Vận dụng cao Tích phân bám sát Đề minh họa THPTQG môn Toán năm 2021

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 1/20 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2021 Môn Toán NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Câu 1 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết   4 1 5f x dx  ,   5 4 20f x dx  Tính     2 ln 2 2 2 1 0 4 3 x x I f x dx f e e dx    A 15 4 I  B 15I  C 5 2 I  D 25I  Lời giải Ta có       5 4 5 1 1 4 25f x dx f x dx f x d x       2 1 1 4 3I f x d x  Đặt  5 1 1 4 3 4 4 f u u x du dx I du         ln 2 2[.]

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2021

Môn: Toán

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

4

1

5

f x dx 

5

4

20

f x dx 

2 2

I  f x dx  f e e dx

4

2

Lời giải: Ta có      

25

f x dx f x dx f x d x

2

1

1

1 1

4

f u

u x du dxI  du

 

ln 2

2 2

2

0

x x

2 1

2

2

ve dv e dxI  dv

Câu 2: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x  liên tục trên 0;   thỏa 

mãn 2xf x  f x 3x2 x Biết  1 1

2

f  Tính f 4

2

2



 

3

x

 1 1 0  4 16

2

f  C   f  Chọn D

Câu 3: (Chuyên Đại học Vinh)Cho hàm số y f x  liên tục trên 0; 1 thỏa mãn   

1

0

xf x x 

  [0; 1]

max f x 1 Tích phân  

1

0

ex d

I f x x thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

4

 

3

; e 1 2



5 3

;

4 2



  D. e 1;   

Lời giải: Với mọi a 0;1, ta có  

1

0

0xf x dx  

1

0 d

a xf x x

1

0

d

axf x x

 Kí hiệu:    

1

0

ex d

I a  ax x

Khi đó, với mọi a 0;1 ta có :  

1

ex f x dx

ex f x dx axf x dx

1

ex ax f x dx

  

  0

ex ax f x dx

0

x



0

ex ax xd I a

0;1 0

a





 Mặt khác , với mọi a  0;1 ta có    

I a  ax x ax x

1 2

0

e 2

x a x

a

  

0;1

3

2

a I a

1

0

3

2

x

f x x

4 2

I  

  Chọn C

Câu 4: (Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho hàm số f x có đạo hàm   f x liên tục trên  và thỏa mãn

   1;1

f x   với  x 0; 2 Biết f 0  f 2  Đặt 1  

2

0 d

I f x x, phát biểu nào dưới đây đúng?

A. I   ; 0 B. I 0;1 C. I 1;  D. I 0;1

Lời giải: Ta có      

I f x x f x x f x x

1 0

1

2

f x x x f x  x f x x  x f x x  x x

2 1

f x x x f x  x f x x  x f x x

2

1

1

2

x x

     2

Từ  1 và  2 suy ra 1 1 1

2 2

I    Chọn C

Câu 1: (Chuyên Ngữ Hà Nội) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x  1 x  1 x trên

tập  và thỏa mãn F 1  Tính tổng 3 F 0 F 2 F 3

Lời giải: Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có:        

2

1

f x x x

  nên F 2  5

1

0

f x xF F  F

2 1 0

f x x x xx 

0

1



2 0 1

  nên F  1  3

1

3





   

  nên F  3 7 Vậy F 0 F 2 F 3    2 5 7 14 Chọn C

x   1 1 

1 x  0  | 

1 x  |  0 

 

f x  | 2x | 2 2

Câu 5: (Sở Quảng Nam) Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 0;

3



Biết

 cos  sin 1

f x x f x x , 0;

3

x  

    và f 0  Tính tích phân 1  

3

0



2

2

2

2 3

 

Lời giải: Ta có:

 cos  sin 1    2sinx 12



f x



Nguyên hàm 2 vế ta được:   1 12 tan

cos cos

 0 1 1

2

Câu 1: (Toán học và tuổi trẻ - Lần 1) Cho hàm số f x liên tục trên  Biết   6  

1

ln

6

dx

2

2

0





3

1

2

f x  dx

Lời giải: Đặt ln  1

2

x

 

ln

2

3

0

3

f t dt 



t xdt   xdx, khi đó ta có:    

