Các bài toán Vận dụng cao chuyên đề Số phức ôn thi THPTQG năm 2021 có lời giải chi tiết

CHƯƠNG 3 SỐ PHỨC CHỦ ĐỀ 1 CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC Lời giải Chọn B Ta có phương trình            4 4 2 1 0f z z i z Suy ra       1 2 3 415f z z z z z z z z z     Vì          21 1 1 1 1 225 f i f i z z i z i P        Mà           4 4 44 1 5; 3 1 85 f i i i f i i i          Vậy từ     17 1 9 P Lời giải Chọn B Đặt  ,z x yi x y   suy ra z x yi  Khi đó ta được        2 2 2 3 2 1 1 528 4 2 02 1 2727 x yi x yi y x x x xx yi[.]

CHỦ ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

Lời giải Chọn B

Đặt z x yi x y ,   suy ra z  x yi Khi đó ta được

2727

Lời giải Chọn C

Ta có: 2 6

(2 ) 2 3

z là số thuần ảo khi và chỉ khi m2k1, k (do z0;  m *)

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài

 VÍ DỤ 1: Gọi z z1, 2, z3, z4 là các nghiệm của phương trình

4

11

m

i z

x y

Gọi S là diện tích của đường tròn  C2

Diện tích phần giao nhau của hai đường tròn là: 1 2 1 2 1 .82 1.8.8

x

B C

 VÍ DỤ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi  H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu

CÂU 7: Trong mặt phẳng xOy , gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z 3 3i  3 Tìm

phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất

2n C n iC n C n iC n  i C k n k  i C n n n 32768i, với C là các số tổ n k hợp chập k của n và i2  1 Đặt T k1 i C k n k, giá trị của T8 bằng

A 3 B 3 3

CÂU 8 Biết phương trình az3bz2cz d 0 a b c d, , ,   có z1, z2, z3  1 2i là nghiệm Biết z2

có phần ảo âm, tìm phần ảo của w z1 2z23z3

CÂU 12: Cho số phức z Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn các số phức z

và  1 i z Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8

CÂU 17: Cho số phức z thỏa mãn 2

z   z z z z Giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 5 2i bằng:

CHỦ ĐỀ 2: PHƯỜNG TRÌNH VỚI HỆ SỐ THỰC

Lời giải Chọn B

Vì O , M , N không thẳng hàng nên z1, z2 không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo  z1, z2 là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình 2  

2 1

2 1

Ta có z1, z2 là các ngiệm phức của phương trình az2bz c 0 nên

2 1,2

42

b i ac b z

Lời giải Chọn C

1

1

z

i z

z

i z

2

z z

P

Lời giải Chọn A

CÂU 2 Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

2z 4z 3 0 Tính giá trị của biểu thức

CÂU 8: Kí hiệu z1 và z2 là các nghiệm của phức của phương trình z24z 5 0 và A , B lần lượt là các

điểm biểu diễn của z1 và z2 Tính cos AOB

OA OB



Lời giải Chọn D

CHỦ ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Lời giải Chọn B

Theo hình vẽ ta có: OM ON  z  z2  z2 z 1

và ON OM2 3OM OM   3 z 3

Vậy 1 z 3

Lời giải Chọn D

z P w

 VÍ DỤ 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M , biết z2 có điểm biểu

diễn là N như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A z 1 B 1 z 3 C 3 z 5 D z 5

 VÍ DỤ 2: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z2w 3, 2z3w 6 và z4w 7 Tính giá trị của biểu thức Pz w z w 

A P 14i B P 28i C P 14 D P 28

Lời giải Chọn D

Do ABCD là hình vuông và H là tâm hình vuông nên ta có HBAH HB,  AH

Do điểm A biểu diễn bởi số phức a   2 i A2;1, Điểm H biểu diễn bởi h  1 3i H 1;3

Đường thẳng BH nhận AH 3; 2 làm VTPT nên có phương trình là:

Vậy b  1 6i, suy ra mô-đun của số phức b là: 37

 VÍ DỤ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i   z 2 3i Biết

CÂU 3 : Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa z   2i 1 z i Tìm số phức z được biểu diễn

bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3

A 3 i B 1 3i C 2 3i D  2 3i

CÂU 4: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn

 2 22

z  z  z  là hai đường thẳng d d1, 2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d d1, 2 là bao nhiêu?

A d d d 1, 22 B d d d 1, 24 C d d d 1, 21 D d d d 1, 26

CÂU 5: Cho z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3i 5, đồng thời z1z2 8

 VÍ DỤ 5: Cho hai số phức z z1, 2 thoả mãn z1 6, z2 2 Gọi M N, là các điểm biểu diễn cho z1và iz2 Biết MON 60 Tính T  z129z22

A T18 B T 24 3 C T 36 2 D T 36 3



Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z1 z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

CÂU 7: Cho A B C D, , , là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức

1 2 ; 1 i  3i; 1 3i; 1 2 i Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I Tâm I biểu diễn số

phức nào sau đây?

