40 câu Số phức Vận dụng cao bám sát Đề thi minh họa môn Toán năm 2021 có lời giải chi tiết

Đội ngũ giáo viên thuvientoan net LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 1/15 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2021 Môn Toán SỐ PHỨC Câu 1 (CHUYÊN KHTN LẦN 1 2019) Cho các số phức 1 2 3, ,z z z thỏa mãn 1 2 3 1z z z   và 3 3 3 1 2 3 1 2 3 0z z z z z z    Đặt 1 2 3z z z z   , giá trị của 3 3z z bằng A 2 B 5 C 4 D 2 Lời giải Ta có      33 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 13 3z z z z z z z z z z z z z z z z z z              [.]

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2021

Môn: Toán

SỐ PHỨC

Câu 1: (CHUYÊN KHTN LẦN 1- 2019) Cho các số phức z z z thỏa mãn 1, 2, 3 z1  z2  z3  và 1

1 2 3 1 2 3 0

z z z z z z  Đặt zz1z2z3, giá trị của z33 z bằng

z z z  z z z  z z z  z z z z z z z z z

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 1 2 3 2

4z z z z z z 3 z z z z z z z z z z z z z z z

3

4z z z z 3 z z z z

1

4z z z z 3 z z z z z z z z z 4 3z

4 3

2

1

4 3

z

z

  





 

  



    



Chọn A

Câu 2: (THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hoá 2019) Cho z z là hai trong các số phức thỏa mãn 1, 2

z  i  và z1z2  Giá trị lớn nhất của 4 z1  z2 bằng

Lời giải: Gọi ,A B là hai điểm biểu diễn của số phức z z 1, 2

Ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức z z là đường tròn tâm 1, 2 I3; 3, bán kính R 2 và

4 2

AB  R

Khi đó biểu thức S z1  z2 OA OB đạt GTLN khi và chỉ khi tam giác OAB cân

Vậy maxS2OA2 OI2IA2 2 9 3 4   Chọn A 8

Câu 1 (Toán học và tuổi trẻ - lần 3 2019) Cho số phức z thỏa mãn: 4z3i  4z 4 5i Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức P z i  z3i

A minP 2 2 B minP 2 5 C minP 5 2 D minP  5

Lời giải: Ta có 4z3i  4z 4 5i 2x   y 2 0

Xét điểm A0; 1 , B0;3 thì P z i  z3i MA MB

Dễ thấy A B, cùng phía với đường thẳng 2x  y 2 0 nên MA MB

nhỏ nhất bằng AB trong đó B đối xứng với B qua đường thẳng

2x  y 2 0

Ta tìm được B4;1 dó đó minPAB2 5 Chọn B M'

A

B

A'

M

Câu 2 (Đề thi thử VTED) Cho số phức z thoả mãn z23i  z1 4 2 Tổng giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức z 3 4i bằng

Lời giải: Xét các điểm M z ,A2;3 , B1;0 , C3; 4 ta có MAMB4 2,AB3 2,PMC

Có AB 3; 3 , AC 1;1  AB 3AC

MBMA  MCMA MC  MA MB

      

Để cho đơn giản đặt

4 2

4 2

4 2

a b





Do đó   4 2 1 2

Khảo sát hàm số trên đoạn 2 7 2;

dễ có max 7 2 9 2; min 2 2

P  f  P  f 

Do đó tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 5 2

Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Giang – 2019) Cho số phức z có z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1

thức P z2z z2  z 1

A. 13

4

Lời giải: Ta có P z2z  z2  z 1 z 1 z2  z 1

Đặt z a bi và t z1 Khi đó     

2 2

2

t

t  z z  z   zz   aa 

z   z a b  abi a bi  a  b  a b a i

 2 2 2 2 2 2  2  2 2

2a a b 2a 1 a 2a 1 1 a 2a 1 2a 1 3 t

 

         (với 0 t 2 2 a  , do 2 a 2 1)

Xét   2

3

f t  t t  với t 0; 2

t  f t   t t  t   t f  

 

và có

 

 

f f











nên   0; 3

13 max

4

f t

 