1 2

2

cos sin 2





1

0

2

f t dt 



1

f t dt f t dt f t dt

f x  dx f x dx dx  

Câu 2: (Toán học tuổi trẻ 2019 – Lần 1) Cho hàm số f x liên tục trên đoạn   1;1 và

  2019   2 ,x  1;1

f x  f x    x Giá trị của  

1

1

f x dx

 là

2019 ln 2 B

3

5 2018ln 2

Lời giải: Ta có: thay x bởi x vào phương trình: f x 2019f x2x nên ta có hệ :

2019 1 2019 1

x

f x







 

1

1

4040 ln 2

2019 1 ln 2 2019 1 ln 2

f x dx





Câu 3: (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn           3

2

f x  f x f x x  x x

   và f 0  f  0  Tính giá trị của 1 2 

2

T  f

A 43

16

43

26

15

Lời giải: Ta có    2     3       3

f x  f x f x x  x f x f x  x  x

Nguyên hàm 2 vế ta được:    

4 2 4

x

f x f x  x C mà f 0  f 0  1 C 1

4

2 1 4

x

 

1

x C C

2 15

f

Câu 1: (Chuyên Hạ Long Quảng Ninh – Lần 1 2019) Cho hàm số y f x  liên tục trên  thoả

mãn f x 2 x f x ex2,  x và f  0  Tính 0 f 1

1

e

  C. f  1 12

e

 D. f 1 1

e



Lời giải: Ta có     2 2   2  

f x  x f x e e f x  x e f x 

0

1

e

Câu 6: (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Cho chiếc trống như hình vẽ, có

đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng

80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán

kính bằng 60 cm Tính thể tích V của trống (kết quả làm tròn đến

hàng đơn vị)

344963 cm

344964 cm

208347 cm

208346 cm

Lời giải: Đặt mặt phẳng qua trục của trống vào hệ tọa độ Oxy sao cho trục

của trống trùng với trục hoành, trung điểm của trục đó là gốc tọa độ O

Ta xét đường sinh nằm trong mặt phẳng nói trên là một nửa của elip có tâm là

  0;6

I và độ dài trục lớn là 8 dm  , độ dài trục nhỏ là 6 dm  

Đường sinh đó thuộc elip có phương trình là 2  62

1

y

Phương trình của đường sinh đó là:  

2

16

x

y f x     Khi đó, trống là khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau quay quanh trục hoành: y f x ,y0,x 4,x 4

Do đó, thể tích của trống bằng  

2

2

16

x

       

4 2 2 4 2 4 2

4

4 4







4

1 1 sin 4 cos 4 cos 2 1 cos 2

16

x



2

2t sin 2t 2





9 36 2 344,9636147 344964

3

Câu 7: (THPT Quỳnh Lưu 1 – Nghệ An 2019) Cho hàm số f x thỏa mãn   f 1 2 và

 2 2     2 2 

x f x f x x với mọi  x Giá trị của f 2 bằng:

A. 2

2 5

2

2

Lời giải: Ta có          

2

1

1

Suy ra  

2

1

Câu 8: (Sở GD Bắc Ninh – 2019) Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn các điều kiện:  

 0 2 2,  0,  

f f x x và f x f  '  x  2x1 1 f2 x ,  x Khi đó giá trị

 1

f bằng:

Lời giải: Ta có            

 

2

2

'

1

f x f x

f x



Suy ra    

2

'

1

f x f x

f x



Câu 9: (THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa) Cho hàm số f x nhận giá trị dương, và có đạo hàm liên  

tục trên đoạn 0;1 Biết  f  1  và 1     2

f x f x e  ,  x  0;1 Tính

 