CÂU 10: Trong mặt phẳng xOy , gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z 3 3i 3 Tìm

phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất

CÂU 11: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z  m 1 3i 4 Tìm tất cả các số thực m

sao cho tập hợp các điểm M là đường tròn tiếp xúc với trục Oy

CÂU 14: Gọi Hlà hình biểu diễn tập hợp các số phức ztrong mặt phẳng tọa độ 0xysao cho 2z z 3, và

số phức zcó phần ảo không âm Tính diện tích hình H

CÂU 15 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C , Dlần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1  1 i,

A Góc phần tư thứ (I) B Góc phần tư thứ (II)

C Góc phần tư thứ (III) D Góc phần tư thứ (IV)

GIẢI CHI TIẾT CÂU 1: Chọn D

(Lí giải cách chọn là vì z1  z2  z3 1 và z1 z2 z3 0 nên các điểm biểu diễn của z1, z2, z3

là ba đỉnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị nhận gốc O làm trọng tâm, nên ta chỉ việc

giải nghiệm của phương trình 3

Az z z  Lưu ý: Nếu GA GB GC   0 G là trọng tâm ABC

    (thỏa điều kiện z 2 i)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x4y 3 0

CÂU 3 : Chọn A

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  , z x yi x y , R

Gọi E1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2i

Gọi F0, 1  là điểm biểu diễn số phức i

Ta có: z    2i 1 z i MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục

Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính bằng 6 và có phương trình   2 2





AB DB Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox), DC AC 0 Từ đó suy ra AD là một

đường kính của đường tròn đi qua A B C D Vậy , , , I 1; 0  z 1

xOM nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi đường thẳng OM là tiếp tuyến của đường tròn C

Khi đó phương trình đường thẳng chứa OM là d1: y 0; d2: y 3x

Trường hợp 1: d1: y 0 góc xOM 180

Trường hợp 2: d2: y 3x góc xOM 150 khi đó số phức 3 3 3

Vậy phần ảo của z trong trường hợp góc xOM nhỏ nhất là 3 3

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I1; 2

Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R 5 5c  5 c 1

Thử c1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn

CHỦ ĐỀ 4: MAX, MIN, MODUN CỦA SỐ PHỨC

Lời giải Chọn A

Ta có z1   3i 5 2 2iz1 6 10i 4  1 ; iz2 1 2i   4  3z2 6 3i 12  2

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz1, B là điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ  1 và  2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I1 6; 10 và bán kính R14; điểm B nằm trên đường tròn tâm I2 6;3 và bán kính R2 12

I 2

I 1

B A

Ta có T  2iz13z2  ABI I1 2R1R2  122132  4 12 313 16

Vậy maxT  313 16

Lời giải Chọn A

Ta có iz 2    i 1 z 1 i 2 1 Gọi z0  1 i 2 có điểm biểu diễn là I 1; 2

Gọi A, Blần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2 Vì z1z2 2 nên I là trung điểm của AB

 VÍ DỤ 1: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1  3i 5 2 và iz2 1 2i 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz13z2

1 27

2

3 10

2 2,

Gọi M a b là điểm biểu diễn số phức  ; z a bi Đặt I  3; 2 , A1; 2 và B 2;5

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C có tâm I , bán kính R2 sao cho biểu thức

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK

Do đó MA2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C và đoạn thẳng BK

 VÍ DỤ 5: Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn iz 1 2i 3 và biểu thức

T 2z 5 2i3z3i đạt giá trị lớn nhất Gọi M là giá trị lớn nhất của T Giá trị tích của

M n là

Lời giải Chọn A

Gọi z x yi, với x y,  Khi đó M x y là điểm biểu diễn cho số phức z  ;

Theo giả thiết, iz 1 2i  3 z   2 i 3   2 2

Vậy M n 10 21

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

CÂU 1: Trong các số phức z thỏa mãn z2 1 2 z gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ

nhất và lớn nhất Khi đó môđun của số phức w z1 z2 là

CÂU 2 Cho số phức z và w thỏa mãn z w  3 4i và z w 9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T  z w

A maxT  176 B maxT14 C maxT 4 D maxT  106

CÂU 3: số phức z thỏa mãn 1i z  2 1i z  2 4 2 Gọi mmax z , nmin z và số phức

w m ni Tính w2018

A 41009 B 1009

6 D 21009

CÂU 4: Cho số phức z thỏa mãn 5 z i    z 1 3i 3z 1 i Tìm giá trị lớn nhất M của z 2 3i ?

32

z  i đạt giá trị nhỏ nhất

CÂU 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P  z 1 z2  z 1 Giá trị của M m bằng

CÂU 14: Cho các số phức z thỏa mãn 2   

Do đó Elip có độ dài trục lớn là A A1 2 2a4, độ dài trục bé là B B1 2 2b2 2

Mặt khác O là trung điểm của AB nên mmax z maxOM OA1 a 2 và

3212

I 2

I 1

B A

Theo giả thiết, ta có:

Gọi  là đường thẳng qua hai điểm OI ta có

phương trình của   : 3x4y0 Gọi M và N lần lượt là hai giao điểm của   và  C

sao cho OM3 và ON7 khi đó

Do đó tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm A 0; 2 và

đường trung trực của đoạn thẳng BC với B0; 2 , C1; 2 

 

d D

Khi đó P  z 3 2i DN , với N là điểm biểu diễn cho z

Suy ra minPminDA d D,  ,   3