62 bài tập rút gọn biểu thức môn đại số 9 ôn thi vào 10

62 bài tập rút gọn biểu thức môn đại số 9 ôn thi vào 1062 bài tập rút gọn biểu thức môn đại số 9 ôn thi vào 1062 bài tập rút gọn biểu thức môn đại số 9 ôn thi vào 1062 bài tập rút gọn biểu thức môn đại số 9 ôn thi vào 1062 bài tập rút gọn biểu thức môn đại số 9 ôn thi vào 10

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN VÀO 10 Câu 1 : Cho biểu thức P = 1 1 : x

x - x x 1 x - 2 x 1



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P > 1

2

Đáp án:

x - x x 1 x - 2 x 1



 x 12

x

 x 12  x 1  x 1

.

x

x x 1





b) Với x > 0, x 1 thì x - 1 1 2 x - 1  x

x 2    x > 2 Vậy với x > 2 thì P > 1

2

Câu 2: Rút gọn biểu thức:

x 4 x + 4 x 4 x



  ( với x > 0, x  4 )

B = b - a a b - b a 

a - ab ab - b

  ( với a > 0, b > 0, a b)

Đáp án:





=

x - 4 x - 4

b ab a ab

b - a a > 0, b > 0, a b



a - 1

a 1 a - a



với a > 0, a  1 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Đáp án:

a 1 a ( a - 1) ( a - 1)( a 1) a 1 ( a - 1)

b) A < 0 a > 0, a 1 0 a < 1

a 1







Câu 4: Rút gọn biểu thức: A = 3 x 6 x : x - 9

x - 4 x 2 x 3



  với x 0, x 4, x 9   

2

1 - a a 1 - a

1 - a

1 - a

với a ≥ 0 và a ≠ 1

Đáp án:

A

 x 3  x 3

:



.

, với x 0, x 4, x 9   

2

1 - a 1 + a + a 1 - a

+ a

2

1 + 2 a + a = 1 + a = 1.

Câu 5: Cho biểu thức: P = a a - 1 - a a + 1 : a +2

a - 2

a - a a + a

  với a > 0, a  1, a  2

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên

Đáp án:

a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2

a - 1 a + a + 1 a + 1 a - a + 1 a + 2

a - 2

a a - 1 a a + 1

a + a + 1 - a + a - 1 a + 2

a - 2

a + 2 b) Ta có: P = 2a - 4 = 2a + 4 - 8 = 2 - 8

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8  (a + 2)

a + 2 = 1 a = - 1; a = - 3

a + 2 = 2 a = 0 ; a = - 4

a + 2 = 4 a = 2 ; a = - 6

a + 2 = 8 a = 6 ; a = - 10





Câu 6: Cho biểu thức A=1 2 21

1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên

Đáp án:

a) ĐK: x0 và x1

A=x x x1 2( 1)x1

 =x x (3x1)với x0 và x1 b) Để A có giá trị nguyên khi x – 1 là ước của 3

x - 1 = -3  x = -2

 x – 1 = -1 x = 0 (loại)

x – 1 = 1  x = 2

x – 1 =3  x =4

Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x = -2; x = 2 và x = 4

Câu 7: Cho M = x - 1 : 1 + 2

x - 1

x - 1 x - x x 1

với x 0, x 1   a) Rút gọn M

b) Tìm x sao cho M > 0

Đáp án

a) M = x - 1 : 1 + 2

x - 1

x - 1 x - x x + 1

=

x - 1 x ( x - 1) x - 1 x + 1 x - 1 x +1

=

 x - 1   x + 1

x + 1

x x - 1 x - 1 x +1 x x - 1

= x - 1

x

b) M > 0  x - 1 > 0 (vì x > 0 nên x > 0)  x > 1 (thoả mãn)

Câu 8 : Cho biểu thức: K = x - 2x - x

x - 1 x - x với x >0 và x1 a) Rút gọn biểu thức K

b) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3

Đáp án:

a) K = x - x (2 x - 1) = x - 2 x + 1 = x - 1

b) Khi x = 4 + 2 3, ta có: K = 4 2 3  - 1 =  3 +12-1 = 3 +1-1 = 3

Câu 9: Rút gọn biểu thức: B = x - 1 : x - 1 + 1 - x

Đáp án:

x - 1 x + 1 +1 - x x x +1

x - 1 x +1 x +1

=

x

x x - 1







































1 1

2

1

a a a

a a a

a

với a > 0, a  1 a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm a để P > - 2

Đáp án:

a 1

.



a

a a a

a

a a a a a a a a a

a

a

2 2

4 )