1

0

2x 3x f x

f x





60

10

10

60

I 

Lời giải: Ta có     2     2

f x f x e   f x  f x x x

 

1

0

2x 3x f x

f x







2

ln

f x

f x



Khi đó ta có:

 3 2  1  2   

0 0

0

6 x x ln f x dx

0

6 x x ln f 1 x dx

ln f x ln f 1x  x x 1 2    2    

0

2

12 x x ln f x dx6 x x dx

1

2

0

1

10

mãn f x 2 x 1 f x2 x 1 6x412x36x2 , x2    Tính  

1

3

d

f x x

Lời giải:Ta có: Đặt 2  2  2 2 4 3 2

x    x t t  x x x  x x

 2

6x 12x 6x 2 6 t 1 2

Ta có: f t  f t 2 6t12 2      

2

1

0

2

5

xf x x  f x dx

 Giá trị nhỏ nhất của tích phân

2 1

0

1 ( ) 3



16

2

7 20

Lời giải: Để cho đơn giản coi a  f x( ), khi đó  

2

1

3

A x  f x  dx B xf x x  f x dx

Ta có

2

A x  a  dx B ax a x dx

(a 3x ) 4ax a( x )8x (ax)  0

Do đó

8 8 8 16

A a  x dx ax a x dx x dx B   

Dấu bằng đạt tại a x f x( ) x, x [0;1]

3;10

B Gọi M là điểm di động trên cung AB của  P , M khác , A B Gọi S là diện tích 1

hình phẳng giới hạn bởi  P và MA , gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2  P và MB

Gọi x y0; 0 là tọa độ điểm M khi S1S2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính 2 2

x  y

Lời giải: Gọi D E F là hình chiếu của ,, , A M B lên trục Ox , khi đó: ,

1

2

AMDE

2

2

2

MBFE

 2 2

S S S x  x   x   

Dấu “=” xảy ra x0 2;y0 5x02 y02 29 Chọn A

Câu 10: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hàm số f x liên tục trên  thỏa mãn   f 2x 3f x ,

x

   Biết rằng  

1

0

1

f x dx 

 Tính tích phân  

2

1

I f x dx

Lời giải: Ta có  

1

0

1 f x dx Đổi biến số, đặt

2

t

x  , khi đó ta có:

2

0

1

1

t

f dt

 



2

0

1

x

f dx

 

2

0

x

f x  f x f   f x   f x dx

 

2

0

6

f x dx

6 1 5

I f x dxf x dx   Chọn B

Câu 11: (THPT ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên

đoạn 0;1 và  f  0  f 1  Biết 0  

1 2

0

1 2

f x dx 

1

0

' cos

2

1

0

f x dx

2



C 2

1



1 0

   

1

0

1 sin

2

f x x dx

f x dx f x x dx x dx

1

0

2



trên  , f 0  , 0 f ' 0  0 và thỏa mãn hệ thức

    2  2       

f x f x  x  x x f x  x f x   x Biết    

1

2

0

1 f x

x e dxae be c

 với , ,a b c   Giá trị của a b c  bằng

2

Lời giải: Ta có:   2         2

PT  x x f x  f x f x  x

3x x f x f x f ' x dx 6x

2

2

f x

     mà f  0  0 C 0

2

  (nhận) vì y' 0 2 0

1

0

1

x

      a b c  12 Chọn D

Câu 13: (Sở GD – ĐT Phú Thọ) Cho hàm số f x Đồ thị của hàm số   y f ' x trên 3; 2 như

hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol yax2bx c )

Biết f  3  , giá trị của 0 f  1  f 1 bằng:

31

35

9 2

Lời giải: Parabol yax2bx c đi qua các điểm 3; 0 ; 1; 0 ; 2;1 nên ta có hệ:

2

Đường thẳng qua hai điểm 1; 0 , ; 2 là y2x2

Đường thẳng qua hai điểm 0; 2 , 2; 0 là    y   x 2

Vậy ta có  

2

2, 0



     





