Mẫu bìa Đề cương luận văn BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ Sinh viên thực hiện Vũ Quốc Huy Nguyễn Đức Minh Nguyễn Văn Huy Đinh Hoàng Minh Thân Thị Minh Nguyễn Tiến Lương Giáo viên hướng dẫn Trần Thị Hằng Hà Nội, tháng 42022 1 Lời chia sẻ Hầu hết các hiện tượng trong cuộc sống đều xảy ra một cách ngẫu nhiên không thể đoán biết được Chúng ta luôn đứng trước những lựa chọn và phải quyết định cho riêng mình Khi lựa chọn như thế thì.
Trang 1BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
-TIỂU LUẬN
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Sinh viên thực hiện:
Vũ Quốc Huy Nguyễn Đức Minh
Nguyễn Văn Huy Đinh Hoàng Minh
Thân Thị Minh Nguyễn Tiến Lương Giáo viên hướng dẫn: Trần Thị Hằng
Hà Nội, tháng 4/2022
Trang 2Lời chia sẻ
Hầu hết các hiện tượng trong cuộc sống đều xảy ra một cách ngẫu nhiên
không thể đoán biết được Chúng ta luôn đứng trước những lựa chọn và phải quyết định cho riêng mình Khi lựa chọn như thế thì khả năng thành công là bao nhiêu, phương án lựa chọn đã tối ưu chưa, cơ sở của việc lựa chọn là gì? Khoa học về Xác suất sẽ giúp ta định lượng khả năng thành công của từng phương án để có thể đưa ra quyết định đúng đắn hơn.
Thống kê là khoa học về cách thu thập, xử lý và phân tích dữ liệu về hiện tượng rồi đưa ra kết luận có tính quy luật của hiện tượng đó Phân tích thống
kê dựa trên cơ sở của lý thuyết xác suất và có quan hệ chặt chẽ với xác suất;
nó không nghiên cứu từng cá thể riêng lẻ mà nghiên cứu một tập hợp cá thể -tính quy luật của toàn bộ tổng thể Từ việc điều tra và phân tích mẫu đại diện,
có thể tạm thời đưa ra kết luận về hiện tượng nghiên cứu nhưng với khả năng xảy ra sai lầm đủ nhỏ để có thể chấp nhận được
Trong chương trình đào tạo theo tín chỉ của các ngành ngoài khoa Toán thì Xác suất và Thống kê được gộp chung lại thành môn Xác suất thống kê với những nội dung rút gọn, đáp ứng nhu cầu về toán cho các đối tượng không chuyên File này tập trung vào phân loại và hướng dẫn giải các dạng bài tập.
Theo kinh nghiệm cá nhân thì phương pháp học Xác suất – Thống kê không giống những môn Đại số - Giải tích khác, cần hiểu kỹ vấn đề lý thuyết mới dễ dàng ghi nhớ công thức và áp dụng vào giải bài tập Tuy đề thi cuối kỳ thường cho phép sử dụng tài liệu nhưng việc ghi nhớ và nắm được ý nghĩa các công thức sẽ giúp phản xạ tốt hơn cũng như xác định dạng bài toán chính xác hơn.
