Bài 1 (2,0 điểm) Giải bất phương trình a) −x−4 x2−7x+12 > 0 b) √ x2 + 4 ≥ x + 2 Bài 2 (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình 2mx2 − 2(m− 4)x + m− 4 ≥ 0 vô nghiệm Bài 3 (1,5 điểm) Cho hệ bất phương trình x x−1 ≤ 0 (m2 + 1)x > 2mx + m2 + 1 a) Giải hệ bất phương trình (I) khi m = −1 b) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm Bài 4 (1,0 điểm) Chứng minh rằng a) sin2 x + sin(π 3 −x)2 = 1 − 1 2 cos(2x− π 2 ) b) sin2 x + sin2(π 3 −x) + sin x sin(π 3 −x) = 3 4 Bài 5 (0,5 điểm) Cho hai số thực a,b th[.]
Trang 1Bài 1: (2,0 điểm) Giải bất phương trình:
a) x2−x−4−7x+12 > 0
b)√
x2+ 4 ≥ x + 2
Bài 2: (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình: 2mx2− 2(m − 4)x + m − 4 ≥ 0 vô nghiệm
Bài 3: (1,5 điểm) Cho hệ bất phương trình:
x x−1 ≤ 0 (m2+ 1)x > 2mx + m2+ 1 a) Giải hệ bất phương trình (I) khi m = −1
b) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm
Bài 4: (1,0 điểm) Chứng minh rằng:
a) sin2x + sin(π3 − x)2= 1 −12cos(2x −π2)
b) sin2x + sin2(π3 − x) + sin x sin(π
3 − x) = 3
4
Bài 5: (0,5 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa 2a + 3b = 7 Tìm giá trị lớn nhất của M = (a + 1)(b + 1)
Bài 6: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 3); B(2; 1) và đường thẳng (d)
x = t
y = 10 + 5t
(t ∈ R)
a) Tìm tọa độ giao điểm của AB với đường thẳng (d) Viết phương trình đường thẳng (d0) qua A và song song với (d) b) Tìm a ∈ R sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng (∆) bằng 1, biết (∆) : x + (a − 1)y − 3a = 0
c) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A tiếp xúc với trục Ox Tìm tọa độ giao điểm của đường tròn (C) với trục Oy Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) :x252 +y92 = 1
a) Tính chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E)
b) Điểm H(m; n) thuộc (E) thỏa F1H = 9F2H2với F1, F2 là hai tiêu điểm của (E) và xF1 < 0 Tìm m, n
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:
a)
−x − 4
x2− 7x + 12 > 0 <=>
x + 4 (x − 3)(x − 4) < 0 <=> x ∈ (−∞; −4) ∪ (3; 4) Vậy S = (−∞; −4) ∪ (3; 4)
b)
p
x2+ 4 ≥ x + 2
• TH1: x ≤ −2
• TH2:
x > −2
x2+ 4 ≥ x2+ 4x + 3
<=>
x > −2
x ≤ 0
Vậy ( −∞; −2]
Bài 2:
• m = 0
• m 6= 0 Đặt f(x) = 2mx2− 2(m − 4)x + m − 4
Để f (x) ≥ 0 vô nghiệm thì f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ R, khi và chỉ khi:
m < 0
∆0= (m − 4)2− 2m(m − 4) < 0
<=> m < −4
Bài 3:
a) Thay m = −1 vào (I) ta được:
x x−1 ≤ 0 2x > −2x + 2
<=>
0 ≤ x < 1
x > 12
<=> 1
2 < x < 1 b)
(I) <=>
0 ≤ x < 1 (m − 1)2x > m2+ 1(1)
• TH1: m = 1 thì hệ bất phương trình vô nghiệm
• TH2: m 6= 1, khi đó (1) <=> x > m2+1
(m−1) 2
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
m2+ 1 (m − 1)2 < 1 <=> m < 0 Vậy m < 0 thì hệ bất phương trình (I) có nghiệm
Bài 4:
a)
V T = sin2x + sin2(π
3 − x) = 1
2 −1
2cos 2x +
1
2−1
2cos(
2π
3 − 2x)
Trang 3= 1 −1
2[cos 2x + cos(
2π
3 − 2x)] = 1 −1
2cos(2x −
π
2) = V P b)
V T = sin2x + sin(π
3 − x) + sin x sin (π
3 − x) = 1 −1
2cos(2x −
π
3) −
1
2[cos π3 − cos(2x −
π
2)] =
3
4 = V P Bài 5: Ta có:
6M = (2a + 2)(3b + 3) ≤ (2a + 2 + 3b + 3)
2
4 = 36 => M ≤ 6 Vậy giá trị lớn nhất của M là 6 khi và chỉ khi a = 2 và b = 1
Bài 6: a)
• Phương trình đường thẳng AB : 2x + y − 5 = 0
Gọi M (a; 10 + 5a) là giao điểm của AB và (d)
Ta có: M ∈ AB <=> 2a + 10 + 5a − 5 = 0 <=> a = −57
Vậy tọa độ giao điểm của AB và (d) là M (−57 ;457)
• Đường thẳng (d0) đi qua A(1; 3) và song song với (d), khi đó:
x = 1 + t0
y = 3 + 5t0
(t0∈ R)
b) Ta có: d(A,(d0 ))= 1
<=> d(A,(d0 ))= |1 + 3(a − 1) − 3a|
p1 + (a − 1)2 = 1
<=> 1 + (a − 1)2= 4 <=> a = 1 ±√
3 c)
• Ta có: d(A,Ox)= 3 = R
Phương trình đường tròn (C) tâm A, bán kính R = 3 là:
(C) : (x − 1)2+ (y − 3)2= 9
• Gọi N(0; y) là giao điểm của (C) và Oy
Ta có: N ∈ (C) <=> 1 + (y − 3)2= 9 <=> y = 3 ± 2√
2 Vậy tọa độ giao điểm là N1(0; 3 + 2√
2) và N2(0; 3 − 2√
2) Bài 7: a) Ta có: a = 5; b = 3
Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: 2(2a + 2b) = 32
b) Ta có: c2= a2− b2= 16 => c = 4 => e = 4
5
F1H = a + e.m = 5 + 4
5m, F2H = a − e.m = 5 −
4
5m
Ta có: F1H = 9F2H2<=> 5 +45m = 9(5 −45m)2
<=>144
25 m
2−364
5 m + 220 = 0 <=> m = 5 ∨ m =
275 36 (loại)
=> m = 5; n = 0 Vậy H(5; 0)