 



t  f t  t t  t  t f t  t   t   do đó hàm số luôn đồng biến trên  3; 2    

3;2

max f t f 2 3

 

 

Vậy

   

max

0;2

13 max

4

P  f t  Chọn A

Câu 4: (Chuyên Đh Vinh - Nghệ An) Giả sử z z là hai trong các số phức z thỏa mãn 1, 2

z6 8 zi là số thực Biết rẳng z1z2  , giá trị nhỏ nhất của 4 z13z2 bằng:

A. 20 4 22 B. 5 21 C. 20 4 21 D. 5 22

Lời giải: Đặt z x yi x y, ,   Gọi  A B là các điểm ,

biểu diễn của số phức z z , suy ra 1, 2 AB z1z2  4

Ta có z6 8 zi x6yi  y8xi Do

z6 8 zi là số thực, suy ra:

Re z6 8zi 0x y 6x8y0 Vậy A B ,

thuộc đường tròn  C tâm I3; 4 , bán kính R  5

Xét điểm M thuộc đoạn AB thoả mãn

MA MB OA OB OM

     

Gọi H là trung điểm

AB , ta có HI R2HB2 21IM  22, suy ra điểm

M thuộc đường tròn tâm I , bán kính r  22

Ta có

z  z  OA OB  OM  OIr    

Vậy z13z2 min 20 4 22 Chọn A

Câu 5: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 2) Cho số phức z thoả mãn zz  zz  Gọi 4

,

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2i Đặt AMm Mệnh

đề nào sau đây đúng ?

A. A 34; 6 B. A6; 42 C. A2 7; 33 D. A4;3 3

Lời giải: Gọi za bi a b  ,   

Ta có:

2

2 2

a b

a b

a b

a b





 







  



  





Vậy tập hợp điển biểu diễn của số phức z là 4 cạnh hình vuông

ABCD với A2; 0 , B0; 2 , C2; 0 , D0; 2  

Khi đó P z 2 2i MI với I2; 2

Suy ra MImax khi M trùng với C hoặc D và MImax 2 5

min

MI khi M trùng với trung điểm cạnh ABMImin  2 Vậy AMm2 5 2 34; 6

Chọn A

Câu 6: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để

có đúng 4 số phức z thoả mãn đồng thời các điều kiện zz  zz  z2 và z m ?

A. 2; 2 2  B. 2; 2 2 

  C.  2 D. 2; 2 2 

Lời giải: Đặt z x yi ta có hệ điều kiện:

 

 

2

2 0

2

m







Ta có (1) là tập hợp các cạnh của hình vuông ABCD có tâm là gốc tọa độ độ dài cạnh bằng

2

2

m

; (2) là đường tròn  C có tâm là gốc tọa độ O bán kính bằng Rm

Để có đúng 4 số phức thỏa mãn thì  C phải là đường tròn ngoại tiếp hoặc đường tròn nội tiếp hình

2

2

2

0









Chọn A

Câu 7: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2

z  i  z   i  và iz2  1 2i  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

1 2

T  z z

Lời giải: Giả sử tập hợp điểm M x y biểu diễn số phức  1; 1 z , 1

điểm A  2;1, B4; 7, khi đó ta có:

z  i  z   i  MAMB

Mặt khác AB 6 2MAB:y x3   x  2; 4

Từ iz2 1 2i  , ta chia cả 2 vế cho 1 i  z2  i 2  1

Gọi N x y 2; 2 là tập hợp điểm biểu diễn số phức z2N thuộc

đường tròn tâm I2;1, bán kính R  1

 

T  z z  z  z MN , T đạt giá trị nhỏ nhất

, ,

M N I

 thẳng hàng và MI  AB hay:

MN MINI d I AB NI   Chọn D

Câu 8: (Đề thi thử Chuyên Đại học Vinh lần 2 – 2019) Cho các số phức z và w thỏa mãn