Trang 3Mục Lục
Bài tập chương 1: Giải tích tổ hợp
Bài tập chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác
suất
Bài tập chương 3: Lý thuyết mẫu
Bài tập chương 4: Ước Lượng tham số của biến ngẫu nhiên
Bài tập chương 5: Kiểm định giả thiết thống kê
Trang 4Bài tập chương 1 :
Bài 1 ( Thân Minh): Trong một kho chứa có 65% linh kiện điện tử hoạt động
Chọn ngẫu nhiên 12 linh kiện điện tử, hãy tính xác suất để trong đó có đúng 5 linh kiện điện tử hoạt động
Hướng dẫn: Tỷ lệ linh kiện hoạt động là 65% nên khi chọn ngẫu nhiên một linh kiện thì xác suất để linh kiện đó hoạt động là 0,65 Chọn ngẫu nhiên 12 linh kiện tương đương với 12 phép thử lặp Bernoulli
Gọi A là biến cố: có đúng 5 linh kiện hoạt động trong 12 linh kiện được chọn ngẫu nhiên
Áp dụng công thức Bernoulli với m=12, n=5, p= 0,65 ta được:
P A = P12(5;0,65) = C125.P12.(1−P)12−5 = C125.0,65 5 0,35 7=0,0591
Bài 2( Thân Minh): Có 4 nhóm sinh viên thực tập sửa mạng Nhóm thứ nhất có 5
người, nhóm thứ hai có 7 người, nhóm thứ ba có 4 người và nhóm thứ tư có 2 người Xác suất sửa được của mỗi người trong nhóm thứ nhất, nhóm thứ hai, nhóm thứ ba và nhóm thứ tư theo thứ tự là 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5 Chọn ngẫu nhiên một sinh viên và sinh viên này sửa không được Hãy xác định xem sinh viên này có khả năng
ở trong nhóm nào nhất
Hướng dẫn: Sinh viên không sửa được có thể thuộc một trong bốn nhóm Áp dụng công thức Bayes để kiểm tra xem xác suất sinh viên không sửa được này thuộc từng nhóm là bao nhiêu Từ đó so sánh các kết quả với nhau và đưa ra kết luận Gọi: A i là biến cố sinh viên thuộc nhóm i (i=1,2,3,4)
B là biến cố “sinh viên không sửa được”
Theo bài ra ta có: không gian mẫu là: 5+7+4+2=18 người
P A1= 185 ; P A2=187 ; P A3=184 ; P A4=182
P(B/A1)=1-0,8=0,2 P(B/A2)= 1-0,7=0,3
P(B/A3)=1-0,6=0,4 P(B/A4)=1-0,5=0,5
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(B)=P(A1) P(B/A1)+ P A2 P(B/A2) + P A3 P(B/A3) +P A4 P(B/A4) = 185 0,2+187 0,3 + 184 0,4 + 182 0,5 = 1960
Áp dụng công thức Bayes:
Xác xuất để sinh viên không sửa được thuộc nhóm 1 là: P(A1/B)= P A1.P(B/ A1 )
5
18.0,2
19
60
=1057 (1)
Xác xuất để sinh viên không sửa được thuộc nhóm 2 là: P(A2/B)= P A2.P(B/ A2 )
7
18.0,3=21 (2)
Trang 5Xác xuất để sinh viên không sửa được thuộc nhóm 3 là: P(A3/B)= P A3.P(B / A3 )
4
18.0,4
19
60
=1657 (3)
Xác xuất để sinh viên không sửa được thuộc nhóm 4 là: P(A4/B)= P A4.P (B / A4 )
5
18.0,2
19
60
=1057 (4)
Từ (1), (2),(3),(4) suy ra:sinh viên không sửa được này có khả năng thuộc nhóm thứ 2
Bài tập 3: Trong lớp có 20 người thực tập sửa mạng , trong đó có 2 người sửa được mạng còn lại không biết làm Bạn được gọi 2 người ngẫu nhiên lên sửa mạng, tính xác suất để bạn gọi cả 2 người chắc chắn sửa được lên sửa
Lời giải :
Gọi A là biến cố người T1 sửa được.
B là biến cố Người T2 sửa được.
C là biến cố cả 2 người sửa được.
Khi bạn gọi lần đầu thì trong lớp có 20 người trong đó có 2 người làm được.
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 người trong đó có 1 người làm được.
Do đó:
Từ đó ta có: P(C) = P(A) P(B/A) =
Vậy xác suất để bạn gọi đúng 2 người sửa được lên sửa là 0,0053
Bài tập 4
Trong tuần lễ vừa qua ở thành phố người sửa mạng có 7 cuộc gọi để sửa mạng Xác suất để mỗi ngày có đúng 1 cuộc gọi là bao nhiêu?
Giải
Mỗi cuộc gọi có thể rơi vào 1 trong 7 ngày trong tuần Số cách xảy ra của7 cuộc gọi trong tuần là :7^7 cách
Số cách xảy ra đúng 1 cuộc gọi mỗi ngày : 7! Cách
Xác suất để mỗi ngày xảy ra đúng một cuộc gọi là :
7!