2

4

3



1

0

23

6

f  f   x dx Vậy  1  1 4 23 31

f   f    Chọn A

Câu 14: (Nguyễn Khuyến–TPHCM) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn   0;1 thỏa mãn 

 

1

2

0

1 21

x f x dx  

 , f 1  và 0  

1

2

0

1 7

f x dx

 Tính giá trị của  

1

0

f x dx

 bằng

1 5

7 10



1

2

1

x f x dx= f x d  f x f x dx f x dx

 

 

1

3

0

1 7

x f x dx

  Mặt khác ta có

1 6

0

1 7

x dx 



f x dx x f x dx x dx

1

2 3

0

0

f x x dx

f x x

 

4

4

x

4

C

   Vậy  

x

f x dx   dx 

Câu 15: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 2; 4 

và f x 0,  x 2; 4 Biết 4x f x3  f x 3x3,  x 2; 4,  2 7

4

f  Giá trị

 4

f bằng:

A. 40 5 1

2



4



2



4



3

f x

f x





 

 

3

xdx

f x





4

2

 

3

4

Câu 16: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 2) Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng

hợp của hai hình tròn giao nhau Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao của hai hình tròn là 300 nghìn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 nghìn đồng Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào nhất trong các số dưới đây ?

A. 208 triệu đồng B. 202 triệu đồng C. 200 triệu đồng D. 218 triệu đồng

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ Ta có phương trình hai đường tròn lần lượt là:

Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: y 202x2 và

 2

2

Phương trình hoành độ giao điểm: 2  2 2 2 215

12

Diện tích phần giao nhau của 2 đường tròn là:  

215

20 12

2

1

215 15

12

Diện tích phần không giao nhau của 2 đường tròn là:  2 2

2 20 15 2 1 1842, 986

Vậy số tiền làm mặt sân của sân khấu là: 5 5

3.10 10 202

T  S  S  triệu đồng Chọn B

Câu 17: (Chuyên Quốc Học Huế) Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm   f x liên tục trên đoạn

 1;3 , f x   0với mọi x  1;3 , đồng thời      2 2   2

f x  f x f x x  và

 1 1

3

1

f x dxa b a b

   , tính tổng S ab2

Lời giải: Ta có               

2 2

4

1

f x

           2 

3 2

3 3

x

f x

Lại có f 1  1C0

     

 

   

3

2

3 3

x

f x



Xét hàm số   1 3 2

3

g t   t t  nghịch biến trên  nên t  

 

1

x

0 max e e x,  x dx



A e  1 B 3 3 

2 e e C

3

2 e e



Lời giải: Đặt f x e x và g x e 1 2 x , xét phương trình hoành độ giao điểm:

3

f x  g x e e x

Với 0;1

3

x   thì g x  f x ; Với 1;1

3

x   thì f x g x  ta có:

1 2

1 2

1

3 max ,

1

3

x

x

e e

e x







 

 



  



1 3

3

max ,

e e dx e dx e dx  e e  e e

Câu 19: (Thanh Chương 1 – Nghệ An) Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;

cos

2



2

f 



 

 

Khi đó tích phân  

2

0

f x dx



2



2



cos x f x dx f x d sinx f x sinx f x sinxdx f x sinxdx



 

0

sinx

2









0

sin x

2

dx







 nên ta có:

 

0

sinx



  f x  sinx  f x cosx C

 

 

Câu 20: (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên  thỏa mãn

1 2

f  

 



và với mọi x   ta có f '   x f x sin 2x f ' x cosx f x .sinx Tính tích

phân  

4

0

I  f x dx



2

I   D. I 2

Lời giải: Ta có  f '   x f x sin 2x dx  f' x cosx f x .sinx dx

 

 

2

cos 2

cos

x f x C

2

   

 

 

 

2 cos 2

cos

x f x

       

 

 

 

 