2 i z z 1 i

w

    Tìm giá trị lớn nhất của T  w  1 i

A 4 2

2

2 2

Lời giải: Ta có: 2 i z z 1 i z 2 z 1 z 1i z 2 z 1 z 1i

2

2

2

z

w

z

T  w  i w   i  

Dấu bằng xảy ra 1 1 2

z

    Thử lại với 11 

3

w i thỏa mãn

Vậy T  w  có giá trị lớn nhất là 1 i 4 2

3

Câu 9: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-SỐ 04) Cho 3 số phức z z z thỏa mãn 1; 2; 3

0

2 2 3











Tính A z1z22 z2z33 z3z12

A 2 2

8

3 8

Lời giải: Ta có: z1z2z3 0 z2z3  z1 z2z3  z1 nên 12 22 32 8

3

A z  z  z  Chọn C Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn – Lai Châu 2018) Kí hiệu S là tập hợp các số phức z đồng thời thoả

mãn điều kiện z  1 34 và z 1 mi  zm2i trong đó m là tham số thực Gọi z z 1; 2

là hai số phức thuộc tập S sao cho z1z2 là lớn nhất Tính giá trị của z1z2

A. 1 2 1

2

z z  B. z1z2  2 C z1z2 2 2 D. z1z2 2

Lời giải: Đặt z x yi, ta có z 1 mi  zm2i x12ym2xm2y22

2 2m x 2m 4y 3 0

      ,  d

Vậy các điểm biểu diễn của số phức z z là giao điểm của đường thẳng 1, 2  d và đường tròn  C

Khi đó z1z2 lớn nhất khi  d là đường thẳng chứa đường kính của đường tròn  C

Suy ra 1; 0 2 2 3 0 1

2

I d   m  m  và z1  4 3 ;i z2  6 3i z1z2  Chọn D 2

Câu 11: (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh 2019) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2

1 2 1, 2 7 2 7 2

z   i z   z   i Biết 1 2

1

i



 là một số thực Tìm giá trị lớn nhất của

1 2

T  z z

A Tmax 2 B.Tmax2 2 C. Tmax 3 2 D. max 2

2

Lời giải: Đặt z2 x yi, x y   Ta có , 

z   z   i  x y  x  y  y z   x i

Do 1 2

1

i



 là một số thực nên đặt 1 2      

1

i



z    i x a  a   a    a

Vậy T  z1z2  a1i  2 a 3 2

2

2 2 3

k

 



Chọn C

Câu 12: (Thanh Chương 1 – Nghệ An) Cho các số phức z z thỏa mãn 1; 2

1

1 1

2 1

w

 



  là số thực

và 4z2 8 13i  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 P z1z2 bằng

A. 21

37

37 4 4



Lời giải: Giả sử z1 x1 y i1 , khi đó ta có:

2

w

2 1

x



Vì w là số thực 2x12 4x1 1 y1 0M x y thuộc parabol:  1; 1 2

y x  x

13

4

z   i      i   Gọi N x y 2; 2 là điểm biểu diễn số phức z , khi đó N thuộc 2

đường tròn tâm 2;13

4

I 

, bán kính R  1

P  z MN  IMRP đạt giá trị nhỏ nhất MN đạt giá trị nhỏ nhất IM đạt giá trị nhỏ nhất

MI  x  y    x   x  x   

Xét hàm    

2

4

f x  x  x  x 

  , ta được min 

37 4

4

Câu 13: (8 TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG) Cho số phức z thỏa mãn

3zz2 zz 12 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của , z 4 3i Giá trị M m bằng

Lời giải: Ta có: đặt z x yi 3x 2 y  nên ta có điểm 6

M biểu diễn số phức z sẽ là miền trong của hình thoi ABCD

như hình vẽ M m lần lượt sẽ là độ dài lớn nhất và nhỏ nhất của ,

đoạn thẳng IM với I4; 3 

Dựa vào hình vẽ M MB 52 và mIC 13

Nên M m  26 Chọn C

Câu 14: (8 TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG) Gọi z z là hai nghiệm phức của 1, 2

phương trình z2   Tính giá trị của z 1 0 2019 2019

P z z

Lời giải: Ta có:

3 1

1 2

3 2 2

1 2

1 0

1

2

i

z i

z











 3 673  3 673

Câu 15: (YÊN KHÁNH A-NINH BÌNH) Cho hai số phức z và a bi thỏa mãn:

z  z  ; 5a4b200 Giá trị nhỏ nhất của z là:

A 3

5

4

3 41

Lời giải: Ta có:

dễ dàng tìm được    

N  d x y  như hình vẽ

Để

min

MN  z MN là khoảng cách từ tiếp

tuyến của  E song song với d tới đường thẳng d

Gọi x y0; 0 là tiếp điểm nên tiếp tuyến có dạng

x x y y

  mà song song với d nên

45 16

 

;

;

d

z d









Chọn A

Câu 16: (Sở Hà Tĩnh) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z24  z22iz Tính giá trị nhỏ nhất của

P z i

A. min P 4 B. min P 3 C. min P 2 D. min P  1

Lời giải: Đặt z xyi

2

2

 



z  iP z  i

2

z x i P zi  z i  x    P Chọn D

Câu 17: Cho các số phức z và 1 z thỏa mãn các điều kiện: 2 z1 i z1  và 1 i z2 1 z22i Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z1z2  z13 z13?

A min 554

5

3

5

3

z  i z   i x  y  x  y  x y 

z   z  i  x y x  y  x y 

Như vậy các điểm A z 1 ,B z 2 lần lượt nằm trên các đường thẳng d1: 2x4y  và 1 0

2: 2 4 3 0

d x y  và gọi C3; 0

Gọi D E, lần lượt là các điểm đối xứng của C qua hai đường thẳng đó Ta dễ dàng có được:

809

5

P z z  z   z   ABACBC ABAEBDED

Câu 18: (Sở GD & ĐT Hưng Yên – 2019) Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là 1

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z 1 z2  Tính z 1 M m

A. 13 3

39

13

4

Lời giải: Đặt z a bi và t z1 Khi đó   

2 2

2

t

t  z z  z   z z   aa 

z   z a b  abi a bi  a  b  a b a i

 2 2 2 2 2 2  2  2 2

2a a b 2a 1 a 2a 1 1 a 2a 1 2a 1 t 3

 

         (với 0 t 2 2 a  , do 2 a  ) 2 1

Xét   2

3

f t  t t  với t 0; 2

t  f t  t   t f  

    và có f 0 3,f  2 1 nên

 

 

0; 3

0; 3

13

max

4

f t

f t

 

 

 

 















t  f t t  t f t  t   t  

biến trên  3; 2

   

3;2

3;2

 

 

 

 



 





Vậy    

   

0;2

0;2

13

4

M m











Chọn D

Câu 19: (THPT Chuyên Sơn La) Cho hai điểm A , B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ

tự z , 1 z khác 2 0 và thỏa mãn đẳng thức 2 2

z z z z Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam

giác gì? (O là gốc tọa độ) Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất

A. Vuông cân tại O B. Cân tại O C. Đều D. Vuông tại O

Lời giải: Ta có: 2 2

z z z z

1 2

2

2

2 2 1

2 2

z

i z

i z



 



    



 









Tam giác OAB đều Chọn C

Câu 20: (Sở GD & ĐT Bà Rịa Vũng Tàu – 2019) Gọi S là tập hợp số phức z thoả mãn điều kiện

z  z  Xét hai số z z thuộc tập hợp S sao cho 1, 2 1

2

z

z là số thuần ảo Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức z z là 1 2

A. 225

41 D. 15

Lời giải: Gọi M x y biểu diễn cho số phức z và  ;  F13; 0 ; F23; 0, từ điều kiện z3 z310 ta

có MF1MF2 10 suy ra M x y thuộc elip  ;   

25 16

Xét hai số z1a bi z ; 2  c di thuộc S có điểm biểu diễn A a b B c d thuộc  ; ;  ;   E

2



  là số thuần ảo ac bd  0

Khi đó ta có OA OB ac bd 0 OA OB 12 12 12 12

 