7 7=0,00612
Bài tập 6: Một bình đựng 5 cái ôc viết kích thước và chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc Trong đó có 3 ốc xanh và 2 ốc vít đỏ Người thợ sửa lấy ngẫu nhiên từ bình ra một ốc vít ta được ốc bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một ốc vít nữa Tính xác suất để lấy được ốc vít đỏ ở lần thứ hai
Hướng dẫn Gọi A là biến cố: “Lấy được một ốc vít đỏ ở lần thứ hai”
Vì một ốc vít xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 ốc vít trong đó số ốc vít đỏ là 2 và số ốc vít xanh cũng là 2
Trang 6Do đó, xác suất cần tìm là
P(A)=2/4=0,5
P(A|B)=nm=n/Nm/N=P(AB)P(B).Mỗi một tai nạn giao thông có thể rơi vào 1 trong
7 ngày trong tuần Số cách xảy
Mỗi một tai nạn giao thông có thể rơi vào 1 trong 7 ngày trong tuần Số cách xảy Mỗi một tai nạn giao thông có thể rơi vào 1 trong 7 ngày trong tuần Số cách xảy
Bài tập chương 2:
Bài 1(Nguyễn Văn Huy): Một người thợ săn bắn 4 viên đạn Biết xác suất trúng
đích của mỗi viên đạn bắn ra là 0,8% Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn trúng đích
a, Tìm luật phân phối của X?
b, tìm kỳ vọng và phương sai của X?
Lời giải
a, Ta thấy X có phân phối nhị thức X ̴ B(n,p) với n=4, p=0,8 X là ĐLNN rời rạc nhận 5 giá trị: 0, 1, 2, 3, 4 Luật phân phối của X có dạng
Theo công thức Bernoulli ta có:
P(X=0) =C40(0,8)0(0,2)4 = 0,0016
P(X=1) =C41(0,8)1(0,2)3 = 0,0256
P(X=2) =C42(0,8)2(0,2)2 = 0,1536
P(X=3) =C43(0,8)3(0,2)1 = 0,4096
P(X=4) =C44(0,8)4(0,2)0 = 0,4096
Vậy luật phân phối của X là:
b, Tìm kỳ vọng và phương sai của X
Kỳ vọng: M(X) = ni.pi = 0.0,0016+1.0,0256+2.0,1536+3.0,4096+4.0,4096=3,2 Phương sai: D(X) = E(X2)-(E(X))2=0,64
Bài 2( Nguyễn Văn Huy): có hai lô hàng I và II, mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm
Tỷ lệ sản phẩm loại A có trong hai lô I và II lần lượt là 70% và 80% Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm
a, Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ
lô II
b, gọi X là số sản phẩm loại A có trong bốn sản phẩm được lấy ra Tìm kỳ vọng và phương sai của X
Lời giải
Trang 7Gọi X1,X2 lần lượt là cái DDLNN chỉ số sp loại A có trong 2 sp đưuọc chọn
ra từ lô I, II Khi đó:
X1 có phân phối nhị thức X1 ̴ B(n1,p1); n1=2; p1= 70%= 0,7 với các xác suất định bởi:
P(X1 = k)= C2k(0,7)k(0,3)2-k
X2 có phân phối nhị thức X2 ̴ B(n2,p2); n2=2; p2= 80%= 0,8 với các xác suất định bởi:
P(X2 = k)= C2k(0,8)k(0,2)2-k
a, Xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ lô II là:
P(X1≥X2) = P((X1=2)(X2=0)+(X1=2)(X2=1)+(X1=1)(X2=0))
= P(X1=2)P(X2=0)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X1=1)P(X2=0)
= 0,1982
b, Gọi X là số sp loại A có trong 4 sp chọn ra Khi đó: X=X1+X2
Vì X1, X2 độc lập nên ta có:
Kỳ vọng của X là M(X) = M(X1)+M(X2)= n1p1+ n2p2=3
Phương sai của X là D(X)= D(X1)+ D(X2)= 0,74
Bài 3(Nguyễn Văn Huy): Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B và
