến thiên 1;21

4

 

 

Dựa vào đồ thị ta thấy có hai giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu là m3 và m5

 VÍ DỤ 2: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số giá trị nguyên của m

        1

g x  f x  x g x  f x 

Khi đó ta tịnh tiến đồ thị hàm số f x lên trên một đơn vị ta được đồ thị hàm số g x  như hình

vẽ

Dựa vào đồ thị hàm g x  ta lập được bảng xét dấu của hàm g x  

Dựa vào bảng xét dấu của g x  nhận thấy hàm số g x đạt cực tiểu tại   x1

CÂU 2: Cho hàm số   3 2

2 3

f x x x  x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai phương trình f x m và f x   1 m 1 có cùng số nghiệm với mọi m

B Hàm số y f x 2017 không có cực trị

C Hai phương trình f x m và f x   1 m 1 có cùng số nghiệm với mọi m

D Hai phương trình f x 2017 và f x  1 2017 có cùng số nghiệm

Lời giải Chọn D

Đặt x 1 a Khi đó phương trình f x  1 2017 trở thành f a 2017

Hay a là nghiệm của phương trình f x 2017

Mà phương trình x 1 a luôn có nghiệm duy nhất với mọi số thực a

Đáp án B sai vì đồ thị hàm số y f x 2017 tạo thành qua phép tịnh tiến đồ thị hàm số

 

y f x Mà y f x  có hai cực trị nên y f x 2017 phải có hai cực trị

Đáp án C và D sai vì thử bằng máy tính không thỏa mãn

CÂU 3: Biết đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A B C D, , , dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y  x4 2x2 B y  x4 2x21 C y 2x44x21 D yx42x21

Lời giải Chọn B

Vì lim  

x f x

   nên a 0 loại đáp án yx42x21

Vì f  0  1 => loại đáp án y  x4 2x2

Mặt khác f  1  1 loại đáp án y 2x44x21

CÂU 4: Cho hàm số y f x( ) Đồ thị của hàm số y f ( )x như hình vẽ Đặt h x( ) f x( )x Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A h(1) 1  h(4) h(2) B h(0) h(4)   2 h(2)

C h( 1)  h(0) h(2) D h(2) h(4) h(0)

Lời giải Chọn C

A 1 m 3 B m 1 hoặc m3

C m 1 hoặc m3 D m 3 hoặc m1

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm số y f x m là đồ thị y f x  tịnh tiến lên trên một đoạn bằng m khi m0,

tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng m khi m0

Hơn nữa đồ thị y f x m là:

+) Phần đồ thị của y f x m nằm phía trên trục Ox

+) Lấy đối xứng phần đồ thị của y f x m nằm dưới Ox qua Ox và bỏ đi phần đồ thị của

 

y f x m nằm dưới Ox

Vậy để đồ thị hàm số y f x m có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x m xảy ra hai trường hợp:

+) Đồ thị hàm số y f x m nằm phía trên trục hoành hoặc có điểm cực tiểu thuộc trục Ox và

cực đại dương Khi đó m3

+) Đồ thị hàm số y f x m nằm phía dưới trục hoành hoặc có điểm cực đại thuộc trục Ox và

cực tiểu dương Khi đó m 1

Vậy giá trị mcần tìm là m 1 hoặc m3

CÂU 6: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số y f x , (yf  x

A Hàm số g x nghịch biến trên khoảng    ; 2

B Hàm số g x đồng biến trên khoảng   2; 

C Hàm số g x nghịch biến trên khoảng   1; 0

D Hàm số g x nghịch biến trên khoảng    0; 2

Lời giải Chọn C

Hàm số g x đồng biến trên   2;0.Vậy C sai

CÂU 7: Hàm số f x có đạo hàm   f x trên Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f x trên

Hỏi hàm số y f  x 2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số của f x ta thấy f x có hai cực trị dương nên hàm số   y f  x lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục tung ta được bốn cực trị, cộng thêm giao điểm của đồ thị hàm số y f  x 2018 với trục tung nữa ta được tổng cộng là 5 cực trị

y  0  0  0  0  0 

y

CHỦ ĐỀ 6: TƯƠNG GIAO ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM

Lời giải Chọn A

3 4

0

f x  có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt ?



  

 + 2     

0

f x  f f x   

 

03

03

03

03

Cách 1:Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

4

 ) và   4 2

g x   x x là

2 2 2 2 2 2 2

2

( 1) 2 ( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 2( 1) 2 0

1 0(1)( ) 2( 1) 2 (2)

PT(2)luôn có 2 nghiệm phân biệt  1

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Cách 2:Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

22

x x

x x

Đặt f x u khi đó nghiệm của phương trình f f x  1 chính là hoành độ giao điểm của đồ thị f u với đường thẳng   y1

Dựa vào đồ thị ta có ba nghiệm

 

 

 

1 2 3

 VÍ DỤ 3: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đồ thị như hình v

Gọi m là số nghiệm của phương trình f f x  1 Khẳng định nào sau đây là đúng?