Mà ta có 1 2 1 2 800

41

z z  z z OA OB Dấu bằng xảy ra khi z1  z2

Khi đó a b, là nghiệm của hệ

2

400 1

41

25 16

b









Chọn C

Câu 21: (SỞ GĐ-ĐT QUẢNG NAM)Cho số phức z x yi x y ,   thỏa mãn  z  2 i z 2 5i

và biểu thức

3 1

H



đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị

của 2xy bằng

A  6 B  6 5 C  3 5 D  6 5

 21  1 2 12 2 2 cos ,  cos

 

với A  1;1

và B1; 2 Phương trình đường trung trực của AB là : 2 3 0

2

x y

Ta lại có: z  2 i z 2 5i d x: y  3 0

Để min sin max

2

AMB

AMB R

AB





    đạt giá trị nhỏ nhất Mà RAMB IM IMmin  đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB với I là tâm sẽ tiếp xúc với đường thẳng : d xy 3 0

Gọi ;3 2

2

I a  a

2

2 2

,

3

2 3

I d

3 4 5 6

3 4 5 6

a a

  









  







Với 3 4 5 2, 48

6

a   R và 3 4 5 3, 6 

6

Vậy 3 4 5 15 8 5;

I   

IM x      y  

M là giao điểm của IM và d nên M 5 3;  5 Vậy 2xy  6 5 Chọn B

Câu 22: (Sở GDĐT Khánh Hòa) Cho số phức z không phải là số thực và

2

2

2 4

2 4

 

  là số thực Có

bao nhiêu số phức z thỏa mãn zz zz  z2 ?

Lời giải:

2

2

2 4

2 4

 

  là số thực nên ta có:



z  z z  z  z  z z  z



4 z z 4 z z 16z 16z 0

      z2zz4zz0

z2 4 z z 0

     z2 vì 4 zz 0  1

Đặt z a bi với b 0,a  

2

zz  zz  z 2a 2b 4  2

Từ  1 và  2 ta có

4 2







2

a b





0 2

a b



 





0 2 0 2

a b a b

 













 



 





Chọn B

Câu 23: (SỞ GIÁO DỤC BẮC NINH) Cho số phức z thỏa mãn 1i z  1 3i 3 2 Giá trị lớn

nhất của biểu thức P z  2 i 6 z 2 3i bằng

A. 5 6 B 15 1  6 C 6 5 D 103 15

Lời giải: Ta có: 1i z  1 3i 3 2 z 1 2i 3

Đặt w  z 1 2ia bi  w  a2b2  3

Thế vào P w 3 3i 6 w  1 i a32b32 6 a12b12

Câu 24: (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai – 2019) Cho số phức z thỏa z  Tìm giá trị lớn nhất 1

của P z2 z  z2 z

A. 14

z x yi x y  z   x y 

Tập hợp M x y biểu diễn số phức z là đường trò tâm , ;  O R 1

Ta có P z2z  z2 z  z  z 1 z  1 z 1 z1 MAMB

Trong đó A1; 0 , B1; 0 và AB là đường kính

Vậy MAMBmax M là giao của đường tròn và trục OyMAMBmax 2 2 Chọn C

Câu 25: (SỞ GDĐT CAO BẰNG) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 1

1

1

2 3

z i





2

2

2 1





Giá trị nhỏ nhất của z1z2 là

Lời giải: Đặt z1a1b i1 , khi đó ta có:

1

1

2 3

z i



 

Gọi M là điểm biểu diễn của z , khi đó M thuộc đường thẳng 1 :xy3 0

Tương tự đặt z2 a2 b i2

2

2

1



 

Gọi N là điểm biểu diễn của số phức z , khi đó điểm N thuộc đường tròn tâm 2 I2;1, bán kính

2

R 

Ta có z1z2 MN đạt giá trị nhỏ nhất MN d I ,  R2 2 Chọn A

Câu 26: (Chuyên Lam Sơn Lần 3) Cho 3 số phức z z z thỏa mãn , ,1 2 z 1 2i  z 3 4i ,

z   i  , z2 1 6i  Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 T  zz1  zz2  4

A. 2 3770

10361

3770

10361 26

Lời giải: T  zz1  zz2   2 2 zz1  z1 5 2i  zz2  z2 1 6i

Theo BDT môn đun z1  z2  z1z2  zz1  z1 5 2i  z 5 2i

Tương tự zz2  z2 1 6i  z 1 6i  T  z 5 2i  z 1 6i