2000 linh kiện C Xác suất hỏng của ba linh kiện đó lần lượt là 0,02% ; 0,0125% ; 0,005% Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn 1 Các linh kiện hỏng độc lập với nhau
a, tính xác suất để có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng
b, tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động
c, giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Tính xác suất để máy tính ngưng họat động
Lời giải
Tóm tắt :
Gọi X1 là ĐLNN chỉ số linh kiện A bị hỏng trong một máy tính Khi đó, X1 có phân phối nhị thức X1 ̴ B(n1,p1) với n1= 1000 và p1=0,02%= 0,0002 Vì n1 khá lớn và
p1 khá bé nên ta có thể xem X có phân phối poisson :
X1 ̴ P(a1) với a1= n1 p1 = 1000.0,0002= 0,2, nghĩa là X1 ̴ P(0,2)
Tương tự, gọi X2, X3 lần lượt là các ĐLNN chỉ số linh kiện B,C bị hỏng trong một máy tính Khi đó X2, X3 có phân phối poisson như sau :
X2 ̴ P( 800 ;0,0125%)= P(0,1)
X3̴ P(2000 ;0,005%)= P(0,1)
a, Xác suất có ít nhất 1 linh kiện B bị hỏng là :
Trang 8P(X2≥1) = 1- P(X=0) = 1- e−0,10! .(0,1)0= 1- e-0,1 =0,0952
b, Tính xác suất để máy tính ngừng hoạt động
Theo giả thiết, máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều hơn nghĩa là khi : X1 + X2 + X3 >1
Vì X1 ̴ P(0,2), X2 ̴ P(0,1), X3 ̴ P(0,1) nên X1 + X2 +X3 ̴ P(0,2+0,1+0,1)= P(0,4) Suy ra xác suất để máy tính ngưng hoạt động là :
P(X1 +X2 +X3>1) = 1- P( X1 +X2 +X3≤1) = 1- (P(X1+ X2+ X3=0) +P(X1+ X2+
X3=1))
=1 - e−0,40! .(0,4)0 - e−0,40! .(0,4)1 = 1-1,4.e-0,4=0,0615=6,15%
c, Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng Khi đó máy tính ngưng hoạt động khi
có thêm ít nhất 1 linh kiện hỏng nữa, nghĩa là khi
X1+ X2+ X3 ≥ 1
Suy ra xác suất để máy tính ngưng hoạt động trong trường hợp này là:
P(X1+ X2+ X3 ≥ 1) = 1- P(X1+ X2+ X3 < 1)= 1- P(X1+ X2+ X3 =0)
=1 - e−0,40! .(0,4)0= 1-e-0,4= 0,3297=32,97%
Bài tập chương 3+4+5:
Bài 1( Tiến Lương): Giả sử chiều dài mỗi dây điện là một biến ngẫu nhiên có kỳ
vọng μ=7 m và độ lệch chuẩn là σ= 2.5 m Từ tổng thể các dây điện đó đo ngẫu nhiên 100 dây Tính xác suất chiều dài dây trung bình 100 dây đó lớn hơn 7,5 m Giải:
Theo Định lý giới hạn trung tâm, biến ngẫu nhiên Z = (X −μ)√n
σ có phân phối chuẩn N(0,1)
Do đó, P(X > 7,5) = P( Z >7,5−μ σ √n¿ = P(Z>2) = 1 – Φ(2) = 0,0228
Bài 2 ( Tiến Lương): Một kho của công ty mạng viễn thông có tỉ lệ vi mạch lỗi là
2% Từ kho lấy ngẫu nhiên 500 vi mạch từ kho hàng Tính xác suất trong số vi mạch lấy ra có nhiều hơn 10 vi mạch lỗi
Giải:
Gọi Y là số vi mạch lỗi trong 500 vi mạch lấy ra Ta cần tính P (Y > 10)
Theo Hệ quả Z = √p(1− p) P−p √n có phân phối N(0,1), do đó:
P(Y > 10) = P( Y
500> 10500) = P(P > 0.02) = P(Z> 0,02−0,03
√0,03(1−0,03)√n)
= P(Z > -1,3108) = 1 – Φ(-1,3108) = Φ(1,3108) = 0,9050
Bài 3 ( Tiến Lương): Điều tra mức thu nhập trong một tháng( triệu đồng) của nhân
viên kỹ thuật điện tử truyền thông, ta có bảng số liệu mẫu sau:
Tính các giá trị đặc trưng mẫu: X, s2, s'2, s, s’
Trang 92-3
3-4
4-5
5-6
6-7
