Phát triển đề minh họa THPTQG môn Toán năm 2021 - Đề số 3 có lời giải chi tiết

https //thuvientoan net/ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021 Bài thi TOÁN Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ và tên thí sinh Số báo danh Câu 1 Từ các số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số? A 6 B 27 C 3 D 15 Câu 2 Cho , ,a b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Khi đó A 2a b c  B 2b c a  C 2a c b  D a b c  Câu 3 Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên như hình vẽ Hàm số ( )y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021 Bài thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………

Câu 1: Từ các số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?

Câu 2: Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Khi đó

A a b 2c B b c 2a C a c 2b D a  b c

Câu 3: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 20: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 z24z  Trên mặt phẳng tọa độ 8 0

Oxy , điểm nào dưới đây biểu diễn số phức iz ? 0

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A4;1;3, B2;1;5 và C4;3; 3  không thẳng hàng Mặt phẳng

đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với AB có phương trình là

A xy  z 3 0 B x   z 1 0 C 2x2z  1 0 D 2x   y z 1 0

Câu 27: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ,   S : x2 y1 z3 25 Tọa độ tâm của mặt cầu

Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số từ 1000 số nguyên dương đầu tiên Xác suất chọn được một số chia hết cho 3

hoặc chia hết cho 7 là

Câu 35: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng

Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 3 1 2z 1

Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M3; 4; 2  và mặt phẳng  P : 2x5z 3 2  Đường thẳng 0

d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  P có phương trình tham số là

Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SD, a 3. Mặt bên SAB là tam giác cân và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB K là trung điểm của , AD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và HK bằng

Câu 44: Một người gửi tiền vào ngân hàng 200 triệu đồng với kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 5,6% một năm theo hình

thức lãi kép (sau 1 năm sẽ tính lãi và cộng vào gốc) Sau đúng 2 năm, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T A(1r) ,ntrong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất, n là số kỳ hạn gửi Tính tổng số tiền người đó nhận được sau

5 năm kể từ khi gửi tiền lần thứ nhất (số tiền lấy theo đơn vị triệu đồng, làm tròn 3 chữ số thập phân)

 Tìm vecter chỉ phương của đường thẳng d đi qua A vuông góc với đường thẳng

 đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất

Câu 46: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực đại của hàm số    2

22

Câu 48: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành Xác định

để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau

4 4

yx  x

A B C D

Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 4  z22iz Tính giá trị nhỏ nhất của P z i

Câu 50: Trong mặt phẳng   cho hai tia Ox Oy , góc , xOy  60 Trên tia Ozvuông góc với mặt phẳng  

tại O , lấy điểm S sao cho SO a Gọi M N là các điểm lần lượt di động trên hai tia , Ox Oy sao cho ,

OM ON a(a 0và M N khác O ) Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của O trên hai cạnh , SM SN, Khi M N di động trên hai tia , Ox Oy mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng ,bao nhiêu ?

A

2

43

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Từ các số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?

Lời giải

Số tự nhiên có ba chữ số được tạo là 3 3 3  27

Câu 2: Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Khi đó

A a b 2c B b c 2a C a c 2b D a  b c

Lời giải

Vì a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a c 2 b

Câu 3: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số y f x( ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Ta có f x( ) đi từ dương sang âm khi x đi qua 0

Câu 5: Cho hàm số y f x  liên tục trên , có bảng xét dấu f x( ) như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là

Vậy số giao điểm là 5

Câu 9: Với a b, là các số thực dương tuỳ ý và a  , 1 log aa b bằng

A 2 log a b B 1 log

1log

Ta có: log 3 x 523x 5 100  x35(thỏa mãn điều kiện)

Câu 12: Nghiệm của phương trình 5 2 1

Câu 20: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 z24z  Trên mặt phẳng tọa độ 8 0

Oxy , điểm nào dưới đây biểu diễn số phức iz ? 0

Câu 21: Thể tích hình chóp theo công thức nào sau đây?

A 64 B 60 C 120 D 80

Lời giải

Từ giả thiết đề bài ta tìm được đường sinh của hình nón bằng 6282 10

Ta có diện tích xung quanh của hình nón là S xq rl, trong đó r là bán kính đáy, l là đường sinh

Do vậy S xq .6.1060

Câu 25: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A5; 4; 3  đến trục Ox bằng

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên OxH5; 0;0 

Khi đó khoảng cách từ A đến Ox bằng độ dài OH 5

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A4;1;3, B2;1;5 và C4;3; 3  không thẳng hàng Mặt phẳng

đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với AB có phương trình là

Tọa độ tâm của mặt cầu là 2;1; 3  

Câu 28: Trong không gian Oxyz mặt phẳng ( ), P đi qua điểm M2; 5;1  và song song với mặt phẳng Oxz 

Vì  P đi qua điểm M2; 5;1    5 m0m5.

Vậy phương trình mặt phẳng  P là y  5 0

Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số từ 1000 số nguyên dương đầu tiên Xác suất chọn được một số chia hết cho 3

hoặc chia hết cho 7 là

Số chia hết cho 3 có dạng 3k với k  *

Do đó trong 1000 số đầu tiên có 1000 333

Số chia hết cho 21 có dạng 21k với k  *

Do đó trong 1000 số đầu tiên có 1000 47

Quan sát bảng xét dấu ta có f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm tại x   Vậy hàm số có điểm cực đại tại 1 x   1

Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 4 1 2

y x

Câu 35: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tam giác SBC vuông tại S và mặt phẳng .