1 ( 2

1



























Vậy P = - 2 a

b) Ta có: P  2  - 2 a > - 2  a < 1  0 < a < 1

Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: 0 < a < 1

Vậy P > -2 a khi và chỉ khi 0 < a < 1

Câu 11: Rút gọn biểu thức B = 1 1

với 0  x 1

Đáp án

1

x

x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x 2 2 3 

Đáp án:

a) Ta có A =

: 1 1

x

1



b) x 2 2 3   x  2 1  2  x  2 1  nên A = 2 2 2 2

2 1





x + x x 1 x + 2 x 1



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P > 1

2

Đáp án:

x + x x 1 x + 2 x 1



 x 12

x

 x 12 1 x  x 1

.

x

x x 1



b) Với x > 0 thì 1 - x 1 2 1 - x  x

2 3x > - 2 x <

3

Vậy với 0 x < 2

3

 thì P > 1

2

Câu 14 : Cho biểu thức A = a a : a 1

a - 1

a 1 a + a



  với a > 0, a  1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của a để A < 0

Đáp án:

a 1 a ( a + 1) ( a - 1)( a 1)



a 1 a + 1

b) A < 0 a > 0, a 1 0 a < 1

a 1



































a

3 1 3

1 3

1

với a > 0 và a  9

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của a để P > 21

Đáp án:

a a

a

a a

a a

a

3 3 3

3 3

3 1 3

1 3











































= ( 2 3)(.( 33).) 2 3











a a a

a

a a

Vậy P = 2 3



a b) Ta có: 2 3



a > 21  a + 3 < 4  a < 1  0 a 1  

Vậy P > 21 khi và chỉ khi 0 < a < 1

Câu 16: Cho biểu thức A = 





































1

2 1

1 : 1

2 1

a a a a

a a

a

a

với a > 0, a  1 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010 a = 2017 - 2 2016

Đáp án:



=

=

2

2

( a 1) (a 1)( a 1)

b) a = 2017 - 2 2016  ( 2016 1)  2  a  2016 1 

Vậy A = 2016=12 14



































1

1 1

1 2

1 2

2

x

x x

x x

x

a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa Rút gọn Q

b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x- 3

Đáp án:

ĐKXĐ: x > 0; x  1

a) Q =

x

x x

x

x x

x

x x

x

) 1 (

4

4 ) 1 ( 1

) 1 ( ) 1 ( 4

) 1





















b) Q = - 3 x  3 => 4x + 3 x - 1 = 0 

x 1 (loai)

1 x

x 4

 



(thỏa mãn)

a

a a

a













7 3 3

1 3

2

với a > 0, a  9

a) Rút gọn

b) Tìm a để P < 1

Đáp án:

a 3 a 3 ( a 3)( a 3)

= 2 ( 3)( ( 3)(1)( 3)3) 7 3 2 6 ( 34)( 33)7 3



































a a

a a

a a a a

a

a a

a a

a

= ( 3 3)(9 3) ( 3 3()( 3)3) 3 3



















a

a a

a

a a a

a

a a

Vậy P = 3 a

a 3 

Cõu 19: Cho biểu thức: M = 1

1











x x x

x x x

x

x x

Rỳt gọn biểu thức M với x 0 

Đỏp ỏn:

M =

1

) 1 (

1

) 1















x x

x x x

x

x

1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1

(



























x x

x

x x x x x

x

x x x

x

= x - x - x - x + x + 1 = x - 2 x + 1 = ( x - 1)2

Cõu 20: Cho biểu thức: P =

x

x x x

x

x









1 1

2

với x > 0

a) Rỳt gọi biểu thức P

b) Tỡm x để P = 0

Đỏp ỏn:

a) Ta cú x2 + x  x ( x 3  1)  x ( x 1)(x   x 1) 

nờn P =

x

x x x

x

x x x

1

) 1 )(

1















= x ( x 1) 1 2 x 1 x       x Vậy P = x  x

b) P = 0  x - x = 0  x( x - 1) = 0  x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)

Vậy x = 1 thỡ P = 0

Cõu 21: Rỳt gọn biểu thức: P= 1 - 1 1 - 1

1 - x 1 + x x

    với x1 và x >0

Đỏp ỏn:

P = 1 - 1 1 - 1

1 - x 1 + x x

= 1 + x - 1 + x1- x     x - 1x 

    =2 x x - 1

1- x x = - 2

1 + x

Câu 22: Rút gọn biểu thức

x

x x

x x

x

x x P





















3

3 1

) 3 ( 2 3 2 3

Đáp án:

Điều kiện:

0 3

0 3

















x x

x x

* Rút gọn:























1

: 1

1 1

1

x

x x x

x x

x x

với x > 0 và x  1 a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A = 3

Đáp án:





































1

: 1

1 1

1

x

x x x

x x

x x

=

























































1 1

) 1 ( : 1

1 )

1 )(

1

(

) 1 )(

1

(

x

x x

x x x

x x

x

x x

x









































1

: 1

1 1

1

x

x x x x

x x

x x

=

1

: 1

1 1













x

x x

x x

x

=

1

: 1

2









x

x x

x

=

x

x x

1









=

x

x

 2

b) A = 3 =>

x

x



2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3

Câu 24: Cho P = 2

1

x

x x



1

x



1

x x





a/ Rút gọn P

b/ Chứng minh: P < 1

3 với x  0 và x 1.

Đáp án:

a) Điều kiện: x  0 và x 1

1

x

x x



1

x



x



= 32

( ) 1

x x



1

x



  - 1

1

x 

=



   =

1

x

b/ Với x  0 và x 1 Ta có: P < 1

x

x x < 1

3

 3 x < x + x + 1 ; ( vì x + x + 1 > 0 )

 x - 2 x + 1 > 0

 ( x - 1)2 > 0 ( Đúng vì x  0 và x 1)





















ab

b a ab

b a

1









ab

ab b a

1

2 1

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a =

3 2

2



c) Tìm giá trị lớn nhất của D

Đáp án

a) - Điều kiện xác định của D là 







1 0

ab b















ab

a b a

1

2

2

: 







ab

ab b a

1

D =

1

2



a

a

1

3 2 ( 2 3

2















2 3 2 1 3 2

2

3 2 2











c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có

1 1

2 a a  D

Vậy giá trị của D là 1

Câu 26: Cho biểu thức A =

2

1

1 4( 1)

x





a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

Đáp án

a) Điều kiện x thỏa mãn

2

1 0 4( 1) 0 4( 1) 0 4( 1) 0

x

 

















1 1 1 2

x x x x

















 



 x > 1 và x  2

KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2

b) Rút gọn A

A =

2

1 ( 2)

x x





Với 1 < x < 2 A = 2

1  x

Với x > 2 A = 2

1

x 

Kết luận

Với 1 < x < 2 thì A = 2

1  x

Với x > 2 thì A = 2

1

x 

Câu 27: Cho biểu thức M =

x

x x

x x

x

x



















2

3 3

1 2 6 5

9 2

a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

b) Tìm x để M = 5

c) Tìm x  Z để M  Z.

Đáp án:

a) ĐK x 0 ;x 4 ;x 9

 2 3

2 1

2 3 3

9 2



















x x

x x

x x

x

Biến đổi ta có kết quả: M =

 2 3

2









x x

x x

=    

3

x





1

3

16 4 16

4

x x

x





c) M =

3

4 1 3

4 3 3

1



















x x

x x

x

Do M  znªn x  3lµ íc cña 4  x  3 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4

1 ; 4 ; 16 ; 25 ; 49



 x do x4  x1 ; 16 ; 25 ; 49

9

x





  , với x0 và x9

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A = 1

3và tìm giá trị nhỏ nhất của A

Đáp án:

9

x







x



x



3

x 

b) Tìm giá trị của x để A = 1

3 và tìm giá trị nhỏ nhất của A A=1

3 

3 3

1

3

3

1 3

3

3

3=1 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1, khi x=0 (thoả mãn điều kiện)

với a 0 và a 1

Đáp án:

a

a

N  3 a 3 a  9 a

Câu 30: Cho biểu thức: B = ( + )( - ) với b > 0; b ≠ 9

a) Rút gọn B

b) Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên

Đáp án:

a) Với b > 0; b 9

































b 3

3 b 3)

b 3)(

b (

3) b 3)(

b ( 3) b 3)(

b

(























3 b 3) b 3)(

b

(

b

12

= 4

b 3 

b 3  nguyên khi b+3 là ước của 4 vì b+3≥3 Nên b+3 = 4 hay b=1 <=> b=1

Vậy với b = 1 thì B đạt giá trị nguyên

x A



Đáp án:Với ĐK: x 0,x 9 Ta có:

3 3

x A



A

x

  

9

A

A

x

  

A x



Kết luận: Vậy với x 0,x 9thì A 9 x

x





B

Với những giá trị nào của x thì biểu thức trên xác định ? Hãy rút gọn biểu thức B

Đáp án:

.