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
10 8 5 7 3 2
15 20 17,5 31,5 16,5 13
22,5 50 61,25 141,75 90,75 84,5
Từ đó:
X= 113,5/35=3,243
s2= 450,75/35 - (3,243)2= 2,363
s= √2,363= 1,537
s'2= n−1 n s2= 3534 2,363= 2,43
s’= √2,43=1,559
Bài 4( Hoàng Minh) : Báo cáo của phòng chăm sóc khách hàng nói rằng tỷ lệ
khách không hài lòng với sản phẩm kĩ thuật của công ty là chưa đến 10%, cặp giả thuyết có dạng:
{ H : P = P = 0,1₀ ₀
H : P < P₁ ₀ Trong đó p là tỷ lệ khách không hài lòng trong tổng thể Giả thuyết H0 thể hiện báo cáo của phòng chăm sóc khách hàng là sai, tỷ lệ khách không hài lòng đến 10%, giả thuyết H thể hiện báo cáo là đúng, tỷ lệ khách không hài lòng chưa đến 2% Để ₁ kiểm tra một giả thuyết là đúng hay không, cần phải kiểm định, chúng ta sử dụng phương pháp thống kê, dựa trên một mẫu thực nghiệm để kết luận, với phương pháp suy luận như sau:
Giả sử H đúng : ₀
Khi H đúng, với một mẫu, biến cố A sẽ xảy ra với xác suất rất nhỏ.₀
Theo nguyên lý xác suất nhỏ, có thể nói với một phép thử, A sẽ không xảy ra
Với mẫu cụ thể nếu A xảy ra thì có thể bác bỏ H , nếu A không xảy ra thì chưa có₀
cơ sở bác bỏ H ₀
Bài 5( Hoàng Minh) : Xem xét về trọng lượng của một mạch điện (tính bằng
gam ), người ta tiến hành cân thử một số điện trở lấy ngẫu nhiên, đựợc số liệu cho trong bảng dưới đây
Trọng
Lượng
(gam)
Trang 10Số điện
trở tương
ứng
Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn
(a) Tiêu chuẩn đặt ra cho trọng lượng trung bình của bảng mạch điện là 30g Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói loại bảng mạch trên đạt tiêu chuẩn hay không?
Giải Đặt X là trọng lượng của loại điện trở này, theo giả thiết, X ~ N ( μ ; ❑ 2 ), trong đó
µ là trọng lượng trung bình, ❑2 là phương sai của trọng lượng, cả hai đại lượng này đều chưa biết Ta có thông tin của một mẫu cụ thể kích thước n = 25 Với bộ số liệu này, tính các thống kê đặc trưng mẫu được kết quả :
x 30,48(g) ; s2 = 8,4267 (g2) ; s = 2,903(g) Câu hỏi yêu cầu kiểm định xem trọng lượng trung bình có bằng 30 hay không, hay
µ có bằng 30 hay không, với α = 0,05 Cặp giả thuyết là:
- H : ₁ 30 ; H : ₀ = 30
Trong đó giả thuyết H nghĩa là loại quả này đạt tiêu chuẩn, H là loại điện trở ₀ ₁ không đạt tiêu chuẩn
- Lưu ý rằng ta không được sử dụng ngay giá trị trung bình mẫu là 30,48 để kết luận trung bình tổng thể khác 30, vì con số 30,48 chỉ là của một mẫu Phải thực hiện kiểm định chi tiết
Tiêu chuẩn kiểm định :
T = [( X)−₀].√n
S ; miền bác bỏ H = W₀ = { T : I T I > T¿n−1 } Với mẫu cụ thể trên, Tqs = = [(x)−₀].√n
s = (30,48−30)√25
2,903 = 0,8267
Trang 11Do đó |Tqs| < 2,064, chưa có cơ sở bác bỏ H0, hay có thể hiểu H0 được coi là đúng,
có thể nói loại điện trở này đạt tiêu chuẩn Như vậy dù trung bình mẫu không bằng
30 nhưng vẫn có thể coi trung bình tổng thể là bằng 30, vẫn coi điện trở là đạt tiêu chuẩn Chính xác hơn là chưa thấy bằng chứng cho thấy điện trở không đạt tiêu chuẩn