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng

A 12 a 3 B 36 a 2 C 18 a 2 D 12 a 2

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC Vì SBC vuông tại S nên M là tâm của đường tròn ngoại tiếp SBC

Gọi d là đường thẳng vuông góc với 1 (SMC) tại M  mọi điểm d1 cách đều ba đỉnh SBC

Ta có: ABC đều nên AM BC

Trong mặt phẳng (ABC) vẽ đường trung trực d của đoạn 2 AC cắt đường thẳng AM tại I

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SGABC

Do đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy bằng góc SAG

cosSAG AG

SA



3323

a a

2

 SAG  30

Vậy góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30

Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 3 1 2z 1

a G

C

B A

S

Lời giải

Véctơ chỉ phương của d là u 2 2; 3; 4 

Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M3; 4; 2  và mặt phẳng  P : 2x5z 3 2  Đường thẳng 0

d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  P có phương trình tham số là

Đặt u t t23 thì ta cũng có BBT của unhư sau:

Nhìn vào đồ thị y f x( ) trên ta có được:

03(1) (2) 0, "(1) 0

3

2 0

2

t t 2

3

t t 2 3 t x

Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình ( ) 1

2021

Câu 41: Cho hai số thực a  ,1 b 1, biết phương trình a b x x21 có hai nghiệm 1 x , 1 x Tìm giá trị nhỏ nhất 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số f t trên khoảng   0; bằng  f 32 3 43 Vậy giá trị nhỏ nhất của Sbằng 3 4 3

Câu 41: Cho hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên  2; 2 \ 0  , thỏa mãn (1)f  và 0

'( )1

21

f x

x

x e

Như vậy các điểm A z 1 ,B z 2 lần lượt nằm trên các đường thẳng d1: 2x4y  và 1 0 d2: 2x4y  3 0

Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SD, a 3. Mặt bên SAB là tam giác cân và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB K là trung điểm của , AD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và HK bằng



Câu 44: Một người gửi tiền vào ngân hàng 200 triệu đồng với kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 5,6% một năm theo hình

thức lãi kép (sau 1 năm sẽ tính lãi và cộng vào gốc) Sau đúng 2 năm, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T A(1r) ,ntrong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất, n là số kỳ hạn gửi Tính tổng số tiền người đó nhận được sau

5 năm kể từ khi gửi tiền lần thứ nhất (số tiền lấy theo đơn vị triệu đồng, làm tròn 3 chữ số thập phân)

A 380, 392 triệu đồng. B 380, 391 triệu đồng.

C 385,392 triệu đồng. D 381, 329 triệu đồng

Lời giải

Theo công thức lãi kép, ta có:

Số tiền 2 năm đầu người đó nhận được cả gốc và lãi là 2

1 200(1 5, 6%) 223, 027

Số tiền 3 năm sau người đó nhận được cả gốc và lãi là T2 100T11 5, 6% 3 380,391

Vậy sau 5 năm người đó nhận được số tiền cả gốc và lãi là 380,391 triệu đồng

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 2;1 , M1; 2; 3  và đường thẳng

 Tìm vecter chỉ phương của đường thẳng d đi qua A vuông góc với đường thẳng

 đồng thời cách điểm B một khoảng bé nhất

Gọi  P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với  Ta có d  P

Dựng MBAB MH,  P MBMH MBmin MH, dấu “=” xảy ra BH hay MB P

Khi đó u d n P,n P,AMu,u,AM9 1; 0; 2 

      

Câu 46: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực đại của hàm số    2

22

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f x  chỉ có 1 nghiệm   0 x  (Vì đồ thị hàm số 0 1 y f x  cắt

trục Ox tại một điểm có hoành độ lớn hơn 1) Khi đó  2  2

;2

A

M

H B

Từ bảng biến thiên của hàm số yg x  ta có số điểm cực đại của hàm số    2

22

b cũng không xảy ra do đó có 6 cặp x y thỏa mãn đề bài.; 

Câu 48: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành Xác định

để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau

4 4

yx  x

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: , trục tung và trục hoành là:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc có dạng:

Gọi là giao điểm của và trục hoành Khi đó

Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích bằng nhau khi và

Câu 49: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 4  z22iz Tính giá trị nhỏ nhất của P z i

Câu 50: Trong mặt phẳng   cho hai tia Ox Oy , góc , xOy  60 Trên tia Ozvuông góc với mặt phẳng  

tại O , lấy điểm S sao cho SO a Gọi M N là các điểm lần lượt di động trên hai tia , Ox Oy sao cho ,

OM ON a(a 0và M N khác O ) Gọi , H K lần lượt là hình chiếu của O trên hai cạnh , SM SN, Khi M N di động trên hai tia , Ox Oy mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng ,bao nhiêu ?

A

2

43

k k

Ta gọi: OI là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác OMN

Khi đó, ta có: IM OM tại M và IN ON tại N (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) và (2), với 4 điểm M H K N cùng nhìn đoạn thẳng OI dưới góc vuông, suy ra , , , RMNOHKROMN

Như vậy suy ra mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất khi OI nhỏ nhất

Ta có: 2 OMN sin sin 60 OMN 3 .

Do đó mặt cầu ngoại tiếp đa diện MNHOK có diện tích nhỏ nhất bằng

2 min 4