B

ĐK x>0 và x  1

x



Bµi tËp d¹ng to¸n rót gän Bài 1 Cho biểu thức : A = 2

1





  với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của biểu thức A tại x  3 2 2

Bài 2 Cho biểu thức : P = 4 4 4



  ( Với a  0 ; a  4 ) 1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1

Bài 3: Cho biểu thức A = 1 2



1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa

2/.Rút gọn biểu thức A

3/.Với giá trị nào của x thì A< -1

Bài 4: Cho biểu thức A = (1 )(1 )

  ( Với x 0;x 1) a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = - 1

Bài 5 : Cho biểu thức : B =

x

x x

1 2

2 1

1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B

2/ Tính giá trị của B với x =3

3/ Tìm giá trị của x để

2

1



A

Bài 6: Cho biểu thức : P =

x

x x

x x

x















4

5 2 2

2 2 1

1/ Tìm TXĐ

2/ Rút gọn P

3/ Tìm x để P = 2

1

2 2

1 (

: )

1 1

1













a a

a a

a

1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

2/ Tìm a để Q dương

3/ Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4 5









































1 1

2

1

a a a

a a a a

1/ Tìm ĐKXĐ của M

2/ Rút gọn M

3/Tìm giá trị của a để M = - 4

Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau:

1

:

A

x x

2

: 2

A

a



kq: 2 4

2

a a





3

A

kq: 1

1

x



:

1

x

A

x

  kq:x 1

x



5

2 :



  kq: a ab b

a b



2

A

b a





7

1

A

8

: 1

9 1

A

x

x





9

A

    kq: 1

3

x x





: 1

1

A

kq: 1

1

x x





1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức A

2, Rút gọn A

3, Tính giá trị của biểu thức A khi 1

6 2 5

x 



4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3

6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1

7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn 2

1

x





8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A - 1 Max

9, So sánh A với  x 1

B

kq: 3

2

x x





1, Tìm x để biểu thức B xác định

2, Rút gọn B

3, Tính giá trị của biểu thức B khi x = 11 6 2 

4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên

5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2

6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm

7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2

8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn x 1

Bài 12 Cho biểu thức:

3 3

1 1 1

x



kq: x 1

1, Biểu thức C xác định với những giá trị nào của x?

2, Rút gọn C.

3, Tính giá trị của biểu thức C khi x = 8 2 7 

4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3

5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn 1

3



6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn 2 x 3

7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất

8, So sánh C với 2

x



1 :

D

kq: 2

3

1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức D

2, Rút gọn D

3, Tính giá trị của biểu thức D khi x = 13  48

4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D bằng 1

5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D âm

6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D nhỏ hơn -2

7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D nhận giá trị nguyên

8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D lớn nhất

9, Tìm x để D nhỏ hơn 1

x

:

E

1, Tìm a để biểu thức E có nghĩa

2, Rút gọn E

3, Tính giá trị của biểu thức E khi a = 24 8 5 

4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E bằng -1

5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E dơng

6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn a 3

7, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất

8, So sánh E với 1

4

kq: 4a

1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức F

2, Rút gọn F

3, Tính giá trị của biểu thức F khi a = 6

2  6

4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức F bằng -1

5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn a 1

6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất

7, Tìm giá trị của a để F F ( 2 1

4

F  F   a )

8, So sánh E với 1

a

Bài 16 Cho biểu thức:

2

M

kq: x x

1, Tìm x để M tồn tại

2, Rút gọn M

3, CMR nếu 0 <x < 1 thì M > 0 (1  x  0; x   0 M  0)

3, Tính giá trị của biểu thức M khi x = 4/25

4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M bằng -1

5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M âm ; M dơng

6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn hơn -2

7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên

8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn nhất

9, Tìm x để M nhỏ hơn -2x ; M lớn hơn 2 x

10, Tìm x để M lớn hơn 2 x

Bài 17:

Cho biểu thức : P = 1

1

x x

x x





 ( với x  0 ) a) Rỳt gọn biểu thức P

b) Tớnh giỏ trị của P tại x thoả món 2 5  

6 2 5 0

5 2



Bài 18:

Cho biểu thức : P = 4 4 4



  ( Với a  0 ; a  4 ) a) Rỳt gọn biểu thức P

b) Tớnh P tại a thoả món điều kiện a2 – 7a + 12 = 0

Bài 19: Cho hai biểu thức :

 x y2 4 xy A



 ; B = x y y x

xy



với x > 0; y > 0 ; x y Tớnh A.B

2

(với x 0;x 1) a) Rỳt gọn biểu thức P

b)Tỡm giỏ trị của x để P = 2

3

Bài 21: Rỳt gọn biểu thức: B = 2 2 4

a

Bài 22 Cho biểu thức :

1

a) Rỳt gọn biểu thức P