2

f  

 



nên nhận f x cosxsinx

 2 3   ,

f x  f x x    Biết rằng x  

1

0

1

f x dx 

 Tính tích phân  

2

1

I  f x dx

1

2

f x  f x x f x dx  f x dxxdx f x dx 

7

6

f x dx f x dx f x dx

2

1

x

1

0

f x dx



A 3 2 ln 2

3

ln 2

3

2 ln 2

2

Lời giải: Ta có: thay x bởi 1 x  vào tích phân ta có:        

I f x dxf x d x f x dx

 

1 2

0

2 ln 2

x



4

I

   Chọn đáp án C

Câu 23: (Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa  

mãn  

1

0

1

f x dx 

 , f 1 cot 1 Tính tích phân      

1

2

0

A.1 ln cos1   B. 0 C. 1 D. 1 cot1

2

2

1

cos

x

 

Câu 24: (THPT NGUYỄN KHUYẾN-HCM) Cho hàm số f x có đạo hàm   f' x liên tục trên 0;1 

và thỏa mãn f 1  ; 0   2   4  

f x  xf x  x  x x

  1

0

I f x dx

4

4

1

4

9

5

2

1

f x  dx x f x  x f x dx x  f x   dx

  3

1

1 3

0

3 1

4

    Chọn đáp án A

3

27 0

t tx  có nghiệm dương duy nhất tt x  với t x là hàm liên tục trên   0;  Giá  trị  

26

2

0

I t x  dx là

Lời giải: Ta có:

3

2

2

t

Với x0t3270  và t 3 t26t326t270  t 1

3

2

2

1

27

t

  4 2 31 2

2

x

f x





  trên khoảng 0;  thỏa mãn   1 1

2

F  Giá trị của biểu thức

 1  2  3 2019

SF F F  F bằng

A 2019

2019.2021

1 2018

2019 2020



Lời giải: Ta có:    

2

2

1







2

1

F x

x x



1 2 2 3 2019 2020

S        

Chọn C

Câu 27: (THPT KINH MÔN-HẢI DƯƠNG) Cho hàm số f x liên tục trên   R\1; 0 thỏa mãn

điều kiện: f 1  2 ln 2 và:       2

1 '

x x f x  f x x  Biết x f 2 a b ln 3 a b   ,  Giá trị của 2 2

a b là:

A 3

27

9 2

Lời giải: Ta có:

1

1

x



1

x

x

 mà f 1  2 ln 2 nên C   1

2

   Chọn D

Câu 28: (Sở Hà Tĩnh) Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng

parabol đỉnh S như hình vẽ, biết OSAB4cm , O là trung điểm

AB , parabol được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với

mức chi phí: phần sơn màu trên cùng 120000 đồng/ m2, phần giữa

là hình quạt kẻ sọc tâm O, bán kính 2m được tô đậm 140000

đồng/ m2, phần còn lại 160000 đồng/ m2 Tổng chi phí để sơn cả 3

phần gần với số nào sau đây nhất?

A.1444000đồng B.1488000đồng

C.1450000đồng D.1493000đồng

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Phương trình parabol y x24, phương trình nửa đường tròn

2

4

y x

Phương trình hoành độ giao điểm:

4x  x 4x  3

Diện tích phần sơn màu trên cùng 3  2 2

1 3



Diện tích hình quạt 2 4

3

 Diện tích phần còn lại:  

2 2

2

4



     

Tổng chi phí S1.120000S2.140000S3.160000 1440000 Chọn A

Câu 29: (SỞ GĐ-ĐT QUẢNG NAM)Cho hàm số f x không âm, có đạo hàm trên đoạn   0;1 và thỏa 

mãn f 1  , 1 2f x  1 x2f ' x 2x1 f x ,  x  0;1 Tích phân  

1

0

f x dx

 bằng

3 2

Lời giải: Ta có  2          

PT  x f x  x  f x   f x f x

1 x2 1 f x   ' f2 x '

        1x2 1 f x   f2 x C Mà f 1  1

1

C

  nên ta có:          

 

 

 